高中数学第三章三角恒等变形章末复习课学案北师大版必修
师德师风演讲稿-沈阳高考网
第三章 三角恒等变形
学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正
弦、余弦、正切的两角和与差公
式与二倍角公式．对三角函数式进行化简、求值和证明．
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(
α
－
β
)＝________________________.
cos(
α
＋
β
)＝________________________.
sin(
α
＋
β
)＝________________________.
sin(
α
－
β
)＝________________________.
tan
(
α
＋
β
)＝________________________. tan(
α
－
β
)＝_______________________
_.
2．二倍角公式
sin
2
α
＝________________________.
cos 2
α
＝__________________＝____________________＝____
____________________.
tan
2
α
＝____________________.
3．升幂公式
1＋cos 2
α
＝____________________.
1－cos 2
α
＝____________________.
4．降幂公式
sin
x
cos
x
＝________
______，cos
x
＝____________，
sin
x
＝____________________.
5．和差角正切公式变形
tan
α
＋tan
β
＝________________________，
tan
α
－tan
β
＝________________________.
6．辅助角公式
2
2
y
＝
a
sin
ωx
＋
b
cos
ωx
＝________________________.
类型一
灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
41
例1
已知
α
，
β
为锐角，cos
α
＝，tan(
α
－
β
)＝－，求cos
β
的值．
53
1 11
反思与感悟 给值求值的重要思
想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换
时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系
，如
α
＝2·
，
α
＝(
α
＋
β
)－
β
，
α
＝
2
α
β
－(
β
－
α
)，
α
＝[
(
α
＋
β
)＋(
α
－
β
)]，
β
＝[(
α
＋
β
)－(
α
－
β
)]
等．
跟踪训练1如图，在平面直角坐标系
xOy
中，以
Ox
轴为始
边作两个锐角
1
2
1
2
α
，
β
，它们的终
边分别与单位圆相交于
A
，
B
两点，已知
A
，
B<
br>的横坐
31025
标分别为，.
105
(1)求tan(
α
－
β
)的值；
(2)求
α
＋
β
的值．
类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用
例2 求函数
f
(
x
)＝sin
x
＋cos
x
＋sin
x
·cos
x
，
x
∈R的最值及取到最值时
x
的值．
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个
“元”来参与计算和
推理，这个“元”可以明确地设出来．
跟踪训练2
求函数
y
＝sin
x
＋sin 2
x
－cos
x
(
x
∈R)的值域．
2 11
类型三
转化与化归思想在三角恒等变换中的应用
5π
π
2
例3 已知函数
f(
x
)＝23sin(
x
－3π)sin
x
－
＋2sin
x
＋
－1，
x
∈R.
2
2
π
(1)求
函数
f
(
x
)的最小正周期及在区间
0，
上的最大值和最小值；
2
6
ππ
(
2)若
f
(
x
0
)＝，
x
0
∈
，
，求cos 2
x
0
的值．
5
42
反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦
型)
函数，这是解决问题的前提．
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式
、辅助角公式消除差异，减少角的种类
和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的
三角函数，讨论其图像和
性质．
π
317π
<
x
<
7π
，求
sin
2
x
＋2sin
x
的值． 跟踪训练3
已知cos
＋
x
＝，
41－tan
x
4
512
类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
3
11
2
例4 已知sin
x
＋2cos
y
＝2，求2sin
x
＋cos
y
的取值范围．
反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数
式看作未知数，联系已知条件或
三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．
跟踪训练4 已知关于
θ
的方程3cos
θ
＋sin
θ
＋
a
＝0在区间(0,2π)上有两个不相等的
实数解
α
，
β
，求cos(
α
＋
β
)的值．
5
α
1．若
α
是第三象限角，且s
in(
α
＋
β
)cos
β
－sin
β
cos(
α
＋
β
)＝－，则tan
等于
132
( )
512
A．－5 B．－ C. D．5 1313
5
44
2．已知
θ
是第三象限角，且sin
θ
＋cos
θ
＝，则sin 2
θ
等于( )
9
A.
22
3
22
B．－
3
2
D．－
3
2
C.
3
11
3．已知sin
α
＋cos
β
＝，sin
β
－cos
α
＝，则sin(
α
－
β
)＝________.
32
π
4
π
4．设
α
为锐角，
若cos
α
＋
＝，则sin
2
α<
br>＋
的值为________．
6
5
12
π3
2
5．已知函数
f
(
x
)＝cos
x
·sin(
x
＋)－3cos
x
＋，
x
∈R.
34
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
ππ
(2)求
f
(
x
)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．
44
4 11
本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三
角函数的
性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，
快速化到最简，再进
一步研究函数的性质．
5 11
答案精析
知识梳理
1．cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
cos
α
cos
β
－sin
α
sin
β
sin
α
cos
β
＋cos
α
sin
β
sin
α
cos
β
－cos
α
sin
β
2
tan
α
＋tan
β
tan
α
－tan
β
1－tan
α
tan
β
1＋tan
α
tan
β
222
2．2sin
α
cos
α
cos
α
－sin
α
2cos
α
－1 1－2sin
α
3．2cos
α
2sin
α
4.
sin
2
x
1＋cos 2
x
1－cos 2
x
222
22
2tan
α
2
1－tan
α
5．tan(
α
＋
β
)(1－tan
α
tan
β
) tan(
α
－
β
)(1＋tan
α
tan
β
)
6.
a
＋
b
sin(
ωx
＋
θ
)
题型探究
4
例1 解 ∵
α
是锐角，cos
α
＝，
5
33
∴sin
α
＝，tan
α
＝.
54
∴tan
β
＝tan[
α
－(
α
－
β
)]
＝
tan
α
－tan
α
－
β
13
＝.
1＋tan
α
tan
α
－
β
9
22
910
∵
β
是锐角，∴cos
β
＝.
50
31025
跟踪训练1 解 (1)由题可知，cos
α
＝，cos
β
＝.
105
由于
α
，
β
为锐角，则sin
α
＝
10511
，sin
β
＝，故tan
α
＝，tan
β
＝，
10532
11
－
tan
α
－tan
β
32
1
则tan(
α
－
β
)＝＝＝－.
1＋tan
α
tan
β
17
1＋
6
1
1
＋
32
(2)因为tan(
α
＋
β
)＝＝1，
1
1－
6
sin
α
＝
10252
<，sin
β
＝<，
10252
6 11
ππ
即0<
α
＋<
br>β
<，故
α
＋
β
＝.
24
例2 解
设sin
x
＋cos
x
＝
t
，
则
t
＝sin
x
＋cos
x
＝2
2
2
sin
x
＋cos
x
2
2
<
br>
π
＝2sin
x
＋
，
4
∴
t
∈[－2，2]，
sin
x
＋cos
x
∴sin
x
·cos
x
＝
2
22
－1
t
－1
＝.
2
∵
f
(
x
)＝sin
x
＋cos
x
＋sin
x
·cos
x
，
∴
g<
br>(
t
)＝
t
＋
t
2
－11
＝(t
＋1)－1，
t
∈[－2，2]．
22
2
当
t
＝－1，即sin
x
＋cos
x
＝－1时，
f
(
x
)
min
＝－1，
2
π
此时，由sin
x
＋
＝－，
4
2
π
解得
x
＝
2
k
π－π或
x
＝2
k
π－，
k
∈Z.
2
1
当
t
＝2，即sin
x
＋cos
x
＝2时，
f
(
x
)
max
＝2＋， <
br>2
π
此时，由2sin
x
＋
＝2，
4
π
即sin
x
＋
＝1，
4
π
解得
x＝2
k
π＋，
k
∈Z.
4
ππ
综上，当x
＝2
k
π－π或
x
＝2
k
π－，
k
∈Z时，
f
(
x
)取得最小值－1；当
x
＝2k
π＋，
k
∈Z
24
1
时，
f
(x
)取得最大值2＋.
2
跟踪训练2 解 令sin
x
－cos
x
＝
t
，
π
则由
t
＝2sin
x
－
知，
t
∈[－2，2]．
4
又sin
2
x
＝1－(sin
x
－cos
x
)＝1－
t
，
∴
y
＝(sin
x
－cos
x
)＋sin
2
x
＝
t
＋1－
t
2
22
<
br>1
2
5
＝－
t
－
＋
.
2
4
7 11
15
当
t
＝时，
y
max
＝；
24
当
t
＝－2时，
y
min
＝－2－1.
5
∴函数的值域为
－2－1，
.
4
例3 解
(1)因为
f
(
x
)＝3(2sin
x
cos
x
)＋(2cos
x
－1)
π
2
x
＋
＝3sin 2
x
＋cos
2
x
＝2sin
，
6
所以
f
(
x
)的最小正周期为π.
π
又因为
x
∈[0，]，
2
ππ7π
所以2
x
＋∈[，]，
666
所以
f
(
x
)的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知，
2
f
(
x
0
)＝2sin
2
x
0
＋
.
6
π
6
又因为
f
(
x
0)＝，
5
π
3
所以sin
2
x
0
＋
＝.
6
5
由
x
0
∈
π
，
π
，得2
x
＋
π
∈
2π
，
7π
，
0
6
6
3
42
π
4
2
1－sin
2
x
0
＋
＝－，
6
5
π
所以cos
2
x
0
＋
＝－
6
π
π
cos 2
x
0
＝cos
2
x
0
＋
－
6
6
π
π
ππ
＝cos
2
x
0
＋
cos
＋sin
2
x
0
＋
·sin
6
6
66
＝
3－43
.
10
22
sin 2
x
＋2sin
x
2sin
x
cos
x
＋2sin
x
跟踪训练3 解 ＝
1－tan
x
sin
x
1－
cos
x
＝
＝
2sin
x
cos
x
cos
x
＋sin
x
cos
x
－sin
x
sin 2
x
1＋tan
x
1－tan
x
8 11
π
＝sin
2
x
·tan
＋
x
.
4
∵
17π7π5ππ
<
x
<，∴<
x
＋
<2π，
12434
π
3
又∵cos
＋
x
＝，
4
5
4
π
∴sin
＋
x
＝－.
5
4
4
π
∴tan
<
br>＋
x
＝－.
3
4
π
π
∴cos
x
＝cos
＋
x
－
4
4
ππ
π
π
＝cos
＋
x
cos
＋sin
＋
x
sin
44
4<
br>
4
＝
2
34
2
×
－
＝－.
2
55
1
0
π
π
∴sin
x
＝sin<
br>
＋
x
－
4<
br>
4
ππ
π
＝sin
<
br>＋
x
cos －sin ·
44
4
72
π
cos
＋
x
＝－，
10
4
7
sin
2
x
＝，tan
x
＝7.
25
sin
2
x
＋2sin
x
28
∴＝－.
1－tan
x
75
例4 解 设2sin
x
＋cos
y
＝
a
.
sin
x
＋2cos
y
＝2，
由
2sin
x
＋cos
y
＝
a
，
2
2
a
－2
sin
x
＝，
3
解得
4－
a
cos
y
＝，
3
2
a
－2
－1≤≤1，
3
从而
4－
a
－1≤≤1，
3<
br>
5
解得1≤
a
≤.
2
9
11
5
故2sin
x
＋cos
y
的取值范围是
1，
.
2
x
＋
y
＝1，
跟踪训练4 解
设
x
＝cos
θ
，
y
＝sin
θ
，则
有
3
x
＋
y
＋
a
＝0，消去
y
，并整理得4
x
＋23
ax
＋
a
－1＝0.①
由已知得cos
α
，cos
β
是①的两个实数解，
3
cos
α
＋cos
β
＝－
a
，
2
由根与系数的关系，得
a
－1
cos
α
cos
β
＝.
4
2
22
22
∴sin
α
sin
β
＝(3cos
α
＋
a
)(3cos
β
＋
a
)
＝3cos
α
cos
β
＋3(cos
α
＋cos
β
)
a
＋
a
＝
2
a
2
－3
4
.
∴cos(
α
＋
β
)＝cos
α
cos
β
－sin
α
sin
β
＝
a
2
－1
a
2
－31
4
－
4
＝.
2
当堂训练
59172
1．A 2.A 3.－ 4.
7250
133
2
5．解
(1)由已知，有
f
(
x
)＝cos
x
·(sin
x
＋cos
x
)－3cos
x
＋
224
133
2
＝sin
x
·cos
x
－cos
x
＋
224
133
＝sin
2
x
－(1＋cos 2
x
)＋
444
13
＝sin 2
x
－cos 2
x
44
1π
＝sin(2
x
－)．
23
2π
所以
f
(
x
)的最小正周期为
T
＝＝π.
2<
br>ππππ
(2)因为
f
(
x
)在区间[－，－]上是减少的，
在区间[－，]上是增加的，
412124
f
(－)＝－，
f
(－)＝－，
π
4
1
4
π
12
1
2
10
11
f
()＝，
所以函数
f
(
x
)在闭区间[－
ππ11
，]上的最大值为，最小值为－.
4442
π
4
1
4
11 11