陕西高考志愿填报时间-元宵节赏灯的习俗始于什么时期

第五节 三角恒等变换

突破点(一) 三角函数的化简求值
基础联通
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C
(α
－
β)

C
(α
＋
β)

S
(α
－
β)

S
(α
＋
β)

T
(α
－
β)

T
(α
＋
β)


2.二倍角公式
S
2α

C
2α

sin 2α＝α；变形：
cos 2α＝
1＋cos 2α1－cos 2α
变形：cos
2
α＝
，sin
2
α＝

22
2tan α
tan 2α＝
1－tan
2
α




；变形：
；变形：
T
2α


三角函数式的化简
[例1] 已知α∈(0，π)，化简：

cos
α
－sin
α

1＋sin α＋cos α·
2

2
＝________.
2＋2cos α









三角函数的给角求值

1＋cos 20°
1
[例2] 求值：(1)－sin 10°（－tan 5°）；
tan 5°
2sin 20°
1

(2)sin 50°(1＋3tan 10°)．






能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.
[考点二]
计算：
1－cos
2
10°
cos 80°1－cos 20°
＝( )
A.
2
2
B.
1
2
C.
3
2
D．－
2
2

2.
[考点二]
(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A.3 B．1＋2 C．2 D．2(tan 18°＋tan 27°)

3.
[考点一]
化简：
sin 2α＋cos 2α－1sin 2α－cos 2α＋1
sin 4α
＝________.
2cos
4
x－2cos
2
x＋
1
4.
[考点一]
化简：2
2tan

π

4
－x

＝___ _____.

sin
2

π

4
＋x






突破点(二) 三角函数的条件求值
给值求值问题
[例1] 已知cos

π

6
＋ α


·cos（
π
1
3
－α
）
＝－
4
，α∈

π

3
，
π
2< br>

.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－
1
tan α
的值．



给值求角问题
[例2] (1)设α，β为钝角，且sin α＝
53
5
，cos β＝－
10
10
，则α＋β的值为(
A.
3π
4
B.
5π
4
C.
7π
4
D.
5π7π
4
或
4

2
)

11
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2
，tan β＝－
7
，则2α－β的值为________．





能力练通
1.
[考点一]
已知sin 2α＝
1
3
，则cos
2


α－
π
4


＝( )
A.
1
3
B.
22
3
C．－
3
D．－
1
3

2.
[考点一]
若α，β都是锐角，且cos α＝
5
5
，sin(α－β)＝
10
10
，则cos β＝( )
A.
2
2
B.
222
10
C.
2
或－
10
D.
2
2
或
2
10

3.
[考点二]
若sin 2α＝
510
π
5
，s in(β－α)＝
10
，且α∈


4
，π

，β∈


π，
3π
2


，则α＋β的值是(
A.
7π
4
B.
9π
4
C.
5π
4
或
7π
4
D.
5π9π
4
或
4

4.
[考点二]
若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.

5.
[考点一]
已知α∈
π

2
，π


，且sin
α2
＋cos
α
2
＝
6
2
.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－
3
π
5
，β∈


2
，π


，求cos β的值．








跟踪练习1、
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
3
)

tan α＋tan β
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为
1－tan αtan β
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
1
2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－
3
，则cos 2θ＝( )
4
A.－
5

1
B.－
5

1
C.
5

4
D.
5

11
3.(2015·重庆卷)若tan α＝
3
，tan(α＋β)＝
2
，则tan β等于( )
1
A.
7

1
B.
6

5
C.
7

5
D.
6

1

π

4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝
3
，则sin
2

－α

＝( )

4

1
A.
18

17
B.
18

8
C.
9

2
D.
9

5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.
π
< br>π

1

6.(2017·宁波调研)已知cos

θ＋

＝－
3
，θ为锐角，则sin 2θ＝________，sin< br>
2θ＋

＝
4

3

___ _____.

7 三角函数式的化简
(1)(2017·杭州模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )
(α＋2β) α (α＋2β) α
α

α

（1＋sin α＋cos α）·
cos－s in

22

(2)化简：(0<α<π)＝________.
2＋2cos α



8、 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________.
1
2cos
4
α－ 2cos
2
α＋
2
(2)化简：＝________.

π

2

π

2tan

－α

sin

＋α


4

4
< br>
4

9、三角函数式的求值
(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin
2
80＝________.
7πsin 2α＋2sin< br>2
α

π

3
17π
(2)已知cos
＋α

＝
5
，
12
<α<
4
，则的值为________.
1－tan α

4

11(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝
2
，tan β＝－
7
，则2α－β的值为________.




10、 (1)4cos 50°－tan 40°＝( )
A.2 B.
2＋3
2
C.3 D.22－1
π
π< br>
43

(2)已知sin

α＋

＋si n α＝－
5
，－
2
<α<0，则cos α的值为________.
3

π
113
(3)(2017·绍兴月考)已知cos α＝< br>7
，cos(α－β)＝
14
(0<β<α<
2
)，则tan 2α＝________，β＝
________.







突破点(三) 三角恒等变换的综合问题
三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
A
[典例] 已知向量m＝(sin x,1)，n＝（3Acos x，cos 2x）(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
2
(1)求A；
π
1
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个 单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标
122
5π
0，

上的值域． 不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在


24

5

能力练通
π
x＋

. 1．已知函数f(x)＝2sin xsin


6

π
0，

时，求函数f(x)的值域． (1)求 函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x∈


2






2．已知函数f(x)＝3sin ωx－cos ωx－1，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
π
(2)若函 数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
2





π
3．已知函数f(x)＝2cos
2
ωx－1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝
是函数f(x)的图象的一条对称轴．
3
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
2π
(2)已知函数y＝g(x )的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个
3
π< br>6
π
2α＋

＝，α∈

0，

， 求sin α的值． 单位长度得到的，若g

3

5

2

[课时达标检测]
[练基础小题——强化运算能力]
sin 110°sin 20°
1．(2017·丽水模拟)计算
2
的值为( )
cos155°－sin
2
155°
113
A．－ B. C.
222
D．－
3

2
π

1
π
π
＋α
＝，－＜α＜0，则cos

α－
的值是( ) 2．(2017·临安中学高三月考)已知sin


2

2

3

2
121
A. B. C．－
232

D．1
6

ππ
7
－2x

＝－，则sin

x＋
的值为( ) 3．(2017·江西新余三校联考)已知cos


3

3

8
171
A. B. C．±
484
7
D．±
8
π
π
1

4．已知sin（－α）＝，则cos2


3
＋α
< br>的值是( )
63
7117
A. B. C．－ D．－
9339
π
43

α＋
7π

的值是________．
＋α

＋sin α＝5．已知sin

，则sin
6

3

5



[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
π
1
α－

＝( ) 1．已知sin 2α＝，则cos
2


4

3
112
A．－ B. C．－
333
2
D.
3
ππ
3
x－

＝－，则cos x＋cos

x－

＝( ) 2．已知cos

6

3

3
2323
A．－ B．± C．－1
33
3π
α－

cos


10

π
3．若tan α＝2tan，则＝( )
5
π

sin

α－
5

A．1 B．2 C．3 D．4
D．±1
π
727
α－

＝4．已知sin

，cos 2α＝，则sin α＝( )

4

1025
4433
A. B．－ C. D．－
5555
5．在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为( )
πππ3π
A. B. C. D.
4324
1
6．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，
6
则α，β的大小关系是( )
ππππ
A．α<<β B．β<<α C.<α<β D.<β<α
4444
二、填空题
π
2x－

－22sin
2
x的最小正周期是________． 7．函数f(x)＝sin

4

7

ππ2
0，

，则cos

2α＋

＝_____ ___. 8．已知cos
4
α－sin
4
α＝
，且α∈

3

2

3
ππ
－，

，则 α＋β＝________. 9．已知tan α，tan β是方程x
2
＋33x＋4＝0 的两根，且α，β∈


22

πβ
ππ
13π
β
＋α

＝，cos（－）＝，则cos

α＋
＝________. 10．若0<α<，－<β<0，cos


4

3

2

22423
三、解答题
11．已知函数f(x)＝cos
2
x＋sin xcos x，x∈R.
π

(1)求f


6

的值；
π

απ
3
，π
，求f

＋

. (2)若sin α＝，且α∈


2

224

5



π

x－
π

－3.
－x
·12．已知函数f(x)＝4tan xsin

cos
< br>2

3

(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
ππ
－，

上的单调性． (2)讨论f(x)在区间


44







答案
第五节 三角恒等变换
本节主要包括3个知识点：
1.三角函数的化简求值； 2.三角函数的条件求值；
3.三角恒等变换的综合问题.



突破点(一) 三角函数的化简求值

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C
(α
－
β)


cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
8

C
(α
＋
β)

S
(α
－
β)

S
(α
＋
β)

T
(α
－
β)

T
(α
＋
β)


2.二倍角公式

S
2α

C
2α

tan(α－β)＝
t an(α＋β)＝
cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β
sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β
sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β
tan α－tan β
；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
1＋tan αtan β
tan α＋tan β
；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
1－tan αtan β
sin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)
2
，1－sin 2α＝(sin α－cos α)
2

cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2α－1＝1－2sin
2
α；
变形：cos
2
α＝
1＋cos 2α1－cos 2α
，sin
2
α＝

22
T
2α


2tan α
tan 2α＝
1－tan
2
α
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

三角函数式的化简

1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽 可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次
数尽可能低、尽可能求出值．
2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切
互化等．
[例1] 已知α∈(0，π)，化简：

cos
α
－sin
α

1＋sin α＋cos α·
2

2
＝________.
2＋2cos α
[解析] 原式＝

2cos
2
α
＋2sin
α
cos
α

·

cos
α
－sinα

222

22

α
4cos
2
2
.
π
α
0，

， 因为α∈(0，π)，所 以∈

2

2

α
所以cos>0，
2
9

所以原式＝

2cos
2
α
＋2sin
α
cos
α

·

cos< br>α
－sin
α

222

22

α
2cos
2

αα

αα
cos＋sin
·
cos－sin

＝

2

22

2
αα
＝cos
2
－sin
2
＝ cos α.
22
[答案] cos α

[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则

三角函数的给角求值

1＋cos 20°
1
[例2] 求值：(1)－sin 10°－tan 5°；
tan 5°
2sin 20°
(2)sin 50°(1＋3tan 10°)．
2cos
2
10°cos 5°sin 5°
[解] (1)原式＝－sin 10°－
2×2sin 10°cos 10°sin 5°cos 5°
cos 10°cos
2
5°－sin
2
5°
＝－sin 10°·
2sin 10°sin 5°cos 5°
＝
cos 10°
cos 10°
－sin 10°·
1
2sin 10°
sin 10°
2
cos 10°cos 10°－2sin 20°
－2cos 10°＝
2sin 10°2sin 10°
cos 10°－2sin30°－10°

2sin 10°
＝
＝
3

1

cos 10°－2
cos 10°－sin 10°
2

2

＝
2sin 10°
＝
3sin 10°
3
＝.
2
2sin 10°
(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)
10

cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°
＝sin 50°·
cos 60°cos 10°
cos60°－10°
＝sin 50°·
cos 60°cos 10°
＝
＝

[方法技巧]
给角求值问题的解题规律
解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间 是否具有和差关系、互补(余)关
系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相 约或相消，从而转化为特殊角的三
角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础 上，结合所求式子的特点合理地进
行变形．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.
[考点二]
计算：＝( )
cos 80°1－cos 20°
A.
C.
2

2
3

2

cos 80°1－cos 20°
1－cos
2
10°
1
B.
2
D．－
2

2
1－cos
2
10°
2sin 50°cos 50°

cos 10°
sin 100°cos 10°
＝＝1.
cos 10°cos 10°
解析：选A
＝
sin 10°1－1－2sin
2
10°
sin
2
1 0°
sin
2
10°
2
＝＝.
2
2sin10°
2
2.
[考点二]
(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( )
A.3
C．2
B．1＋2
D．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：选C 原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－
tan 18°tan 27°)＝2，故选C.
sin 2α＋cos 2α－1sin 2α－cos 2α＋1
3.
[考点一]
化简：＝________.
sin 4α
sin 2α＋cos 2α－1sin 2α－cos 2α＋1
解析：
sin 4α
11

sin
2
2α－cos 2α－1
2
＝
2sin 2α·cos 2α
sin
2
2α－cos
2
2α＋2cos 2α－1
＝
2sin 2α·cos 2α
－2cos
2
2α＋2cos 2α
＝
2sin 2α·cos 2α
＝
1－cos 2α

sin 2α
2sin
2
α
＝
2sin αcos α
＝
sin α
＝tan α.
cos α
答案：tan α < br>2cos
4
x－2cos
2
x＋
1
2
4.< br>[考点一]
化简：＝________.
π
2

π

2tan

4
－x

sin

4< br>＋x

－2sin
2
xcos
2
x＋
12
解析：原式＝
ππ
2

2sin


4
－x

cos

4
－x

π< br>
cos


4
－x

1
1－s in
2
2x
2
＝
π

π

2sin

4
－x

cos

4
－x< br>
1
2
cos2x
2
1
＝＝cos 2x.
π
2
－2x

sin


2

1
答案：cos 2x
2

突破点(二) 三角函数的条件求值

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

给值求值问题
π
π
1

π
，
π

.
＋α

·[例1] (2017·合肥模拟)已知cos

cos－ α＝－，α∈

6

3

32

4
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan α－

1
的值．
tan α
12

π

π
－α
< br>＝cos
π
＋α·

π
＋α

＝
1
sin

2α＋
π

＝－
1
，
＋α

·[解] (1)∵cos

cossin
3

6

3

6

2

6 4
π
1
2α＋

＝－. ∴sin

3
 
2
ππ

4π
π
，
，∴2α＋∈
π，

， ∵α∈

3

32

3

π
π
π
3
2α＋

－


2α＋

＝－，∴sin 2α＝sin


∴cos

3

3

3



2
ππ
ππ
1
2α＋

cos－cos

2α＋

sin＝. ＝sin

3

3
3

32

ππ

2π
，
，∴2α∈

，π

， (2)∵α∈


32

3

13
又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.
22
3
2
sin αcos α
sin
α－cosα
－2cos 2α
1
∴tan α－＝－＝＝＝－2×＝23.
tan αcos αsin αsin αcos αsin 2α1
2
22
－

[方法技巧]

给值求值问题的求解思路
(1)先化简所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．

给值求角问题
[例2] (1)设α，β为钝角，且sin α＝
3π
A.
4
7π
C.
4
5310
，cos β＝－，则α＋β的值为( )
510
5π
B.
4
5π7π
D.或
44
11
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
27
[解析] (1)∵α，β为钝角，sin α＝
－25
10
∴cos α＝，sin β＝，
510
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝
2
>0.
2
5310
，cos β＝－，
510
13

3π

又α＋β∈(π，2π)，∴ α＋β∈


2
，2π

，
7π
∴α＋β＝.
4
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝
11
－
27
1
＝＝>0，
113
1＋×
27
π
∴0<α<.
2
1
2×
3
2tan α
3
又∵tan 2α＝＝>0，
2
＝
1

2
4
1－tan
α
1－


3

31
＋
47
t an 2α－tan β
π
∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.
231
1＋tan 2αtan β
1－×
47
1
π
∵tan β＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，
72
3π
∴2α－β＝－.
4
3π
[答案] (1)C (2)－
4

[方法技巧]
给值求角时选取函数的原则和解题步骤
(1)通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
π
0，

，选正、余弦函数皆可 ；若角的范②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是


2

ππ
－，

，选正弦函数较好． 围是(0，π)，选余弦函数较好；若角 的范围为


22

(2)解给值求角问题的一般步骤：
①求角的某一个三角函数值；
②确定角的范围；
③根据角的范围写出所求的角的大小．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
π
1
α－

＝( ) 1.
[考点一]
已知sin 2α＝，则cos
2


4

3
14
tanα－β＋tan β

1－tanα－βtan β

1
A.
3
2
C．－
3
2
B.
3
1
D．－
3
π1
2α－

1＋
1＋cos

2

1 ＋sin 2α
3
2

π
α－

＝解析：选B cos
2

＝＝＝.

4

2223
2 .
[考点一]
(2017·杭州模拟)若α，β都是锐角，且cos α＝
A.
C.
2

2
22
或－
210
B.
D.
2

10
22
或
210
51025310
，sin(α－β)＝，∴sin α＝，cos(α－β)＝，
510510
2
，故选A.
2
510
，sin(α－β)＝，则cos β＝( )
510
解析：选A ∵α，β都是锐角，且cos α＝
从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝
3.
[考点二]
(2017·台州模拟)若sin 2α＝
值是( )
7π
A.
4
5π7π
C.或
44
9π
B.
4
5π9π
D.或
44
π3π
510
，π

，β∈

π，

，则 α＋β的，sin(β－α)＝，且α∈

2

4

5 10
πππππ
5
，π

，所以2α∈

，2π< br>
，又sin 2α＝，所以2α∈

，π

，α∈

，

，解析：选A 因为α∈


4

2

2

42

5
3π
25310

π
，
5π

，
π，

，故co s 2α＝－.又β∈

所以β－α∈故cos(β－α)＝－.所以cos(α＋β)＝co s[2α＋(β
2

24

510
－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－
＋β＝

4.
[考点二]
若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.
解析：因为(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，所以1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即3(tan α＋
tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)，即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)．∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
π
＝3.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝.
3
1－tan αtan β
π
答案：
3
π
αα
6
，π

，且sin＋cos＝. 5.
[考点一]
已知α∈


2

222
15
5π
25

310

5102
，2π

，故α×
－
－×＝，又α＋β∈


4
5102

10

5
7π
.
4

(1)求cos α的值；
π
3
，π

，求cos β的值． (2)若sin(α－β)＝－ ，β∈


2

5
αααα
361
解：( 1)已知sin＋cos＝，两边同时平方，得1＋2sincos＝，则sin α＝.
2222222
π
3
又<α<π，所以cos α＝－1－sin
2
α＝－
.
22
ππ
(2)因为<α<π，<β<π，
22
ππ
所以－<α－β<.
22
3
又sin(α－β)＝－，
5
4
所以cos(α－β)＝.
5
则cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－

突破点(三) 三角恒等变换的综合问题

利用三角恒等变 换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，
考查三角函数的值域 、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

三角恒等变换与三角函数性质的综合问题
A
[典例] 已知向量m＝(sin x,1)，n＝3Acos x，cos 2x(A>0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.
2
(1)求A；
(2)将 函数y＝f(x)的图象向左平移
π
1
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 来的倍，纵坐标
122
43＋3
341

3

×＋ ×

－
5

＝－.
25210
5π
0，

上的值域． 不变，得到函数y＝g(x)的 图象，求g(x)在


24

[解] (1)f(x)＝m·n
A
＝3Asin xcos x＋cos 2x
2
＝A

3
sin 2x＋
1
cos 2x


2

2

16

π
2x＋

. ＝Asin

6

因为A>0，由题意知A＝6.
π
2x＋

. (2)由(1)知f(x)＝6sin

6

将函数y＝f(x)的图象向左平移
π
π
π
π
x＋

＋

＝6sin

2x＋

的图象 ； 个单位后得到y＝6sin

2

3



12

6

12
π
1
4x＋
< br>的图象． 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝6sin

3

2
π
4x＋

. 因此g(x)＝6sin

3

5π
π
π7π
0，

，所以4 x＋∈

，

， 因为x∈


24
< br>3

36

5π
0，

上的值域为[－3, 6]． 故g(x)在


24

[方法技巧]
三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用
(1)图象变换问题
先根据和角公式 、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或余弦型函数y＝
Acos(ω x＋φ)＋t的形式，再进行图象变换．
(2)函数性质问题
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系 式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t
的形式；
2π
②利用公式T＝(ω>0)求周期；
ω
③根据自变量的范围确定ωx＋ φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最
值时，根据所给关系式的特点，也可 换元转化为求二次函数的最值；
④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋ φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区
间．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
π
x＋

. 1．已知函数f(x)＝2sin xsin


6

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
π
0，

时，求函数f(x)的值域． (2)当x∈


2

解：(1)f(x)＝2sin x

3
sin x＋
1
cos x

＝3×
1－cos 2x
＋
1
sin 2x＝sin

2x－
π

＋
3
.
3< br>
2

22
2

2

17
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.

πππ
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
232
π5π
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
1212
π5π
－＋kπ，＋kπ

，k∈Z. 所以函数f(x) 的单调递增区间是

12

12

ππ2π
π0，

时，2x－∈

－，

， (2)当x∈


2

3

33

π
32x－

∈

－，1

， sin

3


2


f(x)∈
0，1＋

3

.
2

故f(x)的值域为
0，1＋


3

.
2

2．已知函数f(x)＝3sin ωx－cos ωx－1，x∈R(其中ω>0)．
(1)求函数f(x)的值域；
π
(2)若函 数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为，求函数y＝f(x)的单调增区间．
2
解：(1)f(x)＝2

3
sin ωx－
1
cos ωx

－1
2

2

π
ωx－

－1. ＝2sin

6

ππ
ωx－

≤1，得－3≤2sin< br>
ωx－

－1≤1. 由－1≤sin

6
6

所以函数f(x)的值域为[－3,1]．
2π
(2)由题设 条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以
ω
＝π，即ω＝2.
π
2x－

－1， 所以f(x)＝2sin

6

πππ
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
262
ππ
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
63
ππ
kπ－，kπ＋

(k∈Z)． 所以函数y＝f(x)的 单调增区间为

63

π
3．已知函数f(x)＝2cos
2
ωx－1＋23sin ωxcos ωx(0<ω<1)，直线x＝
是函数f(x)的图象的一条对称轴．
3
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
2π
(2)已知函数y＝g(x )的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移
3
π6
π
2α＋

＝，α∈

0，

，求 sin α的值． 个单位长度得到的，若g

3

5

2

π
2ωx＋

， 解：(1)f(x)＝cos 2ωx＋3sin 2ωx＝2sin

6

18

π2ππ
π
2ωx＋

的图象的一条对称轴，所以sin
ω＋

＝±由于直线x＝是函数f(x)＝2sin

1，
6

6

3
3
因此
2πππ
ω＋
＝kπ＋(k∈Z)，
362
31
解得ω＝k＋(k∈Z)，
22
1
又0<ω<1，所以ω＝，
2
π
x＋

. 所以f(x)＝2sin

6

πππ2ππ
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2 kπ＋(k∈Z)，
26233
所以函数f(x)的单调递增区间为2kπ－
2ππ
，2kπ＋(k∈Z)．
33
2π
π
1
x＋

＋

， ( 2)由题意可得g(x)＝2sin

2

3

6


x
即g(x)＝2cos，
2
π
ππ
6< br>π
3
1
2α＋


＝2cos

α ＋

＝，得cos

α＋

＝，
2α＋

＝2cos


由g

3


3

6

5

6

5
2

ππ
4
ππ2π
0，

，故<α＋<，所 以sin

α＋

＝， 又α∈


2
 
6

5663
ππ
4331
43－3

α＋
π

－
π

＝sin

α＋
π

·

α＋
π

·所以sin α＝sin
cos－cossin＝×

6

6

6< br>
652
－
5
×
2
＝
10
.


6

6

[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
[练基础小题——强化运算能力]
1．(2017·丽水模拟)计算
1
A．－
2
C.
3

2
sin 110°sin 20°
的值为( )
cos
2
155°－sin
2
155°
1
B.
2
D．－
3

2
解析：选B
sin 110°sin 20°sin 70°sin 20°
＝
22
cos155°－sin155°cos 310°
1
sin 40°
cos 20°sin 20°
2
1
＝＝＝.
cos 50°sin 40°
2
ππ
1
π
＋α

＝，－＜ α＜0，则cos

α－

的值是( ) 2．(2017·临安中学高三 月考)已知sin


2

2

3
2
1
A.
2
1
C．－
2

2
B.
3
D．1
19

13
解析：选C 由已知得cos α＝，sin α＝－，
22
π
131
α－

＝cos α＋sin α＝－. 所 以cos


3

222
ππ
7
－2x< br>
＝－，则sin

x＋

的值为( ) 3．(2017 ·江西新余三校联考)已知cos


3

3

8
1
A.
4
1
C．±
4
7
B.
8
7
D．±
8

π
－2x

＝cos

2x＋
2π

＝
7
，所以有sin< br>2

x＋
π

＝
1

1－cos< br>
2x＋
2π

＝
1
解析：选C 因为cos
π－
3

8
3

2

3

3

2

1

1－
7

＝
1
，从而求得sin

x＋
π
< br>的值为±，故选C.

8

16

3
< br>4
π
π
1
＋α

的值是( ) 4．已知sin－ α＝，则cos2


3

63
7
A.
9
1
C．－
3
π
1
－α

＝， 解析：选D ∵sin

6

3
π
π
－2α

＝cos2－ α ∴cos


3

6
π
7
＝1－2s in
2
－α＝，
69
2π
π
＋2α

∴cos2＋α＝cos


3

3
π
π
7
－2α

＝－cos－2α＝－. ＝cosπ－


3

39
π
43

α＋
7π

的值 是________．
＋α

＋sin α＝5．已知sin

， 则sin
6

3

5
π
43
＋α
＋sin α＝解析：∵sin

，

3

5
ππ
43
∴sincos α＋cos sin α＋sin α＝，
335
3343
∴sin α＋cos α＝，
225
即
314
sin α＋cos α＝，
225
1
B.
3
7
D．－
9
7π
7π7π
α＋

＝sin αcos＋cos αsin 故sin

6

66
＝－


3
sin α＋
1
cos α

＝－
4
.
5
2

2

20

4
答案：－
5
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
π
1
α－

＝( ) 1．已知sin 2α＝，则cos
2


4

3
1
A．－
3
2
C．－
3
1
B.
3
2
D.
3
π
ππ
112
α－

＝cos αcos＋sin αsin
2
＝(cos α＋sin α)
2
＝(1＋sin 2α)＝. 解析：选D 依题意得cos
2

4

44223
ππ
3
x－

＝－ ，则cos x＋cos

x－

＝( ) 2．已知cos
< br>
6

3

3
23
A．－
3
C．－1
π
3
x－

＝－， 解析：选C ∵cos


6

3
πππ
33

3
cos x＋
1
sin x

＝3∴cos x＋cosx－＝cos x＋cos xcos＋sin xsin＝cos x＋sin x＝3
3 3322
2

2

π
3
x－

＝ 3×

－

＝－1. cos


6
< br>
3

3π
α－

cos

10

π
3．若tan α＝2tan，则＝( )
5
π< br>
sin

α－
5

A．1 B．2 C．3 D．4
23
B．±
3
D．±1
3π3πππ
α－

sin

α－
＋

sin

α＋

cos


10

102
5

解析：选C ＝＝
π

π

π

sin

α－
5

sin

α－
5

sin

α－
5

π< br>ππ
sin α
π
cos＋sin
sin αcos＋cos αsin
5
55
cos α5
＝＝
ππ
sin α
ππ
sin αcos－cos αsin
cos－sin
55
cos α55
π
sin
5< br>ππ
2·cos＋sin
π
55
π
cos
3sin< br>5
5
＝＝＝3，故选C.
ππ
sinsin
5
π< br>5
π
2·cos－sin
π
55
cos
5
π
727
α－

＝4．已知sin

，cos 2α＝，则sin α＝( )

4

1025
21

4
A.
5
3
C.
5
4
B．－
5
3
D．－
5
π
727
α－

＝解析：选C 由sin

得sin α－cos α＝， ①

4

105
77
由cos 2α＝得cos
2
α－sin
2
α＝
，
2525
所以(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝
7
， ②
25
1
由①②可得cos α＋sin α＝－， ③
5
3
由①③可得sin α＝.
5
5．在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为( )
ππ
A. B.
43
π3π
C. D.
24
解析：选A 由题意知，sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，
在等式－2cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2，
又tan B·tan C＝1－2，
所以tan(B＋C)＝
tan B＋tan C
＝－1.
1－tan Btan C
由已知，有tan A＝－tan(B＋C)，
π
则tan A＝1，所以A＝.
4
1
6．(2017·浙江金丽衢十二校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋3·tan αtan β
6
＝3，则α，β的大小关系是( )
π
A．α<<β
4
π
C.<α<β
4
π
B．β<<α
4
π
D.<β<α
4
1
解析：选B ∵α为锐角，sin α－cos α＝，
6
π
∴α>.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，
4
tan α＋tan β
∴tan(α＋β)＝＝3，
1－tan αtan β
ππ
∴α＋β＝，又α>，
34
22

π
∴β<<α.
4
二、填空题
π
2x－

－22sin
2
x的最小正周期是________． 7．函数f(x) ＝sin

4

解析：∵f(x)＝
π
2222
2x＋

－2，∴sin 2x－cos 2x－2(1－cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x－2＝sin

4

2222
2π
＝π.
2
f(x)的最小正周期T＝
答案：π
ππ
2
0，

，则cos

2α＋

＝________. 8．已知cos
4
α－sin
4
α＝
，且α∈

3
< br>2

3
ππ
2
0，

，cos
4
α－sin
4
α＝(sin
2
α＋cos
2
α)( cos
2
α－sin
2
α)＝cos 2α＝
>0，∴2α∈

0，

，∴sin 解析：∵α∈


2

2

3
2α＝1－cos
2< br>2α＝
π
1531235
2－15
2α＋

＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝，∴cos

.
3

2

3223236
2－15
答案：
6
ππ
－，

，则α＋β＝________. 9．已知tan α，tan β是方程x
2
＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈


22

解析：由题意得tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0，∴tan(α＋β)＝
tan α＋tan β
＝3，且tan
1－tan αtan β
πππ
2π
－，

，故α，β∈

－，0

，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.
α<0，tan β<0，又α，β∈


22

2
3
2π
答案：－
3
β
π
ππ
1< br>π
β
3
＋α

＝，cos－＝，则cos

α＋

＝________. 10．若0<α<，－<β<0，cos


4

3

2

22423
π
ππ ππ3πππ
β
π
＋α

＝解析：∵0<α<，－<β<0，∴<＋ α<，<－<，∴sin


4

224444422
＝< br>π
β

122
1－＝，sin


4
－
2

＝
93
1
1－
3
β
ππ
β
π
β
536
ππ
β
π
α＋
< br>＝cos＋α－－＝cos

＋α

cos

－
＋sin＋αsin

－

＝，∴cos


2

4

42

42

9
.
34424
53
答案：
9
三、解答题
11．已知函数f(x)＝cos
2
x＋sin xcos x，x∈R.
π

(1)求f


6

的值；
α
ππ
3
，π

，求f

＋

. (2)若sin α＝，且α∈


2

224
< br>5
π

ππ

3

2
13
3＋3
2
π
解：(1)f

＝cos＋sincos＝＋×＝.

6

666

2

224
23

(2)因为f(x)＝cos
2
x＋sin xcos x＝
1＋cos 2x
1
＋sin 2x
22
π
1112
2x＋

， ＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin

4

2222
α
π

1
ππ
2
＋
＝＋sin

α＋
＋
 所以f


224

22

124

π
1122
13
α＋

＝＋

sin α＋cos α

. ＝＋sin


3

22< br>
2
22
2

π
3
，π

， 因为sin α＝，且α∈


2

5
4
所以cos α＝－，
5
α
π

121334
＋
＝＋所以f
< br>×－

224

22252
×
5

＝
10＋32－46
.
20
π

x－
π

－3.
－x
·12．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin
cos

2

3

(1)求f(x)的定义域与最小 正周期；
ππ
－，

上的单调性． (2)讨论f(x)在区间


44


π
x≠
＋kπ，k∈Z
< br>. 解：(1)f(x)的定义域为

x


2


π
x－

－3 f(x)＝4tan xcos xcos


3

π
x－

－3 ＝4sin xcos


3

3

1

＝4sin x
cos x＋sin x
－3
2

2

＝2sin xcos x＋23sin
2
x－3
＝sin 2x＋3(1－cos 2x)－3
π
2x－

. ＝sin 2x－3cos 2x＝2sin

3

2π
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
2
ππ
π
－＋2kπ，＋2kπ

，k∈Z. (2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是

2

2< br>
3
πππ
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
232
π5π
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
1212
πππ π
π5π
－，

，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝
－，

. 设A＝


44

124

1212
24

ππππππ
－，

时，f(x)在区间
< br>－，

上单调递增，在区间

－，－

上单调递减. 所以当x∈

12

44

124

4







25