奥黛丽赫本英文简介-木心语录

高一数学教案 必修4 三角恒等变换（第7课时） 郭锐
三角恒等变形补充 二倍角降次 升次
知识回顾
：
二倍角公式：
2
s

co
2
s

sin

，
(C
2

)

sin2

2sin

cos

，
(S
2

)
co2
2



tan
2tan

22
cos2

2cos

1co2s

12sin

(C
2

)
，，
(T)
2

2
1tan

⑴二倍角公式 的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角
与单角的三角函数之间的互化问 题．
⑵二倍角公式不局限于
2

是

的二倍的形 式，尤其是“倍角”的意义是相对的
⑶二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应
角的公式． 

)
，
(T
2

)
成立的条件是： 公式
(T
2

)
成立的条件是 ⑷ 公式
(S
2

)
，
(C
2

)
，
(C< br>2

R,

k



2
,

k



4
,kZ
．其他
R

⑸熟悉“倍角”与“二次”的关系（降次——扩角，升次——缩角）
⑹特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

cos

< br>2
1cos2

1cos2

,sin
2


这两个形式今后常用

22
方法、技巧篇
化简
：三角函数式的化简是对给定的三角函数式，利用诱导公式、三角函数的基本公
式、同角三角函数关系等进行适当的等价变换，化为较为简单的形式．它是三角恒等变换里
最重要的应用 之一，也是高考常见题型．

【例1】
cos20cos40cos60cos80
．


co

s
分析：解的过程中反复使用二倍角公式
sin
余弦函数的连乘积问题，可采用类似方法解之．
1
2
si

n
，
2
要注意凡是二倍角关系 的
1sin20

cos20

cos40

co s80

sin40

cos40

cos80



解：原式
cos20cos40cos80

4sin20

22sin20

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高一数学教案 必修4 三角恒等变换（第7课时） 郭锐
sin80

cos80

sin160

1



．

8sin2016sin2016

【 例2】若
3

1111


2

，化简 ：
cos2

．
2
2222
1cos2

cos
2

，达到去根号的目的，
2
分析：根据本题的结构特点，可重复使用公式
这是解决此类问题的常规思路．
解：

3

3



2

,


242
原式

111cos2
< br>1111
cos
2

cos


2222222
1cos

cos
2
cos

222


【例3】化简：
1sin
< br>1sin

,

(0,

)
．
分析：本题关键在于使被开方式变为完全平方式，以便脱掉根号，应自然联系到“
1”的
代换问题，由于原式为算术平方根，因此在去根号时，应注意角的范围对三角函数值符号的影响．
解：原式
sin
2

2
cos
2

2sincossin
2
cos
2
2sinco s

2222222



(s in
2

cos
2
)
2
(sin
2< br>cos
2
)
2
|sincos||sincos|

2222
2222






(0,

),(0,)


22
① 当
② 当

(0,]
时，
cossin
，原式
2sin
．
222
24




(,)
时，
cossin
，原式
 2cos
．
242222



求值
：解决 这类问题的一般规律是恰当的应用诱导公式、三角函数公式合理的进行角的变换，
并利用和角、差角、二 倍角公式使其转化为特殊角的三角函数值的求解问题．

【例4】
(tan10

3)sin40


．
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高一数学教案 必修4 三角恒等变换（第7课时） 郭锐
解析：首先采用“切化弦”，然后逆用差角公式与倍角公式化向同角（特殊角）．

2(sin10

cos60

cos10

sin60

)
sin10

3cos10


 sin40


sin40

原式



cos10
cos10

2sin50si

n402< br>
sin40

cos40

sin80
1 




cos10co

s10c

os10
条件求值
：解决这类问题的一般规律是将所给的三角函数式（条件 ）根据问题的需要进
行变形，使其转为为所求函数式需要的条件，也可将所求的三角函数式经过适当的变 形后再
利用条件．

【例5】若
sin(
12

2

)
． ，则
cos(
633

2

解析：角的拆分——如何将 要求的角用已知角表示
2(

)(2

)

．


)
63
cos(
2

7
2

)cos[

2(

)]co s[2(

)]2sin
2
(

)1
．
36669

【例6】已知
tan(


1< br>
1
),tan(

)
，求
tan(



)
的值．
2223



解析：拆角变换仍然是本题的核心，观察发现
(

)(

)
，这是本题的突
222

破口，由此推得
tan(



)
的值．
()t

an()
1



tan

22


tanta

n[(

)(

)]
222
1tan(



)tan(


)
7
22
tan(



)ta n(2




2
)
7
2





24
1tan
2
2
2 tan



【练习】已知
sin(

4
x)
5

，
0x
，求
134
cos2x< br>解析：
sin(

4
x)
5

，0x
，
cos(x)

413
134
cos (x)
4

12


的值．
sin(x2) 2sinx()coxs()
cosx2

24
244

2cos(x)


413
cos(x)sin (x)sinx()
444
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

高一数学教案 必修4 三角恒等变换（第7课时） 郭锐


1



)sin(

) 
，且

(,

)
，求
sin4
的值．
4462

解析：拆角变换仍然是本题的核心，观察发现< br>(

)(

)
，这是本题的突破口，
【例7 】已知
sin(

442
由此推得
cos2

，进 而求得
sin2

，再利用二倍角公式求得
sin4

的值 ．


1

1
sin(

)s in(

)
，
2sin(

)cos(

)
，
446443
1

1
sin(2< br>
)
，即
cos2


．
3
2 3
22

又


(,

)2

(

,2

)
，
sin2

1cos
2
2



3
2
42
sin4

2sin2

cos2


9

恒等式证明
：通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异 ，证明的基本思路是化繁为
简，左右归一或变更论证．
【例8】求证：
1
sin2

．
1

4
tan

2
tan
2

2
，右边为< br>2

，等式左边为余弦．正切且为分式，
cos
2

解析：观察被证等式，左边角为

与
于是应从切化弦入手，利用倍角公式化
左边


2
为

，再化

为
2< br>
．
cos
2

cos
sin


2
2
cos
2

11
sin
cos

sin2


右边

2cos< br>
2

4
sincos
2
sin
2< br>sin

222


cossincos
222
cos
2

所以，原等式成立．

【练习】已知
sin

msin(2



)
，且< br>



求证：
tan(


< br>)

2
k

,kZ
，

< br>k

,kZ,m1
，
2
1m
tan

．
1m
解析：
s in

msin(2



)
，
si n[(



)

]msin[(



)

]


(

)c< br>
os

co

s(

)msin< br>


sin

(m)c

os


sin
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
co

s

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n(


(1m)si
< br>)

cosm(1

)

cos(







k

,kZ,m 1
得
cos

0,cos(



) 0,1m0

22
1m
两边同除
(1m)cos

cos(



)
得
tan(



)tan


1m
k

,k Z
，



方法梳理
：常用方法为化弦法、化切法、拆项 拆角法、常数代换法等等，要熟练掌
握基本公式，善于从中选择巧妙的简捷方法

函数 的性质及最值问题
：一般是先利用和差倍半公式，对三角函数式通过恰当的三
角变换化为单一三 角函数的形式，从而研究等价转化后的函数的性质．

【例9】求函数
ysin< br>4
x23sinxcosxcos
4
x
的最小正周期和最小值，并 写出该函数
在
[0,

]
上的单调的增区间．
解析： < br>ysin
4
x23sinxcosxcos
4
x(sin2
xcos
2
x)(sin
2
xcos
2
x)3sin2x


3sin2xcos2x2(sin2x
故函数的最小正周期为
T

；
31

cos2x)2sin(2x)

226
5

3

，即
xk

,kZ
，函数有 最小值为
2
；
6
62

5

函数在< br>[0,

]
上的单调增区间为
[0,]
和
[,

]
．
3
6
当且仅当
2x

2k


补充习题

一、选择题
π
4

1．(2011福建厦门模拟)已知tan α＝－，则tan


4
－α

的值为( )．
3
11
A．－7 B．7 C．－ D．
77
4
2．(2011北京东城模拟)已知sin θ＝，sin θ－cos θ＞1，则sin 2θ＝( )．
5
2412424
A．－ B．－ C．－ D．
2525525
[来源:w
3.已知

为第 二象限角,
sin

cos


3
,则
cos2


（ ）
3
C．A．
5

3
B．
-
5

9
5

9
D．
-
5

3
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高一数学教案 必修4 三角恒等变换（第7课时） 郭锐
4.若sinθ－cosθ=－,且π<θ<2π,则cos2θ等于（ ）
A.
77712
B.－ C.± D.－
25252525
1
5

5．cos
2
75°+c os
2
15°+cos75°cos15°的值等于（ ）
A.
35
3
6
B. C. D.1+
24
4
2
ππ
6．(2010年大同模拟)函数f(x) ＝sin
2
(x＋)－sin
2
(x－)是( )
44
A．周期为2π的奇函数 B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数 D．周期为π的偶函数
7.若
sin(
A ．


3


)
7

8
[来源:]
1

,则
cos(2

)
（ ）
43
11
B．

C．
44
D．
7

8
二、填空题
π
22
1. 已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)＝________．－
23
4
ααα
5
2．设α是第二象限的角，tan α＝－，且sin32225
三、解答题
18．设函数f(x)＝2cos
2
x＋23sin xcos x－1(x∈R)
(1)化简函数f(x)的表达式，并求函数f(x)的最小正周期；
π
0，

，求函数f(x)的最大值与最小值． (2)若x∈


2

π
2x＋

， 解：(1)∵f(x)＝2cos
2
x＋23sin xcos x－1＝cos 2x＋3sin 2x＝2sin

6

∴函数f(x)的最小正周期T＝π.
πππ7π
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
2666
π
1
2x＋

≤1， ∴－≤sin
< br>6

2
π
2x＋

≤2， ∴－1≤2sin

6

π7π
∴当2x＋＝，
66< br>ππππ
即x＝时，f(x)
min
＝－1；当2x＋＝，即x＝时，f(x)
max
＝2.
2626

[来源:]

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