磁场对电流的作用-男人帮语录

第八章

向量的数量积与三角恒等变换

8．2.3 倍 角 公 式

1.经历从两角和的正弦、余弦和正切公式推导倍角公式的过程，了解它们之间的内在联系．
2.能熟练运用倍角公式进行化简、求值与证明．
3．通过学习，提高学生逻辑推理、数学运算的核心素养．


(一)教材梳理填空
倍角的正弦、余弦、正切公式
三角函数
正弦
余弦
公式
sin 2α＝2sin_αcos_α
cos 2α＝co s
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α
－1＝1－2 sin
2
α
2tan α
tan 2α＝
1－tan
2
α
简记
S
2α

C
2α

T
2α

正切

(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)对于任意角α，总有sin 2α＝2sin α.( )
(2)对于任意角α，总有cos 2α＝1－2cos
2
α.( )
(3)对于任意角α，总有cos 2α＝2sin
2
α－1.( )
(4)对于任意角α，总有tan 2α＝
2tan α
.( )
1－tan
2
α
(5)对于任意角α，总有1＋sin 2α＝sin α＋cos α.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×

1－tan
2
15°
2.
＝( )
2tan 15°
A.3
C．1
解析：选A 原式＝
B.
3

3
D．－1
11
＝＝3.
2tan 15°tan 30°
1－tan
2
15°
1π
3.
－cos
2
＝________.
28
π
11π2< br>2cos
2
－1

＝－
cos
＝－
. 解析：原式＝－

8

2

244
答案：－< br>2

4

题型一 化简、求值问题

[学透用活]

二倍角公式的灵活运用
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
1
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
2
cos α＝
sin 2α2tan α
，cos
2
α－sin
2
α＝cos 2α，
＝tan 2α.
2sin α
1－tan
2
α
(2)公式的变形用：公式间 有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的的活用公式．主要形式
有：
1±sin 2α＝sin
2
α＋cos
2
α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)
2
，
1＋cos 2α＝2cos
2
α，cos
2
α＝
1＋cos 2α
，
2

1－cos 2α
sin
2
α＝.
2
[典例1] 化简求值．
αα
πππ
(1)cos
4

－sin
4

；(2)sin
·cos ·cos
；
22242412
1－3tan
2
150°
(3)1－2sin 750°；(4)tan 150°＋.
2tan 150°
2
αααα
α α
cos
2
－sin
2

·

cos2
＋sin
2

＝cos α.
[解] (1)cos
4

－sin
4

＝

22

22

22

ππππ
1π1ππ11π1< br>2sincos

cos
＝
sin cos
＝

2sincos

＝
sin
＝，
(2)原式＝

2424

122
1212

42

12124

68
1
∴原式＝
.
8
1
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝
，
2
1
∴原式＝
.
2
2tan
2
150°＋1－3tan
2
150°1－tan
2
150°
1113
(4)原式＝
＝＝＝＝－＝－，
2tan 150°2tan 150°tan 300°
tan360°－60°
tan 60°3
∴原式＝－
[方法技巧]
应用二倍角公式化简求值的三个关注点
(1)当单角为非特殊角，而倍角为特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值．
(2)当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角．
(3)对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．
[对点练清]
cos
2
5°－sin
2
5°
1．化简
＝( )
sin 40°cos 40°
A．1
1
C.

2
B．2
D．－1
3
.
3
cos
2
5°－sin
2
5°
cos 10°cos 10°
解析：选B ＝＝＝2.故选B.
sin 40°cos 40°11
sin 80°cos 10°
22
2.
3－sin 70°
＝________.
2－cos
2
10°
3－sin 70°3－sin 70°3－cos 20°
解析：＝＝2×＝2.
2－cos
2
10°1＋cos 20°3－cos 20°
2－
2
答案：2
题型二 给值求值问题

[学透用活]
1
[典例2] (1)若sin α－cos α＝
，则sin 2α＝______.
3
π
3π
π
3π
α＋

＝，≤α<，求cos

2α＋

的值．
(2)已知cos

4

4

52
< br>2
1

2

1

2
＝
8< br>.
[解析] (1)(sin α－cos α)
2
＝sin
2
α＋cos
2
α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝

⇒sin 2α＝1－

3

3

9
8
答案：
9
π3π3ππ7π
(2)∵
≤α<，∴≤α＋
<.
22444
π
3ππ7π
α＋

>0，∴<α＋<. ∵cos


4

244
π
α＋
< br>＝－ ∴sin


4

＝－
π
α＋

1－cos
2


4

3

2
4
1－

＝－
.
< br>5

5
πππ
2α＋

＝2sin

α＋

cos

α＋

∴cos 2α＝sin

2

4

4

4
324
－

×＝－， ＝2×


5

525
π
2α＋


sin 2α＝－cos

2
< br>π3
7
α＋

＝1－2×

2
＝
.
＝1－2cos
2


4

5
< br>25
π
22
2α＋

＝
cos 2α－sin 2α
∴cos

4

2

2
＝
2
247

312
×

－
25
－25

＝－
.
250
[方法技巧]
解决给值求值问题的方法
解决给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
[对点练清]
π2π
1
＋α

＝，则cos
< br>－2α

＝________.
1．[整体求值]已知sin

6

3

3

2ππππ
7
－2α

＝cos

2

－α

＝2 cos
2

－α

－1＝2sin
2

α ＋

－1＝－
.
解析：cos


3
 
3

3

6

9
7
答 案：－
9

π
cos 2x
5π
－x
＝，0＜x＜，求
2．[变角求值]已知sin

的值．

4

134π

cos

4
＋x

πππ
＋2x

2sin

＋x

cos

＋x

sin


2

4

4

π

解：原式＝＝＝2sin


4
＋x

.
π

π

cos
4
＋x

cos

4
＋x

π

π
5π
－x
＝cos

＋x
＝，且0＜x＜， ∵sin


4

4

134
ππ

π
∴＋x∈


4
，
2

，
4
π

∴sin


4
＋x

＝
π
12
＋x

＝， 1－c os
2


4

13
1224
∴原式＝2 ×＝
.
1313
题型三 利用倍角公式进行证明
[学透用活]
[典例3] 求证：
1
＝
α
4
sin 2α.
1
α
－tan
2
tan
2
cos
2
α
cos
2
α
[证明] 法一：左边＝

αα
cossin
22
－
αα
sincos
22
αα
cos
2
αsincos
22
＝＝
αααα
cos
2
－ sin
2
cos
2
－sin
2
2222
αα
sincos
22
cos
2
α
αα
cos
2αsincos
22
αα
＝＝sin
cos cos α
cos α22
11
＝
sin αcos α＝sin 2α＝右边，
24
∴等式成立．
αα
cos
2
αtan2tan
2
1
2
2
1
2
11
法二：左边＝＝
co sα·
＝
cosα·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，∴等式成立．
α
2
α
224
22
1－tan1－tan
22[方法技巧]
证明问题的原则及一般步骤
(1)原则：观察式子两端的结构形式，一般 是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，
即采用“两头凑”的思想．

(2)一般步骤：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名
化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
[对点练清]
求证：cos
2
(A＋B)－sin
2
(A－B)＝cos 2Acos 2B.
证明： 左边＝
1＋cos2A＋2B1－cos2A－2Bc os2A＋2B＋cos2A－2B
－＝
222
1
＝
(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立．
2

题型四 三角恒等变换与三角函数性质综合

[学透用活]
π7π

[典例4] 求函数f(x)＝53cos
2
x＋3sin
2
x－4sin xcos x，x∈

并求其单调递减区间．

4
，
24

的最小值，
[解] f(x)＝53×
4
1＋cos 2x1－cos 2x
＋3×－2sin 2x＝33＋23 cos 2x－2sin 2x＝33＋
22

3
cos 2x－
1
sin 2x

＝33＋4

sin
π
cos 2x－cos
π
sin 2x


3

3

2

2

ππ
－2x

＝33－4si n

2x－

， ＝33＋4sin

3
3

π7ππππ
因为≤x≤，所以≤2x－≤，
424634π
12
2x－

∈

，

， 所以s in

3


22


ππ7π
所以当2x－＝，即x＝时，f(x)取最小值为33－22.
3424
ππ7π
2 x－

在

，

上单调递增， 因为y＝sin

3

424

π7π

所以f(x)在


4
，
24

上单调递减．
[方法技巧]
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
(1)运用和、差、倍角公式化简；
(2)统一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
[对点练清]
求函数y＝sin
4
x＋23sin xcos x－cos
4
x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减
区间．
解：y＝sin
4
x＋23sin xcos x－cos
4
x < br>＝(sin
2
x＋cos
2
x)(sin
2
x－co s
2
x)＋23sin xcos x

＝－cos 2x＋3sin 2x＝2
π
2x－

， ＝2sin

6


3
sin 2x－
1
cos 2x


2

2
2π
所以T＝＝π，y
min
＝－2.
2
ππ3π
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
262
π5π
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
36
又x∈[0，π]，所以令k＝0，
π5π

得函数的单调递 减区间为


3
，
6

.


[课堂一刻钟巩固训练]
一、基础经典题
1．函数y＝1－2cos
2
x的最小正周期是( )
π
A.

4
C．π
π
B.
2
D．2π
2π
解析：选C y＝1－2cos
2
x＝－cos 2x，其最小正周期是T＝
＝π. 故选C.
2
1
2．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝
，则cos 2α＝( )
3
8
A.

9
7
C．－

9
1
解析：选B ∵sin α＝，
3
7
B.
9
8
D．－
9

1

2
7
∴cos 2α＝1－2sin
2
α＝1－2×


3

＝
9
. 故选B.
π
3
θ＋

＝，则cos 2θ＝________.
3．若sin


2

5
π
33
θ＋

＝，∴cos θ＝
.
解析：∵sin

2

55
3

2
7
∴cos 2θ＝2cos
2
θ－1＝2×

－1＝－
.

5

25
7
答案：－
25
4．化简：
1＋sin 10°
－
1－sin 10°
＝________.
解析：原式＝sin 5°＋cos 5°
2
－sin 5°－cos 5°
2
＝|sin 5°＋cos 5°|－|cos 5°－sin 5°|＝2sin 5°.
答案：2sin 5°
二、创新应用题
π4
5．已知<α<π，cos α＝－.
25
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
4π
解：(1)因为cos α＝－，
<α<π，
52
sin α
33
所以sin α＝，所以tan α＝＝－
.
5cos α4
247
(2)sin 2α＝2sin αcos α＝－
，cos 2α＝2cos
2
α－1＝
，
2525
所以sin 2α＋cos 2α＝－
三、易错防范题
6．已知θ是第二象限角，化简1＋sin θ＋1－sin θ.
解：原式＝
θθ
1＋2sin
cos
＋
22
θθ
1－2sin
co s
＝
22
24717
＋＝－
.
252525
< br>sin
θ
＋cos
θ

2
＋
2

2

sin
θ
－cos
θ

2
＝

sin
θ
＋cos
θ

＋
2
 
22

2

sin
θ
－cos
θ
.
2

2
π
因为θ是第二象限角，即2kπ＋< br><θ<2kπ＋π，k∈Z，
2
π
θ
π
所以kπ＋
<，k∈Z， 422

故原式＝

5π
θ
3π
θ

2kπ＋<<2kπ＋
，k∈Z

.－2sin

422< br>
2

π
θ
π
θ
2kπ＋<<2kπ＋，k∈Z

，
2sin

422

2



θθ
[易错矫正] 本题易错点一是在去根号时，对sin
± cos
的符号未加以讨论，导致化简错误．二是盲目
22

地运用公式化 简函数的解析式，而忽略了定义域．要想正确求解，需要掌握倍角、分角的终边所在象限的
确定方法．
[课下双层级演练过关]
A级——学考水平达标练
1
1．若tan θ＝－
，则cos 2θ等于( )
3
4
A．－
5
1
C.
5
1
B．－

5
4
D．

5
cos
2
θ－sin
2
θ1－tan
2
θ
41
22
解析：选D 若tan θ＝－，则cos 2θ＝cos
θ－sinθ＝
2
＝＝
.
3cosθ＋sin
2
θ1＋tan
2
θ
5
4
2 ．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝
，则sin 2α＝( )
3
7
A．－
9
2
C.
9
2
B．－

9
7
D．

9
4167
解析：选A 将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin
2
α－2sin αcos α＋cos
2
α＝
，即sin 2α＝－
.
399
sin 65°cos 25°＋cos 65°sin 25°－tan
2
22.5°
3．计算：
＝( )
2tan 22.5°
1
A.
2
C.3
B．1
D．2
sin 90°－tan
2
22.5°1－tan
2
22.5°1
解析：选B 原式＝＝＝＝1.
2tan 22.5°2tan 22.5°tan 45°
x
sin 2x

1＋tan x·tan

＝( )
4．化简
2

2cos x

A．cos x
C．sin x
B．tan x
1
D．sin 2x
2
x
2
2sin xcos xsin x
解析：选B 原式＝
1＋·

x
2cos xcos x
cos
2< br>


sin



xxx
cos xcos
＋sin xsin
cos
222
＝sin x＝sin x·
xx

cos xcos cos xcos
22
＝
sin x
＝tan x.
cos x
π
4
－，0

，cos x＝，则tan 2x等于( ) < br>5．已知x∈


2

5

7
A.
24
24
C.

7
7
B．－

24
24
D．－
7
π
2tan x
433
－，0

，得sin x＝－，所以tan x＝－，所以tan 2x＝解析：选D 由cos x＝，x∈

＝

2

55 4
1－tan
2
x
24
＝－，故选D.
37
－< br>
2
1－


4

π

3
6．已知sin


4
－x

＝
5
，则sin 2x的值为________．
ππ
－2x

＝cos
2

－x

解析：sin 2x＝cos

2

4

π

7
＝1－2s in
2


4
－x

＝
25
.
7
答案：
25
7．已知2cos
2
x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝_______，b＝________.
解析：2cos
2
x＋sin 2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝
π
2x＋

＋1，故A＝2，b＝1.
2sin

4

答案：2 1
π
3
θ－

＝________.
8．已知sin 2θ ＝
，则cos
2


4

4
3
－

2×


4


2

θ－
π

1＋cos

4

π
θ－

＝解析：cos
2



4

2
π
2θ－

1＋cos

2

1＋si n 2θ

3
＝＝，∵sin 2θ＝，
224
3
1＋< br>4
7
π
θ－

＝∴cos
2

＝< br>.

4

28
7
答案：
8
sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°
9．求值：.
1－cos 20°
cos 80°
解：∵sin 50°(1＋3tan 10°)
cos 10°＋3sin 10°
2sin 40°
＝sin 50°·＝sin 50°·＝1，
cos 10°cos 10°
cos 80°
1－cos 20°
＝sin 10°2sin
2
10°＝2sin
2
10°，
∴
sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°1－cos 20°
＝＝2.
2sin
2
10°
cos 80°1－cos 2 0°

π
2x＋

＋sin
2
x－cos2
x＋23sin xcos x. 10．已知函数f(x)＝cos

3

(1)化简f(x)；
1
(2)若f(α)＝
，2α是第一象限角，求sin 2α.
7
π
1331
2x－

.
解：(1)f(x)＝
cos 2x－sin 2x－cos 2x＋3sin 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin

6

2222
π
1
2α－

＝，2α是第一象限角，
(2)∵f(α)＝sin

6

7

π
即2kπ<2α<2kπ＋
(k∈Z)，
2
πππ
∴2kπ－
<2α－<2kπ＋(k∈Z)，
663
π
43
2α－

＝∴cos

，
6

7

2α－
π

＋
π
＝sin

2α－
π

·cos
π
＋cos

2α－
π

·sin
π< br>＝
1
×
3
＋
43
×
1
＝
5 3
.
∴sin 2α＝sin

6

6

6

6



66727214

B级——高考水平高分练
π

1
1．已知tan x＝
，则sin
2


4
＋x

＝( )
2
1
A.

10
3
C.
5
1
B.
5
D．
9

10
π< br>
1－cos


2
＋2x

2
1 ＋sin 2x
1
sin xcos x
1
＝＋
2
＝＋2
22
sinx＋cosx
2
π

1
解析：选 D 因为tan x＝，所以sin
2


4
＋x

＝
2
tan x
129
＝＋＝
.
tan
2x＋1
2510
ππ
2
＋θ

＝，则sin

2θ－

＝( )
2．设sin

6
6

3

7
A．－
9
5
C.
9
π
2
＋θ

＝， 解析：选B 因为sin
< br>
6

3
π
π
π
2θ＋

－


2θ－

＝sin


所以sin

3

2

6



ππ
5
2θ＋

＝－

1－2sin
2

＋θ

＝－
.
＝－cos

3
 
6

9
5
B．－

9
7
D．

9
＝
π
2x－
－22·sin
2
x的最小正周期是________． 3．函数f(x)＝sin
4


π
2x－

－22sin2
x
解析：f(x)＝sin

4

＝
＝
1－cos 2x
22
sin 2x－cos 2x－22×

222
π
22
2x＋

－2，
sin 2x＋cos 2x－2＝sin

4

22
2π
故该函 数的最小正周期是＝π.
2
答案：π
4．已知α，β均为锐角，且tan α＝7，cos β＝
25
，则α＋2β＝________.
5
1
2×
2
2tan β
25514
解析：∵β为锐角，且cos β＝，∴sin β＝，∴tan β＝，则tan 2β＝＝＝
.
5521

2
3
1－ta n
2
β

1－

2

25
3tan α＋tan 2β
∵tan α＝7，∴tan(α＋2β)＝＝＝＝－1.
425
1－tan αtan 2β
1－7×
－
33
由α， β为锐角，可得α＋2β＝
3π
答案：
4
4cos
4
x－2cos 2x－1
5．已知函数f(x)＝.
ππ

2
tan

4
＋x

·sin

4
－x

17
－
π

的值； (1)求f


12

π
1
0，

时， 求g(x)＝
f(x)＋sin 2x的最大值和最小值． (2)当x∈


2

2
4cos
4
x－2cos 2x－1
解：f(x)＝
π

π

2
tan

4
＋x

·sin

4
－x

1＋cos 2x

2
4

2

－2cos 2x－1
＝
π

π

2
tan
< br>4
＋x

·cos

4
＋x

＝< br>cos
2
2x
π

π
＋x
·cos

＋x

sin


4

4


3π
.
4
4
7＋
3
cos
2
2xcos
2
2x
＝＝＝2cos 2x.
1
1

π

sin
＋2x

2
cos 2x
2

2
17
17π5π
－
π

＝2cos (1)f

＝2cos ＝－3.

12

66