情话大全-七年级语文教学计划

3.1.1两角差的余弦公式

一、教材分析

《两角差的 余弦公式》是人教A版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两
角和与差的正弦、余弦和正切 公式》第一节课的内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的
推导，要引导学生主动参与，独立思索，自 己得出相应的结论。
二、教学目标
1.引导学生建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构
及其功能，并为建立其他和差公式打好基础。
2.通过课题背景的设计，增强学生的应用意识，激发学生的学习积极性。
3.在探究公式的 过程中，逐步培养学生学会分析问题、解决问题的能力，培养学生学会
合作交流的能力。
三、教学重点难点
重点 两角差余弦公式的探索和简单应用。
难点 探索过程的组织和引导。
四、学情分析
之前学习了三角函数的性质，以及平面向量的运算和 应用，在此基础上，要考虑如何利
用任意角

，

的正弦余弦值来表 示
cos(



)
，牢固的掌握这个公式，并会灵活运用 公
式进行下一节内容的学习。
五、教学方法
1.自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距
六、课前准备
1.学生准备：预习《两角差的余弦公式》，理解两种方法的推理过程。
2.教师准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时
八、教学过程
（一）创设情景，揭示课题
以学校教学楼为背景素材（见课件）引 入问题。并针对问题中的
cos15
用计算器或不
用计算器计算求值，以激趣激疑，导 入课题。
教师问：想一想: 学校因某次活动的需要,需从楼顶的C点处往该点正对的地面上的A< br>点处拉一条钢绳,为了在购买钢绳时不至于浪费,你能算一算到底需要多长钢绳吗?(要求在
地面 上测量,测量工具:皮尺,测角器)
0

问题：（1）能不能不用计算器求值 ：
cos45
，
cos30
，
cos15

（2）
cos(4530)cos45cos30是否成立？

设计意 图：由给出的背景素材，使学生感受数学源于生活，又应用于生活，唤起学生解
决问题的兴趣，和抛出新 知识引起学生的疑惑，在兴趣和疑惑中，激发学生的求知欲，引导
学习方向。
（二）、研探新知
0000
000

1.三角函数线法： < br>问：①怎样作出角

、

、



的终边。
②怎样作出角



的余弦线OM
③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。
设计意图：尽量用动画课件把探索过程展示出来，使 学生能从几何直观角度加强对公式
结构形式的认识。
Y
p1
A
< br>C
β
α
O
B
α-β
M
X
P

（1）
设角

终边与单位圆地交点为P
1
，
P OP
1


,则POx



。
（2）
过点P作PM⊥X轴于点M，那么OM就是



的余弦线。
（3）
过点P作PA⊥OP
1
于A，过点A作AB⊥x轴于B，过点P作PC⊥AB于C
那么
OA表示

cos

，AP 表示
sin

，并且
PACPOx

.

1
于是 OM=OB+BM
=OB+CP
=OA
cos

+AP
sin


=
cos

cos

sin

sin


最后要提醒学生注意，公式推导的前提条件：

、

、



都是锐角，且




2.向量法：
问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？
② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。
③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。
设计意图：让学生经历利用向量 知识解决一个数学问题的过程，体会向量方法解决数学
问题的简洁性。

如图,建立单位圆O

则OA

cos

,sin


,OB

cos

,s in


由向量数量积的概念,有

A


由向量数量积的坐标表示,有
因为

、

、都是任 意 角,所以



也是任意角,但由诱导公式以总可找到一个

[0,2

)
，使得
cos

cos(



)
。
例1. 利用差角余弦公式求
cos15
的值
（求解过程让学生独立完成，注意引导学生多方向、多维度思考问题）
解法1：
c os15
0
cos(45
0
30
0
)cos450
cos30
0
sin45
0
sin30
0

…=
解法2：


B
O
x





于是对于任意角

、

都有

简记C

（



）
0
y
6
2
4

cos15
0
cos (60
0
45
0
)cos60
0
cos45
0
sin60
0
sin45
0

…=
变式训练：利 用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）
cos(
2
6
4


2


)sin

； （2）
cos(2



)cos


4π5
例2.已知sinα= ，α（ ，π），cosβ= - ，β第三象限角，求cos（



）的值
5213
（让学生联系公式
C





和本题的条件，考 虑清楚要计算
cos





，应作那些准备。 ）
3
4

4



2
解：由
sin

,



,

，得
cos

1sin

1



5
5

5


2

12
5

5

2
又由
co s


，

是第三象限角，得
sin

1cos

1



13
13< br>
13

3

5

4

1 2

33
所以
cos





cos

cos

sin

sin

()







 

5

13

5

13
65
让学生结合公式
cos(



)cos

cos

sin

sin

，明确需要再求 哪些三角函数
值，可使问题得到解决。
变式训练：
已知sin


2
2
15

，

是第二象限角，求cos（

）的值

173

（三）、质疑答辩，排难解惑，发展思维
1.利用两角和（差）的余弦公式，求
cos75
0
,cos105
0

【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：
cos105
0
cos(150
0
45
0
)
， 要学会灵活运用.
2
)

2
.
求值

cos75cos30sin75sin30

(
2
0000
3．化简
cos(



)cos
sin(



)sin


(cos

)

1
15
（）
4.已知

，

为锐角，cos

，sin（



）3 ，求cos



2
71 4
提示：利用拆角思想
cos

cos[(



)

]
的变换技巧
（
设计意图：通过变式训练，进一 步加深学生对公式的理解和应用，体验公式既可正用、
逆用，还可变用.还可使学生掌握“变角”和“拆 角”的思想方法解决问题，培养了学生的
灵活思维品质，提高学生的数学交流能力，促进思维的创新。）



（四）发导学案、布置预习
本节我们学习了两角 和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式
C
(



)的推导，能熟练运
用公式
C
(



)
，注意公式
C
(



)
的逆用。在解题过程中 注意角

、

的象限，也就是符号

问题，学会灵活运 用.课下完成本节的课后练习以及课后延展作业，课本
P
137
习题2.3.4 (设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的
延伸拓展训练 。)
九、板书设计
两角差的余弦公式
1.三角函数线法 2.向量法
例1 变式训练 例2 变式训练
当堂训练1. 2.
3. 4.
十、教学反思
本节主要考察如何用任意角

，

的正弦余 弦值来表示
cos(



)
，回顾公式
C
（



）
的推导过程，观察公式的特征，注 意符号区别以及公式中角

，

的任意性，特
别要注意公式既可正用 、逆用，还可变用(即要活用).还要注意掌握“变角”和“拆角”的
思想方法解决问题.
设计意图：让学生通过自己小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程（包括发现、
猜想、论证的数学化的过程）的理解。