海涛和09-清明日记

第5讲 简单的三角恒等变换
基础知识整合
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
1

1＋cos2
α
1－cos2
α
22
1．降幂公式：cos
α
＝，sin
α
＝.
22
2．升幂公式：1＋cos2
α
＝2cos
α
，1－cos2
α
＝2sin
α
.
3．公式变形：tan
α
±tan
β
＝tan(
α
±
β
)(1∓ tan
α
·tan
β
)．
4．辅助角公式：
a
s in
x
＋
b
cos
x
＝
a
＋
b< br>sin(
x
＋
φ
)，
其中sin
φ
＝22
22
b
a
＋
b
22
，cos
φ< br>＝
a
a
＋
b
22
.

2

1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin
α
＝
13
，则cos2
α
＝( )
A.
8
9
B.
778
9
C．－
9
D．－
9

答案 B
解析 cos2
α
＝1－2sin
2
α
＝1－
27
9
＝
9
.故选B.
2．(2019·吉林模拟 )若sin(π－
α
)＝
1
3
，且
π
2
≤
α
≤π，则sin2
α
的值为(
A．－
42
9
B．－
22
9

C.
22
9
D.
42
9

答案 A
解析 ∵sin(π－
α
)＝
1
3
，即sin
α< br>＝
1π
3
，又
2
≤
α
≤π，
∴c os
α
＝－1－sin
2
α
＝－
22
3
，
∴sin2
α
＝2sin
α
cos
α
＝－
42
9
.
3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan
θ
＝－
1
3
，则cos2
θ
＝( )
A．－
4
5
B．－
1
5

C.
1
5
D.
4
5

)
3

答案 D
cos
θ
－sin
θ
1－tan
θ
4
解析 解法一：cos2
θ
＝cos
θ
－sin
θ
＝
2< br>＝＝.故选D.
22
cos
θ
＋sin
θ
1＋ta n
θ
5
22
222
114
2
解法二：由tanθ
＝－，可得sin
θ
＝±，因而cos2
θ
＝1－2sin< br>θ
＝.
35
10
4．(2019·南宁联考)若角
α
满足sin
α
＋2cos
α
＝0，则tan2
α
＝( )
4334
A．－ B. C．－ D.
3443
答案 D
2tan
α
4
解析 由题意知，tan
α
＝－2，tan2
α
＝＝.故选D.
2
1－tan
α
3
π
5．若函数
f
(
x
) ＝(1＋3tan
x
)cos
x,
0≤
x
<，则
f
(
x
)的最大值为( )
2
A．1
C.3＋1
答案 B
B．2
D.3＋2

解析
f
(
x
)＝

1＋3·

取得最大值2.
sin
x

π

∴当
x
＝
π< br>时，cos
x
＝cos
x
＋3sin
x
＝2sin< br>
x
＋

，
f
(
x
)
< br>cos
x

6

3


π

6．(2017·全国卷Ⅰ)已知
α
∈

0，

，tan
α
＝2，则
2

π

cos

α
－

＝________.
4

答案
310

10
π

ππ

解析 cos< br>
α
－

＝cos
α
cos＋sin
αsin
4

44

＝
2
(cos
α
＋sin
α
)．
2

π

又由
α
∈

0，

，tan
α
＝2，
2
255
知sin
α
＝，cos
α
＝，
5 5
π

2

525

310

∴ cos

α
－

＝×

＋

＝< br>10
.
4

2

5

5

核心考向突破
考向一 三角函数的化简

4

例1 (1)(2018· 全国卷Ⅰ)已知函数
f
(
x
)＝2cos
x
－sin
x
＋2，则( )
A．
f
(
x
)的最小正周期为π，最大值为3
B．
f
(
x
)的最小正周期为π，最大值为4
C．
f
(
x
)的最小正周期为2π，最大值为3
D．
f
(
x
)的最小正周期为2π，最大值为4
答案 B
352π
解析 根据题意，有
f
(
x
)＝cos2
x
＋，所以函数
f
(
x
)的最小正周期为
T
＝＝π ，
222
35
且最大值为
f
(
x
)
max
＝＋＝4.故选B.
22
tan
x
(2)(2018·全国卷Ⅲ) 函数
f
(
x
)＝
2
的最小正周期为( )
1＋tan
x
A.
ππ
B. C．π D．2π
42
22
答案 C
sin
x
cos
x
tan
x
1
解析 由已 知得
f
(
x
)＝＝sin
x
cos
x
＝s in2
x
，
f
(
x
)的最小正周期
2
＝< br>1＋tan
x
2

sin
x

2
1 ＋


cos
x

T
＝
2π
＝ π.故选C.
2
触类旁通
三角函数式化简的常用方法
(1)异角化同角 ：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，
能求值的求出值，减少角的个数．
2异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名
称的统一.
3异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.
1

π

π

即时训练 1.(2017·全国 卷Ⅲ)函数
f
(
x
)＝sin

x
＋
< br>＋cos

x
－

的最大值为
3

6

5

( )
6
A.
5
3
C.
5
答案 A
B．1
1
D.
5

5

1

π

π

解析 ∵
f
(
x
)＝sin

x
＋

＋cos
x
－


3

6

5
1

π

π

＝sin
x
＋

＋cos

－
x


3

5

6

1

π


π

π

＝sin

x
＋

＋sin

－

－
x


< br>3

5



2

6
1

π

π

＝sin

x
＋< br>
＋sin

x
＋


3

3

5

6

π

＝sin

x
＋

，
3

5

π6∴当
x
＝＋2
k
π(
k
∈Z)时，
f
(
x
)取得最大值.故选A.
65
2．函数
y
＝sin< br>x
cos
x
＋3cos
x
－
A．2π
C.
π

2
2
3
的最小正周期是( )
2
B．π
D.
π

4
答案 B
π

11＋cos2
x
313

解析 ∵
y
＝sin2
x
＋3·－＝sin2
x
＋cos2
x
＝sin

2
x
＋

，∴此函
3
22222

2π
数的最小正周期是
T
＝＝π.
2
考向二 三角函数的求值
角度
1
给值求值
例2 (1)(2019·汕头模拟)已知tan＝3，则cos
α
＝( )
2

α

6

4
A.
5
C.
4

15
4
B．－
5
3
D．－
5
答案 B
解析 cos
α
＝cos
2
α
2
－sin
2
α
22
＝
2
2
α
2
α
cos＋sin
22
cos< br>2
α
－sin
2
α
1－tan
＝
2
α
2
1－94
＝＝－.故选B.
1＋95
2
α
1 ＋tan
2
(2)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin
α
＋cos
β
＝1，cos
α
＋sin
β
＝0，则sin(
α
＋
β
)＝
________.
1
答案 －
2
解析 解法一：因为sin
α
＋cos
β
＝1，cos
α
＋sin
β
＝0，所以(1－sin
α
)＋(－
1111
2
cos
α
)＝1，所以sin
α
＝，cos
β
＝，因此si n(
α
＋
β
)＝sin
α
cos
β
＋co s
α
sin
β
＝×
2222
1111
22
－cos
α
＝－1＋sin
α
＝－1＋＝－.
4442
解 法二：由(sin
α
＋cos
β
)＋(cos
α
＋sin< br>β
)＝1，得2＋2sin(
α
＋
β
)＝1，所以
1
sin(
α
＋
β
)＝－.
2
1
α
(3)(2019·重庆检测)已知
α
是第四象限角，且sin
α
＋cos
α
＝，则tan＝________.
52
1
答案 －
3
134
α
解析 因为sin
α
＋cos
α
＝，
α
是第四象限角，所以sin
α
＝－，cos
α
＝， 则tan
5552
sin2sin
22
1－cos
α
1＝＝＝＝－.
ααα
sin
α
3
cos2sincos
222
触类旁通
给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的 问题，解题
的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.
22
2
α
2
α

7

45
即时训练 3.(2018·江苏高考)已知
α
，
β
为锐角，tan
α
＝，cos(
α
＋
β
)＝－ .
3
(1)求cos2
α
的值；
(2)求tan(
α
－
β
)的值．
解 (1)因为tan
α
＝
4
3
，tan
α
＝
sin
α
cos
α
，所以sin
α
＝
4
3
cos< br>α
.
因为sin
2
α
＋cos
2
α
＝1，所以cos
2
α
＝
9
25
，
所以cos 2
α
＝2cos
2
α
－1＝－
7
25
.
(2)因为
α
，
β
为锐角，所以
α
＋
β< br>∈(0，π)．
又因为cos(
α
＋
β
)＝－
5
5
， < br>所以sin(
α
＋
β
)＝1－cos
2
α
＋
β
＝
25
5
，
因此tan(
α
＋
β
)＝－2.
因为tan
α< br>＝
4
3
，所以tan2
α
＝
2tan
α24
1－tan
2
α
＝－
7
.
因此tan(
α
－
β
)＝tan[2
α
－(
α
＋
β
)]＝
tan2
α
－tan
α
＋
β
1 ＋tan2
α
tan
α
＋
β
＝－
2
11< br>.
角度
2
给角求值
例3 (1)(2019·浙江模拟)tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°的值等于(
A.3 B.
3
3
C．－
3
3
D．－3
答案 D
解析 因为tan120°＝
tan70°＋tan50°
1－t an70°·tan50°
＝－3，
所以tan70°＋tan50°－3tan70°·tan50°＝－3.故选D.
(2) (2018·衡水中学二调)
3
cos10°
－
1
sin170°< br>＝( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
答案 D
解析
3
cos10°
－
1
sin170°
＝31
cos10°
－
sin10°

5
)
8

＝
3sin10°－cos10°2sin10°－3 0°－2sin20°
＝＝＝－4.
sin10°cos10°11
sin20°sin20°
22
触类旁通 < br>该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者
能够正负相 消，或者能够约分相消，最后得到具体的值.
sin
2
35°－
1
即时训练 4.(2019·九江模拟)化简
2
cos10°cos80°
等于( )
A．－2 B．－
1
2

C．－1 D．1
答案 C
sin
2
35°－
11－cos70°
－
11
解析
222
－
2
cos70°
cos10°cos80°
＝cos10°sin10°
＝
1
＝－1.
2
sin20°5．(2019·上海模拟)计算
tan12°－3
4cos
2
12°－ 2sin12°
＝________.
答案 －4
sin12°
解析 原 式＝
cos12°
－3
22cos
2
12°－1sin12°

2


1
sin12°－
3

＝sin12°－3cos12°
2sin12°cos12°cos24°
＝
< br>22
cos12°


sin24°cos24°

＝
2sin12°－60°
1
＝－4.
2
sin48°
角度
3
给值求角
例4 (1)(20 19·四川模拟)若sin2
α
＝
5
5
，sin(
β
－
α
)＝
10
10
，且
α
∈


π

4
，π
β
∈


π，3π

2



，则
α
＋
β
的值是( )
A.
7π
4
B.
9π
4

C.
5π
4
或
7π
4
D.
5π9π
4
或
4

答案 A




，
9

5

π
所以2
α
∈

π
，2π

，

π

解析 因为
α
∈

，π

，又sin2
α
＝，所以2
α
∈

，π

，

5

4

2

2


ππ

所以cos2
α
＝－
25
.又< br>β
∈

π，
3π

，

π5π
故cos(
βα
∈

，

，
< br>所以
β
－
α
∈

，

，

42

5

2

24

－α
)＝－
310
，所以cos(
α
＋
β
)＝c os[2
α
＋(
β
－
α
)]＝cos2
α
cos(
β
－
α
)－
10
25

310< br>
5102

5π

sin2
α
sin(< br>β
－
α
)＝－×

－
－×＝，又
α
＋
β
∈

，2π

，故
α

51 02

4


10

5
7π
＋< br>β
＝.选A.
4
11
(2)已知
α
，
β< br>∈(0，π)，且tan(
α
－
β
)＝，tan
β
＝ －，则2
α
－
β
的值为________．
27
3π
答案 －
4
11
－
27
tan
α
－
β
＋tan
β
1
解析 ∵tan
α< br>＝tan[(
α
－
β
)＋
β
]＝＝＝>0，∴
1－tan
α
－
β
tan
β
113
1＋×
27
π
0<
α
<.
2
1
2×
3
2tan
α
3
又∵tan2
α
＝＝＝>0，
2
1－tan
α

1

2
4
1－


3

π
∴0<2
α
<，
2
31＋
47
tan2
α
－tan
β
∴tan(2
α
－
β
)＝＝＝1.
1＋tan2
α
tan
β31
1－×
47
1π
∵tan
β
＝－<0，∴<
β
<π，－π<2
α
－
β
<0，
72
3π
∴2
α
－
β
＝－.
4
触类旁通
通过求角的某种三角函数值来求角，
在选取函数时应遵循的原则
(1)已知正切函数值，则选正切函数．

10

即时训练 6.(2019·福建漳州八校联考)已知锐角< br>α
的终边上一点
P
(sin40°，1＋
cos40°)，则
α
等于( )
A．10°
C．70°
答案 C
1＋cos40°2cos20°cos20°sin70°
解析 由题意得tan
α
＝＝＝＝＝
sin40°2cos20°sin20°sin20°cos70°
ta n70°.
又
α
为锐角，∴
α
＝70°，故选C.
11 3π
7．(2019·江苏徐州质检)已知cos
α
＝，cos(
α
－
β
)＝，且0<
β
<
α
<，则
β
的7142
值为________．
答案
π

3
2
B．20°
D．80°
ππ
解析 ∵0<
β
<
α
<，∴0<
α
－
β
<.
22
13
又∵cos(
α
－
β
)＝，
1 4
∴sin(
α
－
β
)＝1－cos
2
α
－
β
＝
33
.
14
1π43
∵cos
α
＝，0<
α
<，∴sin
α
＝，
727
1134 3
∴cos
β
＝cos[
α
－(
α
－
β< br>)]＝cos
α
cos(
α
－
β
)＋sin
α
sin(
α
－
β
)＝×＋
7147
331
×＝.
142
ππ
∵0<
β
<，∴
β
＝.
23
考向三 三角恒等变换的综合应用

11

例5 (2019·广东模拟)已知函数
f
(
x
)＝
sin＋cos

－2sin.
2

2

2
23
(1)若
f
(
x
)＝，求sin2
x
的值；
3
(2)求函数
F
(
x
)＝
f
(
x
)·
f
(－
x
)＋
f
(x
)的最大值与单调递增区间．
解 (1)由题意知
f
(
x< br>)＝1＋sin
x
－(1－cos
x
)＝sin
x
＋ cos
x
，
2323
又∵
f
(
x
)＝， ∴sin
x
＋cos
x
＝，
33
41
∴sin2
x
＋1＝，∴sin2
x
＝.
33
(2)
F
(
x
)＝(sin
x
＋co s
x
)·[sin(－
x
)＋cos(－
x
)]＋(sin
x
＋cos
x
)
＝cos
x
－sin
x
＋1＋sin2
x

＝cos2
x
＋sin2
x
＋1
π

＝2sin

2
x
＋

＋1，
4
< br>π

当sin

2
x
＋

＝1时 ，
F
(
x
)取得最大值，
4

即
F< br>(
x
)
max
＝2＋1.
πππ
令－＋2
k
π≤2
x
＋≤＋2
k
π(
k
∈Z)，
242
3ππ
∴
k
π－≤
x
≤
k
π＋(< br>k
∈Z)，
88
从而函数
F
(
x
)的最大值为2＋1，单调递增区间为
22
2
2

xx

22
x
k
π－
3π
，
k
π＋
π

(
k
∈Z)．

88

触类旁通
三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其 是角之间的关系；注
意公式的逆用和变形使用．
2把形如
y
＝
a< br>sin
x
＋
b
cos
x
化为
y
＝< br>步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.
sin
x
＋
φ
，可进一
3

π

2
即时训练 8.(2019·贵阳模 拟)已知函数
f
(
x
)＝cos
x
·sin
x
＋

－3cos
x
＋，
x
3
4


12

R.
(1)求
f
(
x
)的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标； < br>(2)求
f
(
x
)的闭区间


ππ

－
4
，
4



上的最大值和最小值 ．
解 (1)由已知，有
f
(
x
)＝cos
x
·


1
sin
x
＋
3
2
cos
x



－3cos
2
x
＋
3< br>
2
4

＝
1
2
sin
x
·cos
x
－
3
2
3
2
cos
x
＋
4

＝
13
4
sin2
x
－
4
(1＋cos2
x
)＋
3
4

＝
131< br>
π

4
sin2
x
－
4
cos2
x
＝
2
sin


2
x
－
3


.
所以
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
2π
2
＝π.
由2
x
－
π
3
＝
π
2
＋
k
π(
k
∈Z)得对 称轴方程为
x
＝
5π
k
π
12
＋
2
(
k
∈Z)；
由2
x
－
ππ
3
＝
k
π(
k
∈Z)得
x
＝
6
＋
k
π
2
(
k
∈Z)，
∴对称中心坐标为


π

6
＋
k
π
2
，0


(
k
∈Z)．
(2)由
x
∈



－
ππ
4
，
4


π

得2
x
－

5ππ

3
∈
< br>
－
6
，
6


，
则sin


2
x
－
π
3


∈



－1，
1
2



，
即函数
f
(
x
)＝
1
2< br>sin


π

2
x
－
3



∈


11

－
2
，
4



.
所以函数
f
(
x
)在闭区间


11

－
ππ
4
，
4



上的最大值为
4
，最小值为－
2
.
∈


13

1．(2019·海口模拟)4cos50°－tan40°＝( )
A.2 B.
2＋3
2

C.3 D．22－1
答案 C
解析 4cos50°－tan40°＝
4sin40°cos40°－sin40°
cos40°< br>
＝
2sin80°－sin40°
cos40°
＝
2sin 100°－sin40°
cos40°

＝
2sin60°＋40°－sin40°
cos40°

2×3
cos40°＋2×
1
＝
22
sin40°－sin40°< br>cos40°

＝3.
2．设
α
为锐角，若cos



α
＋
π
6



＝
4
5
，则sin



2
α
＋
π
12



的值为________．
答案
172
50

解析 cos


π
α
＋
6


4π

＝
5
，< br>α
为锐角，则
α
＋
6
为锐角，
sin
< br>
π

α
＋
6


3
< br>＝
5
，
由二倍角公式得sin2


π

α
＋
6


24

＝

π

7
25
，cos2


α
＋
6


＝
25
，


14