4、一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况. 5、方差是样本数据到平均数的平均距离，一般用
s
表示，通常用公式
2
1
s
2
[(x
1
x)
2
(x
2x)
2
L(x
n
x)
2
]
来计算.反 映了数据的离散程度.方差越大，数据的
n
离散程度越大.方差越小数据的离散程度越小.
6、标准差等于方差的正的平方根，即
s
波动程度的大小.
Ⅱ、应用示例
例1 某公司员工的月工资情况如表所示：
月工资元 8000 5000 4000 2000 1000 800 700 600 500
员工人 1 2 4 6 12 8 20 5 2
s
2
，与方差的作用相同，描述一组数据围绕平均 数的
（1）、分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数、和众数.
（2）、公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？
解：（1）经计算可以得出：该公司员工月工资的平均数为1373元，中位数为800元，众数为700元.（2）、公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数；而税务官希望取中位数，以便知
道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数，因为每月拿700元的
员工最 多.
点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；< br>中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，
对 于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常
被使用.
变式训练：1、下表是某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：
分数 0 1 2 3
人数 4 7 10 x
4 5
8 y
请参照这个表解答下列问题：（1）用含x，y的式子表示该班参加“环保知识竞赛” 的班平均分
f
；
(2)若该班这次竞赛的平均分为
2.5
分，求x,y
的值.
x7
3x5y41
3x5y59
解： （1）
f
；(2)依题意，有
xy11
解得
y4

40
{
{
例2 甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件.为了检验产 品质量，从两台机床生产的产品
定边中学高一数学备课组
20

中各抽取10件进行测量，结果如下表所示
甲
乙
40.0
40.0
39.8
40.0
40.1
39.9
40.2
40.0
39.9
39.9
40.0
40.1
40.2
40.1
39.8
40.1
40.2
40.0
39.8
39.9
分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差.
解：从数据容易得到甲、 乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值
x
甲
x
乙
40(m m)
.
我们分别计算它们直径的标准差：
s
甲
[(4040 )
2
(39.840)
2
L(39.840)
2
] 100.161(mm)

s
乙
[(4040)
2
 (4040)
2
L(39.940)
2
]100.077(mm)

由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品 直
径的标准差为0.161mm，比乙机床的标准差0.077mm大，说明乙机床生产的零件更标准些 ，即乙
机床的生产过程更稳定一些.
点评：对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其 本身意义的理解和在新情境中的
应用，而不是记忆和使用的熟练程度.
Ⅲ、知能训练
1、 下列说法正确的是（D ）
A.甲、乙两班期末考试数学平均成绩相同，这表明这两个班数学学习情况一样.
B.期末考试数学成绩的方差甲班比乙班小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好.
C.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好.
D.期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好.
2、（2007海南高考，理11）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试
成绩如下表：
甲的成绩：
环数
频数

乙的成绩：
环数 7 8 9 10
7
5
8
5
9
5
10
5
定边中学高一数学备课组
21

频数
丙的成绩：
环数
频数
6 4 4 6
7
4
8
6
9
6
10
4 < br>s
1
、s
2
、s
3
分别表示甲、乙、丙三名射箭运动 员这次测试成绩的标准差，则有（C）
A.
s
1
s
2
s
3
B.
s
3
s
1
s
2
C.
s
2
s
1
s
3
D.
s
2
s
3
s
1

3、某同学使用 计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出
的平均数与实际平 均数的差是 -3
Ⅳ、拓展提升
甲、乙两种玉米苗各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）
甲
乙
25
27
41
16
40
44
37
27
22
44
14
16
19
40
39
40
21
16
42
40
问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？
解：（1）
x
甲
30(cm)
，
x
乙
31(cm)

x
甲
x
乙
，即乙种玉米的苗长得高.
（2）
s
甲
2
104.2(cm
2
),s
乙
2
128.8(cm
2
)
s
甲
2
s
乙
2
即甲种玉米的苗长得齐.
（三）、课堂小结： 本节课通过具体实例探讨和学习了平均数、 中位数、众数、极差、方差、标
准差的计算、意义和作用，让学生体会所学内容与现实世界的密切联系.
（四）、作业： 课本30—31页 习题1—4 1、2.
六、设计体会（教后反思）
统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习 .因此在本节教学设计中所
采用的数据和问题情境尽可能来源于实际，充分挖掘学生生活中与数据有关的 素材，使他们体会
所学内容与现实世界的密切联系.另外，在教学活动中，还要特别加强小组活动的组织 与教学，并
在活动的过程中引导学生逐步体会统计的作用和基本思想.



定边中学高一数学备课组
22

第八课时 §1.6用样本的频率分布估计总体分布(一)
一、教学目标：1、知识与技能：（1） 通过实例体 会分布的意义和作用.（2）在表示样本数据的
过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折 线图和茎叶图.（3）通过实例体会频率
分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择 上述方法分析样本的分布，准确
地做出总体估计.2、过程与方法：通过对现实生活的探究，感知应用数 学知识解决问题的方法，
理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.3、情感态度与价值观：通过 对样本分析和总体
估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实 ，体会数
学知识与现实世界的联系.
二、重点与难点：重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.
难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.
三、教学方法：探究归纳，思考交流
四、教学设想
（一）、创设情境
在ＮＢＡ的2004赛季中,甲、乙两名篮球运动 员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕
12，15，20，25，31，31，36，36， 37，39，44，49，50；乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，
26，28，38，3 9，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥
比较稳定？
如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的
频率分布估计总体分布（板出课题）.
（二）、探究新知〖探究〗：P
55

我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，
计划在本市 试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部
分按平价收费，超出 a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a
定为多少比较合理呢 ？你认为，为了了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生
展开讨论）
为了制 定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用
水量在哪个范围的居 民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分
析样本数据来估计全市居民 用水量的分布情况.（如课本P
56
）
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来 ，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作
图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图 形传递信息.表格则是通过改变数据的
定边中学高一数学备课组
23

构成形式，为我们提供解释数据的新方式.
下面我们学习的频率分布表和频率 分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小
的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更 清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.
1、频率分布的概念：频率分布是指一个样本数据在各个小 范围内所占比例的大小.一般用频率分
布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：计算一组数据中最 大值与最小值的差，即求极差（1）
决定组距与组数；⑵将数据分组；⑶列频率分布表；⑷画频率分布直 方图.
以课本P
56
制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直 方图.（让学生自己动
手作图）
频率分布直方图的特征：⑴从频率分布直方图可以清楚的看出 数据分布的总体趋势.⑵从频率分布
直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体 数据信息就被抹掉了.
〖探究〗：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和 形状也会不同.不
同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和 1为组距重
新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组 织
同学们对所作图不同的看法进行交流……）
接下来请同学们思考下面这个问题：〖思考〗： 如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量
不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方 图2.2-1，（见课本P
57
）你能对制定月用水量
标准提出建议吗？（让学生仔细 观察表和图）
2、频率分布折线图、总体密度曲线
（1）．频率分布折线图的定义：连接频 率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布
折线图.
（2）．总体密度曲线的定 义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条
光滑曲线，统计中称这条光滑曲线 为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的
百分比，它能给我们提供更加精细的信息 .（见课本P
60
）
〖思考〗：１．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存 在？为什么？２．对于任何一个总
体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？
实际上，尽管有些总体密度曲线是饿、客观存在的，但一般很难想函数图象那样准确地画出
来，我们只能 用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．
3、茎叶图
（１）．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数
字，两 边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎
定边中学高一数 学备课组
24

上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图. （见课本P
6１
例子）
（2）．茎叶图的特征：①用茎叶图表示数据有两个优点：一 是从统计图上没有原始数据信息的损
失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以 随时记录，随时添加，方便
记录与表示.②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记 录两组的数据，两个
以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.
（三 ）、例题精析：〖例1〗：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单
位ｃｍ)
区间界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138) [138,142)[142,146)
人数5810223320
区间界限[146,150 )[150,154)[154,158)
人数1165
(1)
列出样本频率分布表； (2)一画出频率分布直方图；(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的
百分比..分析：根据 样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.
解：（１）样本频率分布表如下：
频率

组距
0.07
分组
[122,126)
[ 126,130)
[130,134)
[134,138)
[138,142)
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[154,158)< br>合计
频数
5
8
10
22
33
20
1 1
6
5
120
频率
0.04
0.07
0.080.18
0.28
0.17
0.09
0.05
0.04
1


0.06
0.05

0.04


0.03

0.02
0.01


（２）其频率分布直方图如下：

o
122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高（cm）
（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08 =0.19，所以我
们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
〖例2〗：为了了 解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所
得数据整理后，画出频率分 布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：
9：3，第二小组频数为 12.
(1) 第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2) 若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
定边中学高一数学备课组
25

(3) 在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落
在哪个小组内？请说明理由.
分析：在频率分布直方 图中，各小长方形的面
积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数
成正比，各组频数之和等于 样本容量，频率之
和等于1.
解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反
映了数 据落在各小组内的频率大小，因此第二
小组的频率为：
0.036
0.032
0.028
0.024
0.020
0.016
0.012
0.008
0.004
o
频率

组距
4
0.08
24171593
90 100 110 120 130 140 150
次数
又因为频率=
第二小组频数

样本容量
第二小组频数12
150

第二小组频率0.08
所以
样本容量
（2）由图可估计该学校高一学 生的达标率约为
171593
100%88%

24171 593
（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数 之和为69，前
四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.
（四）课堂精练：P
61
练习 1. 2. 3
（五）、课堂小 结：1、总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此
我们往往用样本的频率 分布去估计总体的分布.2、总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值
很少时，用茎叶图估计总体的 分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组
的频率分布描述总体的分布，方法是用 频率分布表或频率分布直方图.
（六）作业：1．P
72
习题2.2 A组 1、 2
五、教后反思：

第九课时 §1.6用样本的数字特征估计总体的数字特征(二)
一、教学目标：
1、知识与技能：（ 1）正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.（2）能根
据实际问题的需要合理 地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并
做出合理的解释.（3）会用 样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.（4）形成对数据处理
定边中学高一数学备课组
26

过程进行初步评价的意识.
2、过程与方法：在解决 统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的
数学思想和逻辑推理的数学方法 .
3、情感态度与价值观：会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认< br>识统计的作用，能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系.
二、重点与难点
重点： 用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差.难点：能应用相关知识解决简单的实际
问题.
三、教学方法：探究归纳，思考交流
四、教学过程
（一）、创设情境
在 一次射击比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，
5 ，8，10，7，4；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪
个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总
体的数字特征进行研究.——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）.
（二）、探究新知
<一>、众数、中位数、平均数
〖探究〗：P
62
（1）怎样将各个样本数 据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？
（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散 程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考
后展开讨论）
初中我们曾经学过众数，中 位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们
提供关于样本数据的特征信息.例如前面 一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样
本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水 量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见课
本第62页）它告诉我们，该市的月均用水量为 2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数
多，但它并没有告诉我们到底多多少.
〖提问〗：请大家翻回到课本第56页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的
定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）
分析 ：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数
据的频率 分布直方图得来的，所以存在一些偏差.
〖提问〗：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？
定边中学高一数学备课组
27

分析：在样本数据中，有5 0%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，
在频率分布直方图中，矩形 的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面
积应该相等.由此可以估计出中位数 的值为2.02.（图略见课本63页图2.2-6）
〖思考〗：2.02这个中位数的估计值，与样 本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？
（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的 一些数据给遗失了）
（课本63页图2.2-6）显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t 左右），但是也有少数居民
的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.
〖思考〗：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不
敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）
<二>、标准差、方差
１．标准差
平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总 体的片面
判断.某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为１７６㎝，给我们的印象是该地区的中 学
生生长发育好，身高较高.但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此，只有平均数
难 以概括样本数据的实际状态.
例如，在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环 数如下﹕甲运动员﹕7，8，
6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6 ，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选 哪位选手去参加
正式比赛？
我们知道，
x
甲
7， x
乙
7
.两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平
差距呢？（观 察Ｐ６６图２.２-８）直观上看，还是有差异的.很明显，甲的成绩比较分散，乙的
成绩相对集中，因 此我们从另外的角度来考察这两组数据.
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差. 标准差是样本数据到平均数的一
种平均距离，一般用s表示.
样本数据
x
1 ,
x
2,
L,x
n
的标准差的算法：⑴算出样本数据的平均数
x
.⑵、算出每个样本数据与样
x(i1,2,Ln)
的平方.⑷、算出本数据 平均数的差：
x
i
x(i1,2,Ln)
⑶算出（２）中
xi
（３）中n个平方数的平均数，即为样本方差.⑸、算出（４）中平均数的算术平方根，，即为样
本标准差.
定边中学高一数学备课组
28

其计算公式为：
s
1
[(x
1
x)< br>2
(x
2
x)
2
L(x
n
x)< br>2
]
n



显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.
〖提问〗：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
从标准差的定义和 计算公式都可以得出：
s0
.当
s0
时，意味着所有的样本数据都等于< br>样本平均数.
（在课堂上，如果条件允许的话，可以给学生简单的介绍一下利用计算机来计算标准差的方法.） ２．方差：从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方
s
（即方差）来代替标准差，作为 测
量样本数据分散程度的工具：


2
s
2
< br>1
[(x
1
x)
2
(x
2
x)
2
L(x
n
x)
2
]
n
在刻画样本数据的 分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准
差.
（三）、例题精析
〖例1〗：画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点.
(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５；(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６
(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７；(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８
分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可
算出每一 组数据的标准差.
解：（图略，可查阅课本Ｐ６８）
四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３.
他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.
〖例2〗：（见课本Ｐ６９）
分析： 比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件 内径尺寸所组成的两个总体的平均数
与标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽 样分别获得相应的样本数据，
然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异 的估计值.
（四）、课堂精练：P
７１

练习 1. 2. 3 ４
定边中学高一数学备课组
29

（五）、课堂小结：1 、用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：①用样本平均数估计总体
平均数.②用样本标准差估计 总体标准差.样本容量越大，估计就越精确.2、平均数对数据有“取
齐”的作用，代表一组数据的平均 水平.3、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了
一组数据变化的幅度.
（六）、作业：1．P
７２

习题2.2 A组 ３、 ４、１０
五、教后反思：

第十课时 §1.7统计活动：结婚年龄的变化
一、教学目标
1．让学生经历“收集数据―整理数据―分析数据―作出推断”的统计活动，体验统计活动的
全过程．
2．会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数
据的分析,为合理的决策提供一些依据；认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异．
3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识．
二、教学重难点：统计活动的过程
三、教学过程
（一）、问题提出：

（二）、动手实践 P49
我们可以按照如下的步骤来进行这个统计活动.
1.确定调查对象
全班同学的父母辈和祖父母辈. 调查目的：随着年代推移结婚年龄如何变化.
2.收集数据
每位同学收集自己父母辈和祖父母辈的初次结婚年龄（例如，调查自己的父亲、母亲、祖父、祖
母的初婚年龄），按照以下方式记录下来（如下表）.

初次结婚年
父 辈

母 辈

祖父辈

祖母辈

定边中学高一数学备课组
30

龄岁
收集数据方法：问卷调查法.
3.整理数据
数据处理方法：利用计算机处理数据.
（1）先将本小组成员收集到的数据按下表汇总.
第_____小组


初次结婚年龄

岁
父 辈 母 辈 祖父辈 祖母辈
成 员[来源:

学科网ZXXK]
小组成员1
小组成员2










小组成员n
（2）再把班上所有同学的数据按照小组进行汇总，得到下表.
初次结婚年龄
岁 父 辈 母 辈 祖父辈 祖母辈
成 员
第1小组[来
[来源:学| [来源:学

源:学科网]




第2小组
















第m小组



4.分析数据
定边中学高一数学备课组
31

（1）将上面的数据用折线 图、频率直方图分别表示出来.同学们之间可进行交流、讨论，确定出
比较合适的统计图.
（2）分别估计父辈、母辈、祖父辈、祖母辈的初次结婚年龄的平均数与标准差，并进行比较，以
利于数 据的分析. 根据前面学过的知识，求平均数与标准差.
（三）、练习： P50，为下一课时分析 数据做准备，要求每一位学生调查对象的初婚年龄不要集
中在某一年，最好是最近5年内的每一年都有．
（四）、思考交流 P50，在上一课时活动的基础上，以问题的形式总结统计活动的基本步骤．教< br>师可以鼓励学生先回顾上一课时统计活动的过程，并结合该活动尽可能地用自己的方式来回答，
在 此基础上让他们充分交流，并引导学生共同得出结论．
（五）、动手实践 P51
通 过上一课时的统计活动，我们已经得出了结论：随着时代的发展，人们初次结婚的年龄确
实是在增大．但 是这个结论是通过调查父母辈和祖父母辈初次结婚的年龄得到的，它反映的只是
较长一个时间段,人们初 婚年龄的变化趋势．
请根据你们全班同学课前收集的数据,分析在最近的5年内,人们初次结婚 的年龄是否随着时代
的发展面逐渐增长?你可以上网上查阅与此相关的信息和统计数据.
（六）、课堂小结：统计活动的全过程：

说明：1．收集数据的方法：统计调查法 ；2．整数数据的方法：表格法；3．描述数据的方法：统
计图法.
（七）作业：习题1―7 P52
这里关键是要让学生理解：从调查的问题出发，如何 确定调查对象、如何收集数据、如何利
用数据帮助作出决策．
四、教学反思：

第十一课时 §1.8相关关系
一、 教学目标：1． 通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图，利用散点图直观认识变
量间的相关关系．2． 经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程．
二、重难点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系
三、教学方法：动手操作，师生合作交流
定边中学高一数学备课组
32

四、教学过程
（一）、创设情境 导入新课
1、相关关系的理解
师：我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者
之间是一种确定关系.生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？
让学生举例，教师总结 如：
生：不是.师：能否举出反例？ 比如，年龄与身高. 生：身高与体重
生：教师水平与学生成绩.生：网速与下载文件所需时间
师：不妨以教师水平与学生成绩为例，学生成绩与教师水平有关吗？
生：有，一般来说，教师水平越高，学生成绩越好
师：即“名师出高徒”，名师一定出高徒吗？ 生：不一定.
师：即学生成绩与教师水平之 间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平
之间的这种不确定关系，我们称之为相 关关系.这就是我们这节课要共同探讨的内容,即变量间的
相关关系.（板书）
生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”
【设计意图：通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系.
让学生体会研究变量之间相关关系的重要性.感受数学来源于生活.】
（二）、初步探索，直观感知
1、根据样本数据利用电子表格作出散点图，直观感知变量之间的相关关系
师：在研究相关关系前，同学们先回忆一下：函数的表示方法有哪些？
生：列表，画图象，求解析式.
师：下面我们就用这些方法来研究相关关系.请同学们看这样一组数据：
探究: 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 根据上述数
据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？
年
龄
脂
肪
生：随着年龄增长，脂肪含量在增加 师：有没有更直观的方式？生：画图
定边中学高一数学备课组
33

23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61
9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6

师生：用x轴表示年龄，y轴表 示脂肪.一组样本数据就对应着一个点.由于数据比较多，我们借
用电子表格来作图，请大家注意观察.
教师演示作图方法，学生观察
年龄
23
27
39
41
45
49
50
53
54
56
57
58
60
61
脂肪
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
















师：这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图.
2、判断正、负相关、线性相关 学生观察，比较，讨论.
师：请同学们观察这4幅图，看有什么特点？








1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
4
脂肪含量40
35
30
25
20
15
10
5
0
05
脂肪含量
40
35
30
25
20
15
10
5
0
3540
年龄
4550556065
10 00
800
600
400
200
图2r0.84
104 550
年龄
0
556065
050100150
图1
1.< br>1
0.
0.
0.
0.
0
-0
图2



56
3
7
图
891
0

0.0.0.
定边中学高一数学备课组
34

0.1

1.
图4

生：图1呈上升趋势，图2呈下降趋势.
师生：这就像函数中的增函数和减函数.即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大
到小.对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关.图2中的两个变量的相关关系，称
为负 相关.师：我们还可以判断出：年龄与身高是正相关，网速与下载文件所需时间是负相关.
生：后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状.
师：从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近.我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系.这条直线叫做回归直线.图3、4中的两个变量是非线性相关关
系
师：这节课我们重点研究线性相关关系.（板书）
设计意图 ：数形结合，扫清了学生的思维障碍，体现数学的简约美.




（三）、循序渐进、延伸拓展
1、找回归直线
脂肪含量
40< br>35
30
25
20
15
10
5
0
3 5
年龄
4
师：下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图，从整体上看，它们是线性相关 的.
如果可以求出回归直线的方程，我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.这条直线可
以作为两个变量具有线性相关关系的代表.同学们能否画出这条直线？请完成数学实验1、画出回
归直线.（学生在计算机上用电子表格画回归直线）
数学实验1： 画出回归直线



脂肪含量
40

35




30
25
20
15
10
5
0
35
年龄
4
定边中学高一数学备课组
35

教师展示学生画图情况，学生说明理由
脂肪含量
40
脂肪含 量
40
35
30
25
20
15
10
50
35
年龄
4



35
30
25
20
15
10
5
0
35
年龄
4学生方案一 学生方案二


脂肪含量
40
35
30
25

20



15
10
5
0
35
年龄
4
学生方案三
生总结： 第二种方法好，因为所有的点离这条直线最近.
师：即，从整体上看，各点与此直线的距离和最小.
（四）、例题探析
例1： 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
①正方形边长与面积之间的关系；②作文水平与课外阅读 量之间的关系；③人的身高与年龄之间
的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 【 答案：②③④】
例2、 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
房屋面积
（平方米）
61 70 115 110 80 135 105
销售价格
（万元）
12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
售
价






35
30
25
20
15
10
5
0
120140
面积
160
定边中学高一数学备课组
36

（五）、小结与作业
1．对于两个变量之间的关系，有函数关系和相关关系两种，其中函数关 系是一种确定性关系，相
关关系是一种非确定性关系.
2．散点图能直观反映两个相关变量之间的大致变化趋势，利用计算机作散点图是简单可行的办法.
3.一般情况下两个变量之间的相关关系成正相关或负相关，类似于函数的单调性.
作业：P85练习：1，2 .
五、教后反思：


第十二课时 §1.9最小二乘法
一、教学目标：经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘 法的思想，能
根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
二、教学重难点：重点：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助电子表格求出回归方程.
教学内容的难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解
教学实施过程中的难点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.
三、教学方法：动手操作，合作交流.
四、教学过程：
(一)、利用最小二乘法推导回归系数公式.
回顾上节课：师：我们现在来求距离和.怎么求？
生：利用点到直线的距离公式 师生共同：只要求出使距离和最小的
a
、b即可.但是，我们知道点到直线的距离公式计算 复杂.
怎么办呢？以样本数据点A为例， 可以看出：
60
50

第84页，习题2-3A第1(1)、2(1)题,
在
RT
△ABC中，（教师动画演示）
按照一对一的关系，直角边AC越小，斜边AB越小，
40
30
20
C
B
A
当AC无限小时，AB跟AC可近似看作相等.
-20
10
20406080
x
100
-10
求
AC
麻烦，不妨求
AB
生：< br>ABy
B
y
A

-20
师：它表示自变量x取值一定时，纵坐标的偏差.假设我们已经得到两个具有线性相关关 系的变量
的一组数据：
(x
1
,y
1
)(x
2,y
2
)
……
(x
n
,y
n
)
.当自变量
x
取
x
i
（
i
=1，2，……，n） 时，可以得到
ˆ
bx
i
a
（
i
=1，2，…… ，n），它与实际收集到的
y
i
之间的偏差是
y
定边中学高一数学备课组
37

ˆ
i< br>y
i

(
bx
i
a
)
（
i
=1，2，……，n）
y
i
y
这样用n个偏差的和来刻画“ 各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.总的偏差为
ˆ
)
，

(< br>yy
ii
i1
n
偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值
2

y
i1
n
i
ˆ
i
，由于带绝对值计 算不方便所以换成平方，
y
ˆ
i
)

(
y
1
bx
1
a
)
2

(
y
2
bx
2
a
)
2

(
y
3bx
3
a
)
2

(
y
n
bx
n
a
)
2
现在的问题就归结为：当
Q< br>
(
y
i
y
i1
n
a
，b取什 么值时Q最小.
将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值时
n

n


(xx)(yy)
(xx)( yy)

ii

ii

nn

< br>2
i1


2
i1


< br>(x
i
x)

b

Qn

a (ybx)(y
i
y)
2

nn


i1i1
(x
i
x)
2
(x
i
x )
2



i1i1

2
2< br>b

(x
i1
n
n
i
x)(y
i
y)


x
i1
n
i1
ni
y
i
nxy
2

(x
i
x)< br>2
i1

x
i
2
nx
1
n1
n
（其中
x

x
i
，
y

y
i
）
n
i1
n
i1

aybx
推导过程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以这种使“偏差的和”最小的 方法叫“最小
二乘法”.
设计意图：培养学生的动手操作能力，最小二乘法的思想是本节课的 教学难点，先让学生动手操
作画回归直线，教师动画演示，进一步演绎推理来分解难点、突破难点
（二）、直线回归方程的应用
（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）
进行 估计，即可得到个体Y值的容许区间.
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标.如
已经得到了空气中NO
2
的浓度和汽车流量间的回归 方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO
2
的浓度.
应用直线回归的注意事项 ：（1）做回归分析要有实际意义；（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延.
定边中学高一数学备课组
38

（四）、实例分析：
某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出（
资料如下表：
科研费用支出（
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
合计
要求估计利润（
X
i
）与公司所获得利润（
Y
i
）的统计
X
i
）与利润（
Y
i
）统计表 单位：万元
科研费用支出
5
11
4
5
3
2
30
利润
31
40
30
34
25
20
180
Y
i
）对科研费用支出（
X
i
）的线性回归模型.
解：设线性回归模型直线方程为：
ˆ


ˆ
X
ˆ


Y
i01i
因为：
X

X
n
i

30
5
6

Y
Y


n
i

180
30
6
根据资料列表计算如下表：
年份
1998
1999
2000
2001
2002
2003
合计
X
i

5
11
4
5
3
2
30
Y
i

31
40
30
34
25
20
180
X
i
Y
i

X
i
2

155
440
120
170
75
40
1000
25
121
16
25
9
4
200
X
i
X

Y
i
Y

(X
i
X)
2

(X
i
X)(Y
i
Y)

0
6
-1
0
-2
-3
0
1
10
0
4
-5
-10
0
0
36
1
0
4
9
50
0
60
0
0
10
30
100
现利用公式（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）求解 参数

0
、

1
的估计值：
定边中学高一数学备课组
39

n

X< br>i
Y
i


X
i

Y
i< br>ˆ

1

2
n

X
i
(

X
i
)
2
6100030180
620 030
2
60005400

1200900
600

300
2


ˆ
Y

ˆ
X

01
3025

20

ˆ
Y

ˆ
X

01
ˆ


1


XYnXY

X n(X)
ii
2
i
ˆ
Y

ˆ
X
01
3025

20
2
10006530
20065
2
100

50
2

ˆ
Y

ˆ
X

0 1
ˆ


1

ii
2

(XX )(YY)
3025

(XX)

20i
ˆ
Y

ˆ
X

01

100
50
2

所以：利润（
Y
i
）对 科研费用支出（
X
i
）的线性回归模型直线方程为：
ˆ
202XY
ii

求直线回归方程，相关系数和作图,这些EXCEL可以方便地做到.仍以上题的数据为例.于 EXCEL
表 中的空白区，选用插入菜单命令中的图表，选中 XY散 点图类型，在弹出的图表向导中
按向导的要求一步一步地 操作，如有错误可以返回去重来或在以后修改.适当修饰 图的大小、纵
横比例、字体大小、和图符的大小等，使图 美观，最后得到图1，图中有直线称为趋势线 ，还有
直线方程和相关系数.图中的每一个部份如坐标、标题、图例 等都可以分别修饰，这里主要介绍
趋势线和直线方程.
定边中学高一数学备课组
40

45
40
35
30
2520
15
10
5
0
051015
y = 2x + 20
R = 0.8264
2
系列1
线性 (系列1)

图1散点图
鼠标右键点击图中的数据点，出现一个对话框，选 添加趋势线，图中自动 画上一条直线，
再以鼠标右击此线，出现趋势线格式对话框，选择线条的粗细和颜色，在选项中选取显示 公式和
显示R 平方值，确定后即在图中显示回归方程和相关系数.
（五）、课堂练习：第83页，练习A,练习B
(六)、小结：经历用不同估算方法描述两个 变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想，能根
据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
（七）、课后作业：第84页，习题2-3A第1、2题,
五、教后反思：













定边中学高一数学备课组
41

第十三课时 必修3第一章统计复习与小结
一、教学目标： 1通过小结与复习，梳理本章知识内容，强化知识间的内在联系，提高综合运用
知识解决问题的能力． 2．通过例题的讲解、讨论和进一步的训练，提高学生灵活运用本章知识
解决问题的能力
二、教学重点：统计知识的梳理和知识之间的内在联系；教学难点：用知识解决实际问题
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）知识点归纳与例题分类探析
1、抽样方法：（1）简单随机抽样（2）系统抽样（3）分层抽样
2、样本分布估计总体分：（1）扇形图； （2）条形图；（3）折线图；（4）茎叶图；（5）频率分布
表；（6）直方图； (7)散点图.
3、样本特征数估计总体特征数 ：(1)平均数 （2）方差 (3)众数 (4)中位数
４、线性回归方程.
5、总体、个体、样本、样本容量
总体：在统计中，所有考察 对象的全体.个体：总体中的每一个考察对象.样本：从总体中抽取的
一部分个体叫做这个总体的一个样 本.样本容量：样本中个体的数目.
6、统计的基本思想是：用样本的某个量去估计总体的某个量.
7、总体中每个个体被抽取的机会相等.（1）简单随机抽样 （抽签法、随机数法）（2）系统抽样
（3）分层抽样
（1）、抽签法步骤①先将总体中的所有个体（共有N个） 编号（号码可从0到N-1）.②把号
定边中学高一数学备课组
42

码写在形状、大小相同的号签上，号签可用小球、卡片、纸条等制作.③将这些号签放在同一个容器中，搅拌均匀.④抽签时，每次从中抽出一个号签，连续抽取n次.⑤抽出样本.
（2）、随机 数表法步骤①将总体中的个体编号(编号时位数要一样)；②选定开始的数字；③按照
一定的规则读取号 码；④取出样本
（3）.系统抽样步骤:① 编号,随机剔除多余个体,重新编号；② 分段 (段数等于样本容量)样本
距 k=Nn；③ 抽取第一个个体编号为i （i<=k）④依预定的规则抽取余下的 个体编号为i+k,
i+2k, ….
（4）.分层抽样步骤：① 将总体按一定标准分层；② 计算各层的个体数与总体的个体数的比;
抽样比k=nN；③ 按比例确定各层应抽取的样本数目；④ 在每一层进行抽样(可用简单随机抽样
或系统抽样).
例1、某校高中三年级的295名学生 已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，
要按1：5的比例抽取一个样本，用系统 抽样的方法进行抽取，并写出过程.
[分析]按1：5分段，每段5人，共分59段，每段 抽取一人，关键是确定第1段的编号.
解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5=5 9，我们把259名同学分成59组，每组5
人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6 ～10的5名学生，依次下去，59组是
编号为291～295的5名学生.采用简单随机抽样的方法， 从第一组5名学生中抽出一名学生，不
妨设编号为k(1≤k≤5)，那么抽取的学生编号为k+5L( L=0,1,2,……，58)，得到59个个体作为
样本，如当k=3时的样本编号为3，8，13， ……，288，293.
例2、一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2 ：3，从3万人中抽取
一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及 水土有关，问应
采取什么样的方法？并写出具体过程.
解：因为疾病与地理位置和水土均有关 系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽
样的方法，具体过程如下：（1）将3万人分为 5层，其中一个乡镇为一层.
（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.
3 00×(315)=60（人），300×(215)=40（人），300×（515）=100(人) ,300×(215)=40（人），
300×(315)=60（人）， 因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人.
（3）将300人组到一起，即得到一个样本.
类别 抽样方式 使用范围 共同点 相互联系
定边中学高一数学备课组
43

简单随机抽从总体中逐个抽
总体中个体数较少时
样
系统抽样
按规则抽取
能性相同
分层
分层抽样
按各层比例抽取 时
分析样本，估计总体
几个公式
样本数据：
x，x
2
，L
1
，x
n

抽样过程中每个
在第一段中采用简单
取
分段
总体中个体数较多时 个体被抽取的可
随机抽样
总体中个体差异明显各层中抽样时采用前
两种方式

x
1
x
2
K
n
x
nx
平均数：

标准差：
ss
2

(x
1
x)
2
L(x
n
x)
2
n
分析样本的分布情况可用样本的频率分布表、样本的频率分布直方图、样本的茎叶图.
频率分布：是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本
的频率分 布.
频率分布直方图的特征：（1）从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.（2）从 频
率分布直方图得不出原始的数据内容，每个小矩形的面积等于此项的概率，所有面积和为1.
做样本频率分布直方图的步骤：
（1）决定组距与组数; (组数＝极差组距)；（2）将数 据分组；（3）列频率分布表（分组，频数，
频率）；（4）画频率分布直方图.
做频率分布 直方图的方法：把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底
作一矩形，它的高等 于该组的频率组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上
的频率，这些矩形就构成了频 率分布直方图.
例3、下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)



区间界限[122,126)[126,130)[130,134) [134,138)[138,142)[142,146)
人数5810223320
区间界 限[146,150)[150,154)[154,158)
人数1165
定边中学高一数学 备课组
44

(1)列出样本频率分布表；(2)画出频率分布直方 图；(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的
百分比.
分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.
解：（１）样本频率分布表如下：
（２）其频率分布直方图如下

频率组距
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
o
分组
[122,12 6)
[126,130)
[130,134)
[134,138)
[138, 142)
[142,146)
[146,150)
[150,154)
[15 4,158)
合计
频数
5
8
10
22
33
20
11
6
5
120
频率
0.04
0.07
0.08
0.18
0.28
0.17
0.09
0.05
0 .04
1
122 126 130 134
138
142 146 150 154 158 身高（cm）

（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04+0.07+0.08=0.19， 所以
我们估计身高小于134cm的人数占总人数的19%.
茎叶图：１．茎叶图的概念： 用中间的数字表示十位数，两边的数字表示个位数，它的中间部分
像植物的茎，两边部分像植物茎上长出 来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.
2．茎叶图的特征： （1）用茎叶图表示数据有两个 优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损
失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的 数据可以随时记录，随时添加.（２）
茎叶图只便于表示量比较少的数据，而且茎叶图只方便记录两组的 数据.注意：相同的得分要重复
记录，不能遗漏.
变量间的相互关系：1、相关关系（1）概 念：两个变量之间是不确定的随机关系，但两个变量之
间又有关系，称为相关关系.（2）相关关系与函 数关系的异同点.相同点：两者均是指两个变量间
的关系.不同点：函数关系是一种确定关系，是一种因 果系；相关关系是一种非确定的关系，也不
一定是因果关系（但可能是伴随关系）.（3）相关关系的分 析方向.在收集大量数据的基础上，利
用统计分析，发现规律，对它们的关系作出判断.
定边中学高一数学备课组
45

2、回归直线方程（1）回 归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就
称两个变量之间具有线性相关的关 系，这条直线叫做回归直线.（2）最小二乘法求线性回归方程
的步骤:1.列表、计算 2.代入公式求a,b.3.写出直线方程.(3)利用回归直线对总体进行估计
（二）、练习： < br>1、某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为< br>了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记做①；某学校高一年级
有12名女排运动员，要从中选出3个调查学习负担情况，记做②.那么完成上述2项调查应采用
的抽样 方法是( ) 答案B
(A)①用简单随机抽样法，②用系统抽样法 (B)①用分层抽样法，②用简单随机抽样法
(C)①用系统抽样法，②用分层抽样法 (D)①用分层抽样法，②用系统抽样法
2、某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6 000辆和2000辆.为检验该公司的产品质
量，现用分层抽样的方法抽取46辆舒畅行检验，这三种 型号的轿车依次应抽取___辆.答案：6、
30 、 10
2
3．从甲、乙两班 分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S
1
= 13.2，
2
S
2
=26．26，则( )．A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐
B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐
D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度
4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设
其平均数为a，中位数为b，众数 为c，则有( )．答案：D
A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a
5. 如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出6 0名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分
布直方图如下：观察图形，回答下列问题：

（1）79.5---89.5这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）
解：（1）频率为：0.025×10=0.25， 频数为：60×0.25=15
（2）0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10=0.75
定边中学高一数学备课组
46

（三）、小结 ：统计．这 一部分内容，可以看成是初中“统计初步”和高中必修课“概率”这两
章内容的深入和扩展，它属于统计 的基础知识，从总的方面来看，研究了两个基本问题：一是如
何从总体中抽取样本；二是如何对抽取的样 本进行计算与分析，并据此对总体的相应情况作出判
断．要领会思想方法的实质，这样才能达到事半功倍 的效果
（四）、课后作业：复习题一A组7、8 B组3、5
五、教学反思：

北师大版高中数学必修3第二章 《算法初步》全部教案
定边中学杜卫军整理

1．1．1算法的概念
一、教学目标：
1、知识与技能：（1）了解算 法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）
掌握正确的算法应满足的要求。（ 4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整
数序列中的最大值的算法。（6）会应 用Scilab求解方程组。
2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤， 从而得到一个解二元一
次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的 角度不同，同
一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列 中的
最大值的算法。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有 一个基本的了解，明确
算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认 识世界的能力。
二、重点与难点：
重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。
难点：把自然语言转化为算法语言。
三、教学设想：
1、 创设情境：
算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概
念。但是我们 却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，
从里往外脱括弧，竖 式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知
道解一元二次方程的算法，求 解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，
求两个数的最大公因数的算法等。因 此，算法其实是重要的数学对象。
2、 探索研究
算法(algorithm)一词源于 算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算
过程。后来，人们把它推广到 一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是 做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书
是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究 计算机能实现的算法，即按
照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法 、函数求值的算法、
作图的算法，等等。
3、 例题分析：
1
例1 任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。



定边中学高一数学备课组
47

例2 用二分法设计一个求议程x–2=0的近似根的算法。
小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2 )确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性
典例剖析：
1、基本概念题
例3 写出解二元一次方程组

2

x2y1①

2xy1②
的算法
学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？
老师评一评： 本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程
组的解法。下面写出求方程组< br>

A
1
xB
1
yC
1
0< br>(A
1
B
2
B
1
A
2
0)的解的算法：

A
2
xB
2
yC
20
第一步：②×A
1
-①×A
2
，得(A
1
B
2
-A
2
B
1
)y+A
1
C
2
-A
2
C
1
=0；③
第二步：解③，得
yA
2
C
1
A
2
C
2
；
A
1
B
2
A
2
B
1
第三步：将
y 
A
2
C
1
A
2
C
2
B2
C
1
B
1
C
2
代入①，得
x< br>。
A
1
B
2
A
2
B
1
A
1
B
2
A
2
B
1
此时我们得到了二元 一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：
第一步：取A
1
=1 ，B
1
=-2，C
1
=1，A
2
=2，B
2
=1，C
2
=-1；
第二步：计算
x
B
2
C
1
B
1
C
2
ACA
2
C
2
与
y
21

A
1
B
2
A2
B
1
A
1
B
2
A
2
B< br>1
第三步：输出运算结果。
可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。

基础知识应用题
例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。
小结 由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正
确 的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的
循环 ，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次
之后都要在 步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最
后一个P的值，对 于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。
4、课堂小结
本节课主要讲了算法的 概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不
开算法，算法的描述可以用自然语言，也 可以用数学语言。
5、作业


定边中学高一数学备课组
48

1．1．2 程序框图(共3课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：掌握程序框图的概念；会用通用的图形符号表示算法，掌握 算法的三个基本逻
辑结构；掌握画程序框图的基本规则，能正确画出程序框图。
2、过程与方 法：通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程；学会灵
活、正确地画程序框图 。
3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对程序框图有一个基本的了解；掌握算法语言的三种基本逻辑结构，明确程序框图的基本要求；认识到学习程序框图是我们学习计算机的一个
基本 步骤，也是我们学习计算机语言的必经之路。
二、重点与难点：重点是程序框图的基本概念、基本图形 符号和3种基本逻辑结构，难点是能综
合运用这些知识正确地画出程序框图。
三、教学设想：
1、创设情境：
算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我 们更经常地用
图形方式来表示它。
基本概念：
（1）起止框图： 起 止框是任何流程图都不可缺少的，它表明程序的开始和结束，所
以一个完整的流程图的首末两端必须是起 止框。
（2）输入、输出框： 表示数据的输入或结果的输出，它可用在算法中的任何需要 输入、
输出的位置。图1-1中有三个输入、输出框。第一个出现在开始后的第一步，它的作用是输入未
知数的系数a11,a12,a21,a22和常数项b1,b2,通过这一步，就可以把给定的数值写 在输入框内，
它实际上是把未知数的系数和常数项的值通知给了计算机，另外两个是输出框，它们分别位 于由
判断分出的两个分支中，它们表示最后给出的运算结果，左边分支中的输出分框负责输出D≠0时未知数x1,x2的值，右边分支中的输出框负责输出D=0时的结果，即输出无法求解信息。
（3）处理框： 它是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号。图1-1中出现了两个处理框。第一个处理框的作用是计算D=a11a22-a21a12的值，第二个处理框的作 用
是计算x1=(b1a22-b2a12)D,x2=(b2a11-b1a21)D的值。
（4）判断框： 判断框一般有一个入口和两个出口，有时也有多个出口，它是惟一的具有两个或两个以上出口的符号，在只有两个出口的情形中，通常都分成“是”与“否”（也可用
“ Y”与“N”）两个分支，在图1-1中，通过判断框对D的值进行判断，若判断框中的式子是D=0，
则说明D=0时由标有“是”的分支处理数据；若D≠0，则由标有“否”的分支处理数据。例如，
我们 要打印x的绝对值，可以设计如下框图。
开始


输入x


是 x≥0？ 否


打印x -打印x

定边中学高一数学备课组
49

结束
从图中可以看到由判断框分出两个分支，构成一个选择性结构，其中选择的标准是“x≥0”，
若符合这个条件，则按照“是”分支继续往下执行；若不符合这个条件，则按照“否”分支继续
往下执行 ，这样的话，打印出的结果总是x 的绝对值。
在学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作 用及使用规则，画程序框图的规则如
下：（1）使用标准的图形符号。
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
（3）除判断框外，大多数流程图符号只有 一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退
出点的惟一符号。
（4）判断框分两大类， 一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；
另一类是多分支判断，有几种不同的 结果。
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
2、典例剖析：
例1：已知x=4,y=2,画出计算w=3x+4y的值的程序框图。
解：程序框如下图所示：
开始


输入4，2 4和2分别是x和y的值


w=3×4+4×2


输出w


结束

基础知识应用题
1）顺序结构：顺序结构描述的是是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上
到下的顺 序进行的。
例2：已知一个三角形的三边分别为2、3、4，利用海伦公式设计一个算法，求出它的面 积，并画
出算法的程序框图。
程序框图：
开始




p=(2+3+4)2



s=√p(p-2)(p-3)(p-4)
定边中学高一数学备课组
50

输出s



结束

2）条件结构：一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但是这种结构无法对描述对象进行逻 辑
判断，并根据判断结果进行不同的处理。因此，需要有另一种逻辑结构来处理这类问题，这种结
构叫做条件结构。它是根据指定打件选择执行不同指令的控制结构。
例3：任意给定3个正实数，设 计一个算法，判断分别以这3个数为三边边长的三角形是否
存在，画出这个算法的程序框图。
程序框图：

开始



输入a,b,c



a+b>c , a+c>b, b+c>a是 否
否同时成立？

是


存在这样的三角形
不存在这样的三角形




结束

3）循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始 ，按照一定条件，反复执行某一处理步骤
的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然 ，循环结构中一定包含条件结构。
循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：
（1） 一类是当型循环结构，如图1-5（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行
A框，A框执 行完毕后，再判断条件P
1
是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A
框 ，直到某一次条件P
1
不成立为止，此时不再执行A框，从b离开循环结构。
（2） 另一类是直到型循环结构，如下图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P
2
是否成立 ，如果P
2
仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P
2
成立为 止，此时不再
执行A框，从b点离开循环结构。



定边中学高一数学备课组
51

A A

P
1
？
P
2
？ 不成立
不成立
成立

b b
当型循环结构 直到型循环结构
（1） （2）
例4：设计一个计算1+2+…+100的值的算法，并画出程序框图。
程序框图：
















开始
i=1
Sum=0
i=i+1
Sum=sum+i
i≤100？
否 是


输出sum



结束
3、课堂小结：
本节课主要讲述了程序框图的基本知识，包括常用 的图形符号、算法的基本逻辑结构，
算法的基本逻辑结构有三种，即顺序结构、条件结构和循环结构。其 中顺序结构是最简单的
结构，也是最基本的结构，循环结构必然包含条件结构，所以这三种基本逻辑结构 是相互支
撑的，它们共同构成了算法的基本结构
4、自我评价：
1）设x为为一个 正整数，规定如下运算：若x为奇数，则求3x+2；若x为偶数，则为5x，写出算
法，并画出程序框 图。2）画出求2
1
+2
2
+2
3
+…2
100< br>的值的程序框图。
6、作业：课本P20习题1.1 A组2、3
定边中学高一数学备课组
52

1.2.1输入、输出语句和赋值语句（第一课时）
一、教学目标：
知识与技能
（1）正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的结构。
（2）会写一些简单的程序。
（3）掌握赋值语句中的“=”的作用。
过程与方法
（1）让学生充分地感知、体验应用计算机解决数学问题的方法；并能初步操作、模仿。
（2）通过对现实生活情境的探究，尝试设计出解决问题的程序，理解逻辑推理的数学方法。
情感态度与价值观
通过本节内容的学习，使我们认识到计算机与人们生活密切相关，增强计算 机应用意
识，提高学生学习新知识的兴趣。
重点与难点
重点：正确理解输入语句、输出语句、赋值语句的作用。
难点：准确写出输入语句、输出语句、赋值语句。
教学设想
【创设情境】
在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具，如：听MP3，看
电影，玩游戏 ，打字排版，画卡通画，处理数据等等，那么，计算机是怎样工作的呢？
计算机完成任何一项任务都需 要算法，但是，我们用自然语言或程序框图描述的算法，
计算机是无法“看得懂，听得见”的。因此还需 要将算法用计算机能够理解的程序设计语言
（programming language）翻译成计算机程序。
程序设计语言有很多种。如BASIC，Foxbase，C 语言，C++，J++，VB等。为了实现算
法中的三种基本的逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结 构，各种程序设计语言中都包含
下列基本的算法语句：

输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句


这 就是这一节所要研究的主要内容——基本算法语句。今天，我们先一起来学习输入、
输出语句和赋值语句 。（板出课题）
【探究新知】
我们知道，顺序结构是任何一个算法都离不开的基本结
语句n
构。输入、输出语句和 赋值语句基本上对应于算法中的顺序结
构。（如右图）计算机从上而下按照语句排列的顺序执行这些语< br>句。
语句n+1
输入语句和输出语句分别用来实现算法的输入信息，
结果的功能。如下面的例子：
3 2
输出
用描点法作函数
yx3x24x30
的图象时，需要求出自变 量与函数的一组对应
值。编写程序，分别计算当
x5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5
时的函数值。
程序：(教师可在课前准备好该程序，教学中直接调用运行)

INPUT “x=”;x
y=x^3+3*x^2-24*x+30
PRINT x
PRINT y
END
定边中学高一数学备课组
53

（学生先不必深究该程序如何得来，只要求懂得上机操作，模仿编写程序，通 过运行自己编
写的程序发现问题所在，进一步提高学生的模仿能力。）
〖提问〗：在这个程序 中，你们觉得哪些是输入语句、输出语句和赋值语句呢？（同学们互相交
流、议论、猜想、概括出结论。 提示：“input”和“print”的中文意思等）
（一）输入语句
在该程序中的第1行中的INPUT语句就是输入语句。这个语句的一般格式是：



INPUT “提示内容”；变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样 的信息。如每次运行上述程序时，依次输
入-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5， 计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并
按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：



INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：
INPUT “数学，语文，英语”；a，b，c
（二）输出语句
在该程序中，第3行和第4行中的PRINT语句是输出语句。它的一般格式是：



PRINT “提示内容”；表达式
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。例如下面的语句可以输出斐波那契数
列：




（1）输出常量，变量的值和系统信息。（2）输出数值计算的结果。
〖思考〗：在1.1. 2中程序框图中的输入框，输出框的内容怎样用输入语句、输出语句来表达？
（学生讨论、交流想法，然 后请学生作答）
（三）赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。
除了输入语句，在该程序中第2行的赋值语句也可以给变量提供初值。它的一般格式是：

变量
=
表达式

赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值 语句的作用：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变
量，使该变量的值等于 表达式的值。
〖思考〗：在1.1.2中程序框图中的输入框，哪些语句可以用赋值语句表达？并写出 相应的赋值
语句。（学生思考讨论、交流想法。）
【例题精析】
定边中学高一数学备课组
54

PRINT “The Fibonacci Progression is：”；
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 “…”

〖例1〗：编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩。
分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程。
算法： 程序：













开始
输入a,b,c
y
abc

3
INPUT “数学=”;a
INPUT “语文=”;b
INPUT “英语=”;c
y=(a+b+c)3
PRINT “The average=”;y
END
输出y






结束

〖例2〗：给一个变量重复赋值。
程序：
A=10
A=A+10
PRINT A
END
[变式引申]：在此程序的基础上，设计一个程序，要求最后A的输出值是30。
（该变式的设计意图是学生加深对重复赋值的理解）
程序：


〖例3〗：交换两个变量A和B的值，并输出交换前后的值。
程序：









INPUT A
INPUT B
PRINT A，B
X=A
A=B
B=X
PRINT A，B
END
A=10
A=A+15
PRINT A
A=A+5
PRINT A
END

〖补例〗：编写一个程序，要求输入一个圆的半径，便能输出该圆的周长和面积。（

取
3.14）
定边中学高一数学备课组
55

程序：



INPUT “半径为R=”；R

C=2*3.14*R

S=3.14*R^2

PRINT “该圆的周长为：”；C

PRINT “该圆的面积为：”；S

END
【课堂精练】
P
24
练习 1. 2. 3
【课堂小结】
本节课介绍了输入语句、输出语句和赋值语句的结构特点及联系。 掌握并应用输入语
句，输出语句，赋值语句编写一些简单的程序解决数学问题，特别是掌握赋值语句中“ =”
的作用及应用。编程一般的步骤：先写出算法，再进行编程。我们要养成良好的习惯，也
有 助于数学逻辑思维的形成。
【作业】
1．P
33
习题1.2 A组 1（2）、2
2．试对生活中某个简单问题或是常见数学问题，利用所学基本算法语句等知识来 解决
自己所提出的问题。要求写出算法，画程序框图，并写出程序设计。



1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句（第二、三课时）
教学目标：
知识与技能
（1）正确理解条件语句和循环语句的概念，并掌握其结构的区别与联系。
（2）会应用条件语句和循环语句编写程序。
过程与方法
经历对现实生活情境的探 究，认识到应用计算机解决数学问题方便简捷，促进发展学
生逻辑思维能力
情感态度与价值观
了解条件语句在程序中起判断转折作用，在解决实际问题中起决定作用。深刻体会到
循环语句在 解决大量重复问题中起重要作用。减少大量繁琐的计算。通过本小节内容的学
习，有益于我们养成严谨的 数学思维以及正确处理问题的能力。
重点与难点
重点：条件语句和循环语句的步骤、结构及功能。
难点：会编写程序中的条件语句和循环语句。
教学设想
【创设情境】
试求自然数1+2+3+……+99+100的和。
显然大家都能准确地口算出它的答案：5 050。而能不能将这项计算工作交给计算机来
完成呢？而要编程，以我们前面所学的输入、输出语句和 赋值语句还不能满足“我们日益
增长的物质需要”，因此，还需要进一步学习基本算法语句中的另外两种 ：条件语句和循环
定边中学高一数学备课组
56

语句（板出课题）
【探究新知】
（一）条件语句
算法中 的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。它
的一般格式是：（IF- THEN-ELSE格式）



IF 条件 THEN


满足条件？
否
语句1

是
ELSE

语句2

语句1 语句2
END IF



当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN< br>后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）




IF 条件 THEN

语句

END IF

计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判 断，如果条件符合，
就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他 语句。
其对应的程序框图为：（如上右图）
条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是 否满足约定的条件而决定是否需要
转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后 的不同情况进行不
同的处理。
【例题精析】
〖例1〗：编写程序，输入一
元二次方程
axbxc0
的系
数，输出它的实数根。
分析：先把解决 问题的思
路用程序框图表示
出来，然后再根据
程序框图给出的算
法步骤，逐步 把算
法用对应的程序语
句表达出来。
算法分析：我们知道，若判别
式
b4ac0
，原方程
2
2
INPUT “Please input a，b，c =”;a，b，c
d=b*b-4*a*c
p=-b(2*a)
q=SQR(ABS(d))(2*a)
IF d>=0 THEN
x1=p+q
x2=p-q
IF x1=x2 THEN
PRINT “One real root:”;x1
ELSE
PRINT “Two real roots:x1”;x1,“and x2”;x2
END IF
ELSE
PRINT “No real root!”
定边中学高一数学备课组
57

END IF
END