睡眠日-2013北京高考理综

3.1.1 两角差的余弦公式
【课题】：
两角差的余弦公式
【学 情分析】：《两角差的余弦公式》是高中数学必修4第三章《三角恒等变换》的的第一节。
《三角恒等变 换》这一章是在学习了《三角函数》与《平面向量》的基础上学习的内容，是
从实际出发，为了解决实际 问题而准备的知识。通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变
换的基本思想和方法的过程中，发展推理 能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具
性作用，掌握它们在数学中的一些应用。而作为本章的 第一节《两角差的余弦公式》，是本
章学习的基础，推导公式的方法和思维过程都是非常重要的。
【教学目标】
1.知识与技能目标：能用单位圆上的三角函数线和向量方法探索得到两角差 的余弦公式，
并能进行简单的三角恒等变换；通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建
立其它和（差）公式打好基础。
2．过程与方法目标：通过公式的探究，使学生体验由简单到 复杂的变换思想方法，让学
生树立并学会研究性学习的方法，树立主动学习的意识；通过公式的运用，培 养和提高运用
已有知识分析问题和解决问题的能力，并从中反思方程思想、整体性思想和转化思想。 < br>3．情感、态度与价值观目标：通过课堂互动营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评
价，激励 学生，使学生尝试成功，以提高学生的学习兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而
不舍的钻研精神和合作 交流的科学态度。
【教学重点】：通过探索得到两角差的余弦公式。
【教学难点】：探索过 程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程
必用的基础知识是否已经具备的问题 ，运用已学知识和方法的能力问题，等等。
【课前准备】：布置学生预习、准备课件
【教学过程设计】：
教学
环节
教学活动
设计
意图
导入：我们在初中时就知道
cos45
o
23
o
，
cos30

22
思考1：如何求
cos15
？
（提示：解决问题的基本思路是用已知表示未知！）
一、
问
生： cos15

cos(45

30

)

题
引
师：还可以怎么表示？
入

生：
cos15cos(6045)


思考2：
cos15cos(6045)?

师：下面我们就一起探讨 两角差的余弦公式
cos





?

（同学们可以猜想出来吗？）


从需
要出
发激
发同
学的
求知
欲

师：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我
们能否用向量的知识来证明 ？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
A
B
O
B

二、
新
课
学
习
师：如图单位圆，分别写出点A、B的坐标，并用向量表示
生：

运用
刚学
过的
向量
知识
来解
决这
个问< br>题，
显得
直
接、
简
洁，
同时
体现
知 识
间的
联系

OA(cos

,sin
)
OB(cos

,sin

)

AOB



师：那么


OA• OBOAOBcos(



)
(cos

,s in

)•(cos

,sin

)1•1•cos(< br>


)

cos

cos
sin

sin

cos(



)
师：以上推导是否有不严谨之处，请给以补充。
生：不严谨之处：因为两向量夹角范围是 0







师：那么，如果不在这个范围内如何解决？
（建议同学在课下研究解决）
结论：对任意的

,

都有
cos(



)cos

cos

sin

s in


C
(



)

师：这个公式是两角差的 余弦公式，是今后继续学习的基础，希望同学们掌握
公式的结构特点，熟记公式。

练习：
1． 利用差角余弦公式求
cos15
的值.（同学自己完成）
生：
o
cos15

cos(45

30

)cos45< br>
cos30

sin45

sin30


62

4
师：还有其它方法求
cos15

点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，
例如：
cos 15
o
cos60
o
45
o
，要学会灵活运用。
2．利用公式
C
(



)
证明：
（1）
cos(

)sin

（2）
cos(2



)cos


o













设计
分层
练
习，
及时
运用
新
知
识，
巩固
练
习，
加深
对公
式的
理
解；
加强
应用
意识
培
养。


2

三、
巩
固
新
知

证明：（1）cos(

)cos

22
cos

 sin

2
sin

sin


（2）略
3．已知
sin


5
4



，



,


,cos
,

是第三象限角，
13
5

2
求
cos





的值. 解：因为



4



,


，
sin


由此得
5

2

2
2
3

4

cos
1sin

1



5
< br>5

又因为
cos


5
,
< br>是第三象限角，
13
2
2
12

5
所以
sin

1cos

1





13

13

33
< br>3

5

4

12

cos(< br>


)cos

cos

sin
sin















65
5

13

5

13


四、
当
堂
检
测


当堂检测（5×2=10分） 得分
1．
cos105

2．
cos22cos67sin22sin67

3．
sin15

4．
cos(


通过

模仿
测
试，
巩固
3



)

2
3
5
知识
5．
已知cos

,

(

五、
课
堂
小
结

,

),则cos(

)

24
师生
互动
的形
式完
成。

本节我们学习了两角差的余弦公式
1． 了解公式的推导过程
2． 要认识公式结构特征
3． 在解综合题过程中注意角

、

的象限，也就是符号问题，学会灵活运用。

六、
练
习
与
测
试


1.
cos

12


0000

2.
cos80cos20sin80sin20
的值为（ ）

(A)
32
1
(B) (C) (D) 1
22
2
0000
3．
cos15cos15cos255si n15
的值是（ ）
（A）0
0
（B）
3
1
（C） （D）1
2
2
4.
cos(15)
的值为( ).
（A）
62
2662
（B） （C） （D）


4
444
5. 下列式子中正确的个数为（ ）
①
cos(< br>


)cos

cos

②
cos(



)cos

cos


③
cos(



)cos

cos

④
cos(



)cos

cos

sin

sin

⑤
co s(



)cos

cos

si n

sin


(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 ( D) 3个
6．化简
cos(

35 )cos(25

)sin(

35)sin(25
)
的结果是
（ ）
(A)
0000
32
1
(B) (C) (D) 1
22
2
3
< br>,

(,

),求cos(

)
=
423
123
8．已知
sin

,cos
,

,

均为第二象限角，求cos(



)
=
135
35



) ,求cos

的值。
9．已知锐角

,

满足c os

,cos(

513
123
cos(
< br>

),cos(2



),求cos

的值。 10．

,

为锐角，
135
7． 已知
sin


答案或略解： 1.
62
; 2.(B); 3.(D) 4. （C）; 5.(B); 6.(B);
4
3 37
63
3356



)
;9. 10. 8
cos(
8
65
6365