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课题：两角和与差的余弦公式
案例撰写： 黎 宁 北京市陈经纶中学
评 析： 袁京生 北京市朝阳区教研中心
丁益祥 北京市陈经纶中学
【导语】
自主探究学习既是对学生主体地位的尊重，又使学生获得亲历知识生成与发展过程的体验，是培养学生参与意识和 探索发现能力的有效方式。黎宁老师在教学
中重视引导学生探究并发现求两角差的余弦的方法，让学生经 历用向量知识获得公式的过程，从而体会向量的工具作用及应用价值，同时引导学生利用换元与转化思想得到两< br>角和的余弦公式，树立对立统一的思想观点。本节课的教学重点是对获得公式的方法与过程进行探究，对公 式结构特征的探究无须占用过多时间。
【教学设计】
《两角和与差的余弦公式》安排在 第二章《平面向量》之后，同时又是这一章《三角恒等变换》的起始内容，它具有承前启后的作用．三角恒等变换 位于三角函数与数
学变换的结合点上，是发展学生的推理能力和运算能力的重要内容．这一章的知识内容 形成了一条结构紧密的知识链条：以两角差的余弦为基础，推导出两角和的余弦、两角
和与差的正弦、正 切，再到二倍角的正弦、余弦、正切等．本节内容安排在平面向量之后，利用向量的数量积推导两角差的余弦公式 ，使得证明过程简明易懂，也让学生进一
步体会向量方法的应用．同时，本节教学内容是提高学生的逻辑 推理能力、分析解决问题的能力以及运算能力的良好素材．本课时教学内容还能让学生进一步体会数学知识不同分支之间的联系，感受数学的整体性．
本节课的授课对象是我校高一（1）班，该班是我校的 直升班，教学进度快于年级其他班级，学生知识基础相对较好，有一定的研究能力．但逻辑思维能力尚属经验型，
运算能力也有待于提高．
根据以上的分析，确立了如下的教学目标：
1．使学生理解两角和与差的余弦公式,并能初步应用它们解决简单的三角函数求值与恒等变换问题；
2．通过教学，使学生经历从探索两角差的余弦公式结构到证明两角差的余弦公式，再由此推导两角和的 余弦公式的过程,简单体会特殊与一般的思想，数形结合的思想，
换元的思想等数学思想在三角恒等变换 中的作用，培养学生观察、联想、归纳、证明的推理能力；
3．通过教学，形成学生严谨的治学态度和锲而不舍的钻研精神．
为了充分调动学生学习的 积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习，我将采用“教师适时引导和学生自主探究相结合”的教学方式．在 课堂教学过程中，我要贯彻
“教师、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过创设问题 情景，使学生们都能充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程，力求把新的知识和思想纳入到
学生原有 的认知结构中去．通过深入挖掘具体知识中所蕴涵的数学思想方法，为提高学生的合情推理能力、逻辑推理能力以 及分析问题和解决问题的能力创造条件．
本节课我选择计算机辅助教学．利用PowerPoint 制作幻灯片，增大课堂容量，提高课堂效率．利用几何画板课件演示，揭示
三角函数的几何形式的直观性 ，使信息技术真正为教学服务．
与向量夹角之间的关系，增强
【教学实录】
第一阶段：创设情景，引入新课

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（教师面带自信的微笑看着同学们，作回忆状）
师：同学们在学习第一章 三角函数时曾经提过这样的两个问题，问题1：函数的最大值是多少？
（这是学生学习第一章 三角 函数时曾经提过的问题，将此问题在这里提出，目的在于说明学习本节知识的必要性，同时激发学生学习本节知识 的兴趣．）
（教室里一片寂静，同学们在思考）
师：函数与的最大值都是1，那么的最大值是不是2呢？
（同学们纷纷肯定地小声儿说“不是”，为了明确结论，我请一位同学表述观点）
生：不是，当取得最大值1时，等于0．
师：若能把转化成一个角的一个三角函数的形式就好了！
（留下一个“悬念”，继续提问）
师：同学们知道等于多少？
师：15°= 45-30°，我们知道45°与30°的三角函数值，能否求出的值呢？
是否有=成立呢？
师：=是否恒成立？
（凭直觉得出=是学生容易出现的错误，通过讨论弄清结论，使学生明 确“恒等”的含义，同时为进一步明确本节课
的探索目标奠定了基础，使得教学过程自然流畅．）
第二阶段：引导探究，掌握新知
（教师引导学生探索两角差的余弦公式的结构）
（1）研究（90°-30°）与90°、90°、30°、30°之间的关系；

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（2）研究（120°-60°）与120°、120°、60°、60°之间的关系；
（3）研究（135°-45°）与135°、135°、45°、45°之间的关系；
（学生观察特例，发现规律）
生：=+
（通过学生熟悉的特殊角的三角函数值来 探索公式的结构是比较自然的．在学生对公式的结构特性有了直观感知和基本了解的基础上，激发学生猜想，探求 公式的欲望．）
师：能否证明=+？
（学生思考，教师巡视，引导学生利用向量的有关知识解决问题，板书证明过程）
如图，作单位圆O，以O为始边作角、，它们的终边与单位圆O交于点A，B．则
=(,),=(,)
∴=+
（1）当时，向量与的夹角就是，由向量数量积的定义，有=

=
∴= +
（在考虑的情形时，教师利用几何画板课件演示动态图形，帮助学生弄清与的关系，得出此时仍有
=的结论．）
（2）当时，设与夹角为，有=．

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因此，对于任意角，有
= + （）
（板书课题：两角和与差的余弦公式）
（让学生经历用向量知识解决一个数学问题的过程，体会向量的工具作用及应用价值．）
师：有了公式，我们只要知道角、的正、余弦就可以求的值了．
第三阶段：应用举例，巩固新知
完成例1（本节课开始时的疑问2）利用差角公式求的值．
（学生顺利地完成了）
解：=(45°-30°)
= 45°30°+45°30°
=
=
师：能否用角、的正、余弦来表示呢？
（学生自主研究，请两位同学口头叙述了两种思路：只要将公式中的换成即可得到．也可以将看成，利用 公
式证明．）
=- （）

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（既可以通过解决问题使学生体会“换元”的思想，也可以通过加法与减法互为逆运算的关系 ，帮助学生树立对立统一的观点，提炼问题本身蕴涵着的化归与转化的思
想．）
（打投影）
例2 求值：
（1）
（2）
（学生较顺利地自行完成了）
解：（1）
（2）
（我乘胜追击，继续提问，打出投影）
师：能否化简+？（学生自行完成）
（这是公式的逆用，锻炼学生的逆向思维能力，同时也为解决本节课开始时的疑问1做好铺垫．）
师：能否解决本节课开始时的疑问1？函数的最大值是多少？
生：=+）=
所以最大值为．
（通过解决问题体会两角和与差的余弦公式的应用价值，同时也使得整堂课首尾呼应、浑然一体．）
第四阶段：回顾小结，归纳提炼
师：通过本节学习你有哪些收获？

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（同学们若有所思……，有的同学在自己的笔记 本上写着，有的同学在互相讨论交流．教师引导学生围绕以下方面进行小结：1．知识层面的小结：对公式的探索 过程及
方法的启示，用向量的数量积证明公式的主要思路以及公式的特点和功能；2. 数学思维能力层 面的小结：在学生小结的基础上，教师概括提升——包括本节课所涉及到的特
殊与一般的思想，数形结合 的思想，换元的思想的体现，逻辑思维能力和运算能力的提高以及对数学和谐美的欣赏）．
生：我们 经历了由特殊角的三角函数值探索两角差的余弦公式结构，到利用向量的数量积证明公式，再由此推导两角和的余 弦公式的过程.在此基础上,运用公式解决了
一些简单问题．
生：简单体会了特殊与一般的 思想，数形结合的思想，换元的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用，通过向量方法在三角函数中的应用，体 会了数学知识不同分支
之间的联系．
（让学生通过小结，反思学习过程，加深对公式及其推 导过程的理解．领会数学研究的有关基本方法和途径，学习并能应用数学思想与方法解决有关问题．）
（布置作业: 1．课本P138．B组第4题
2．试用今天学习知识和方法证明：
=+
=-）
【教学回顾】
以下从四个方面进行教学回顾：
一、课题的引入
教科书以一个实际问题（求电视发射塔的高度）作为引子，目的在于提出问 题，引入研究课题．同时帮助学生认识到数学与与实际生活有关，体会数学的应用价值．解
决这个实际应 用问题需要用方程的思想分析问题，考虑到我校学生的实际情况，这样做一定程度会抢去这节课主要研究内容的风 头．而且，在这个问题中要解决的
与这节课要研究的的联系不够直接．学生在学习第一章三角函数时，在 可课堂上就曾经提出过一个问题：函数
的周期是多少？最大值是多少？当时我们只研究到最大值不是2， 更不是1，最大值究竟是多少？我鼓励感兴趣的同学课下进行研究．这节可
以此问题作为引入，主要是想 激发学生学习本节知识的兴趣，同时说明学习本节知识的必要性．不过从外形上看，与我们这节课要研究的
也是相去甚远．而的求值问题恰好解决这个问题，因此，以两个疑问作为引入，旨在激发学生的学习兴趣，引起 他们学习本节知识的
欲望，同时也能让学生体会学习本节知识的必要性．于是将课本中的求电视发射塔的 高度的问题安排在学习完两角和与差的正切公式之后，以应用举例的形式提出．
二、公式结构的探究
两角差的余弦公式的推导是本节的重点，也是难点，尤其是要引导学生通过主动参与，独立探索，自己得 出结果更是难点．教科书采用“夹叙夹议”的方式，运用单位
圆上的三角函数线探索两角差的余弦公式的 结构，引导学生在感受教科书的探索过程中，对公式的结构特征进行直观感知．这种做法的技巧性较强，以学生的 实际情况来看，
听老师引导讲授或阅读课本来弄清楚探索过程也是要费一番工夫的，以此作为公式结构的 探究势必冲谈主题．这节课我采用引导学生由特殊角的三角函数值来探究两角差的余

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弦公式结构，使他们对公式有一个基本了解，并引起进一步证明这个公式的欲 望．同时，让学生学会用特殊值验证是数学研究的一种方法．但是课本上这种方法对于学生的逻
辑推理能 力的锻炼是有益的，因此将它安排为学生的课后作业．
三、公式的证明
这一过程主要是 要让学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量的工具作用及应用价值．推导过程 不要求一步到位，先抓住主要问题进
行探索，这一过程鼓励学生独立探索和讨论交流，然后再引导学生反 思，完善——这也是处理一般探索性问题应遵循的原则．在学生思维的困惑处，采用计算机辅助教学，利
用课件展现问题的本质，帮助学生弄清问题的真相．
用向量的方法证明两角差的余弦公式使得公式的 得出成为一个纯粹的代数运算过程，大大降低了思考难度，但同时也失去了一次对学生进行思维训练的机会，本想 若学
生中有用非向量的方法证明的，可在课堂中展示不同证明方法，让学生既体会向量法证明的简捷性， 又培养了学生思维的灵活性和发散性．但课堂上并没有同学用“非向量”
方法证明，因此将用“非向量” 方法证明公式作为课后思考问题向学生提出，这样做，既让学生体会向量法证明的简捷性，又培养了学生思维的灵 活性和发散性．
（四）公式的应用
将这节课开始时的两个疑问作为例题，使学生理解公 式的简单应用，通过解决问题体会两角和与差的余弦公式的应用价值，同时也使得整堂课首尾呼应、浑然一体．
【评析】
《两角和与差的余弦公式》是人教社A版普通高中课程标准实验教科书《数学》（ 必修4）第三章《三角恒等变换》第一节（课本P.124——P.128）．本课时教学内容
是提高学 生的逻辑推理能力、分析解决问题的能力以及运算能力的良好素材．黎宁老师所授这节课的教学对象高一（1）班 是北京市陈经纶中学的直升班，该班学生数学知识
基础相对较好，有一定的探究能力和钻研精神．
下面从三个方面对这节课进行评价：
一、教学特色
1．恰当选择教学方式
先进的教育观念要通过先进的教学方式体现出来．因此，教学改革不仅要改变教育观念，还要改革教学方 式，而教育观念、教学方式的转变最终都要落实到学生学习方
式的转变上．
黎宁老师的这 一节课，通过让学生“计算三组特殊角的差的余弦值”为切入点，促使学生自然地提出一般猜想，然后引导学生运 用向量这一工具，进行严格的推导，证
明了这一猜想——两角差的余弦公式，再引导学生通过换元的思想 获得了两角和的余弦公式，然后通过简单应用促使双基的落实，最后放手让学生谈体会、谈收获，较好地体
现了学生尝试发现方式、自主探索方式在课堂教学中的实践．它既是对学习主体的充分尊重，又是使学生获得亲 历知识生长发展的体验，培养学生自我参与意识和探索发现能
力、开发学生潜能的有效方式．
新课程为学生自主学习提供了丰富的研究材料和广阔的思维空间．我们应当把给学生问题、给学生思路、给学生 结论的教学方式，转变为引导学生自己发现问题、自己
提出问题、自己解决问题、自己得出结论的教学方 式，使知识的发生、发展过程象历史在戏剧中的重演，使学生真正亲历知识的形成过程．事实上，尽管获得结果特 别是获得
准确的结果是重要的，但从某种意义上说，让学生经历和体验这种研究和解决问题的过程要比获 得结果更重要．这是因为，这种问题解决的“过程”，不仅是结果的动态延伸，
而且更是开启智慧、发展 智力、培养潜能、提高素质的源泉．
2．准确把握教学重点

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课堂教学既要注意落实双基，又要注意突出重点．能否准确把握教学重点，体现了教师专业水 平的高低．黎宁老师这一节课，通过作单位圆和角、向量的
坐标的确定、数量积的运算、两角，的差的范 围与向量夹角之间的关系的分析、两角差的余弦公式的推导与确认、公式的简单应用，
等等，所有这些， 无不体现了这节课对落实双基的重视．而整堂课施于浓墨重彩的只是两角差的余弦公式的的探究过程，这是突出教 学重点的体现，同时也着力体现了“试验
——归纳——猜想——证明”的基本思想．从学生参与问题的回 答、参与公式的推导、参与习题的求解的积极态度和准确程度等情况看，这一节课学生对重点知识的领悟是深刻的．
3．适度运用信息技术
将信息技术与课堂教学恰当整合，对课堂教学质量的 提高将会起到十分积极地作用．黎宁老师这一节课选择了计算机辅助教学手段，利用PowerPoint制作了 幻灯片．通
过几何画板课件的演示，较好地揭示了与向量夹角之间的关系，既直观，又生动，增大了课堂 容量，提高了课堂效率，使信息技术真正起到了辅助教学的作用．
新课程对信息技术有着一定的要求 ，怎样将信息技术与课堂教学恰当整合，是每一个教师应当认真关注并应恰当处理好的一个问题．该用则用，不该 用则不用．恰到好
处地使用，有助于课堂教学质量与学生学习质量的提高，而盲目滥用的做法常会适得其 反．事实上，信息技术只是辅助教学的手段，其目的在于帮助学生更好地发现问题、探
究问题，帮助学生 更好地理解和掌握知识，并运用知识解决问题．从这个意义上讲，一方面，我们应当切忌那种“过多的使人眼花缭 乱的动画演示”甚至“声光电并用”的做
法，以避免“展示教师幻灯片制作技术”之嫌；另一方面，应当 明了，在黑板上即时完成必要的演算推证过程，比课堂展示事先做好演算推证过程的幻灯片的那种黑板搬家式的做法要好得多．
4．善于提炼数学思想
数学思想方法是数学知识的精髓，是知 识转化为能力的桥梁．因此，在数学课堂教学中，应当有意识地、善于提炼和运用数学思想和方法，并通过数学思 想方法的提炼
和运用，培养和发展学生的理性思维能力．
在这节课上，黎宁老师通过引导学 生参与探索活动，较好地帮助学生提炼和应用了数学知识本身所隐含的数学思想方法．通过让学生计算三组特殊角 的差的余弦值，然
后提出一般猜想，体现了特殊于一般的思想；通过几何画板课件的演示来揭示
体现了辩证思想、化归与转化的思想．
与向量夹角之间的关系，体现了数形结合的思想；通过例题中 公式的正、逆使用，
5．发掘数学文化功能
数学作为文化的一部分，其最基本的特征之一是 ，它表达了一种勇于探索的精神．这种探索精神，将不断促进人类的思想解放，使人成为更完全、更丰富、更有力 量的
人．为此，中学数学教学必须充分发掘数学的文化教育功能．
黎宁老师的这一节课，通 过引导学生由“计算三组特殊角的差的余弦值——发现公式的结构特征——猜想公式的一般形式——探索公式的证 明思路——完成公式的一般
推证——课后思考用费向量方法证明公式”整体设计，努力促使教学、学习、 研究三者同步协调和谐发展．这一过程对于初学“两角的差的余弦”的学生所形成的困难，可以
帮助学生 体会追求真理的艰辛，以此培养学生的探索精神，逐步形成良好的个性品质，而这正是数学文化价值的真谛．
二、课例价值
黎宁老师这节课较好地体现了新课标的理念，注意了知识的产生、形成和发展 的过程的揭示，其价值在于为我们提供了可供操作的探究式、发现式教学方式和学习方式
在课堂教学中的 实践范例．
新课标一个鲜明的特点是培养学生的自主学习能力，发展学生的思维，因此在课堂教学中 ，教师要有意识地努力营造民主、开放的教学氛围，真正让学生积极主动地参
与教学的全过程，在探究式 、发现式学习方式下，自行习得知识，逐步提高学生的理性思维水平．

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三、存在问题
从辩证的角度看问题，黎宁老师这节课还存在某些不足，一是作为 引入新课的内容之一，未能真正起到承前启后的作用，正象黎宁老师
自己所说的“相去甚远”．学生以前 提出的问题很多，并非学生提出的问题引入新课一定好．怎样选择恰当地选择学生提出的问题作为新课的“引子” ，需要教师认真推敲．二
是黎老师所教的这个班是市级示范高中高一年级的直升班，学生学习程度相对较 好，在探究出公式后应当有足够的练习，但这节课基础练习题显得少些．