日记400字初中-一本录取时间

3.2 简单的三角恒等变换
学 习 目 标

1.能用二倍角公式 推导出半角公式，体会三角恒等
变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重
点)
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角
恒等变换的基本思想方法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的
化简、求值以及证明，进而进行简单的应用．(难
点、易混点)
核 心 素 养
1.通过进行三角函数式的化简、求值，
培养数学运算和数据分析的核心素
养.
2.通过三角恒等式的证明，提升逻辑
推理的核心素养.
3.通过三角函数的实际应用，培养数
学建模的核心素养.


1．半角公式
- 1 -

2.辅助角公式
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝
a
2
＋
b
2
sin(
x
＋
θ
)( 其中tan
θ
＝
b
a
)．
1．已知180°＜
α
＜360°，则cos
α
2
的值等于( )
A．－
1－cos
α
2
B．
1－cos
α
2
C．－
1＋cos
α
1＋cos
α
2
D．
2
C [∵180°＜
α
＜360°，∴90°＜
α
2
＜180°，
∴cos
α
2
＜0，故应选C.]
- 2 -

2．2sin
θ
＋2cos
θ
＝( )
A．sin

< br>π

θ
＋
4



B．22si n


3π

θ
＋
4




C．22sin


π

θ
＋4



D．2sin



θ< br>＋
π
4




C [原式＝22


sin
θ
×
22

2
＋cos
θ
×

2



＝22


ππ

sin
θ
cos
4
＋cos
θ
sin
4


π

＝22sin



θ
＋
4



.]
3．函数
f
(
x
)＝2sin
x
＋cos
x
的最大值为 ．
5 [
f
(
x
)＝2
2
＋1
2
sin(
x
＋
θ
)＝5sin(
x
＋
θ
)≤5.]
4．已知2π＜
θ
＜4π，且sin
θ
＝－
3
5
，cos
θ
＜0，则tan
θ
2
的值等于 ．
－3 [由sin
θ
＝－
34
5
，cos
θ
＜0得cos
θ
＝－
5
，
θθθ
∴ tan
θ
sin
2
2sin
2
cos
2
s in
2
＝
cos
θ
＝＝
θ
2
θ
1＋cos
θ

2
2cos
2
－
3
＝
5
＝－3.] 1＋


4

－
5


< br>

- 3 -

化简求值问题

【例1】 (1)设5π＜
θ
＜6π，cos＝
a
，则sin等于( )
24
A．
1＋
a

2
1＋
a

2
B．
1－
a

2
1－
a
2
θθ
C．－D．－
3π
(2)已知π<
α
<，化简：
2
1＋sin
α
1＋cos
α
－1－cos
α
＋.
1＋cos
α
＋1－cos
α
1－sin
α
思路点拨：(1)先确定的范围，再由sin＝
44
(2)1＋cos < br>α
＝2cos
2
θ
2
θ
1－cos
2
θ
2
得算式求值．
α
2
，1－cos
α
＝2 sin
∈

2
α
，去根号，确定的范围，化简．
22
2

α
(1)D [∵5π＜
θ
＜6π，∴
又cos＝
a
，
2
1－ cos
2
θ

5π
θ

5π3π

，3π

，
2

2

，
4
∈< br>
4


.
θ
θ
2
＝－
1－
a
.]
2
22
∴sin＝－
4
θ

sin
α
＋cos
α

sin
α
－cos
α


22
22


(2)[解] 原式＝＋.
α
< br>α

α

α

2

cos

－2

sin

2

cos

＋2

sin

2

2

2
2

- 4 -

3ππ
α
3π
αα
∵π＜
α
＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，
2 22422

sin
α
＋cos
α


22

∴原式＝＋
αα

－2

sin＋co s

22

ααα
2

sin
α
－cos
α


22


αα

2

sin－cos

22

2
sin ＋cossin－cos
2222
α
＝－＋＝－2cos.
2
22
α

1．化简问题中的“三变”
(1)变角：三角 变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间
的差异，合理选择联系它们的公 式．
(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开
方等．
2．利用半角公式求值的思路
(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．
(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
α
sin
α
1－cos
α
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半角
21＋cos
α
sin
α
公式的正、余弦值时，常利用sin
(4)下结论：结合(2)求值．
提醒：已知cos
α
的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
2
2
α
1－cos
α
2
＝
2
，cos
2
α
1＋cos
α
2
＝
2
计算．
α
- 5 -

1．已知sin
α
＝－
4
5
，π＜
α
＜
3π
ααα
2
，求sin
2
，cos
2
，tan
2
的值．
[解] ∵π＜
α
＜
3π4
2
，sin
α
＝－
5
，
∴cos
α
＝－
3
5
，且
π
2
＜
α
3π
2
＜
4< br>，
∴sin
α
1－cos
α
2
＝
2
＝
25
5
，
cos
α
1＋cos
α
2
＝－
2
＝－
5
5
，
α
tan
α
sin
2
2
＝＝－2.
c os
α
2
(另tan
α
1－
1＋
3
52
＝
cos
α
sin
α
＝＝－2.)
－
4
5
- 6 -

三角恒等式的证明


【例2】 求证：
1
＝sin 2
α
.
1
α
4
－tan
α
2
t an
2
cos
α
2
思路点拨：法一：切化弦用二倍角公式由左到右证 明；
法二：cos
α
不变，直接用二倍角正切公式变形．
[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝
cos
α
cos
2
2< br>sin
2
－
αα
sincos
22
2
cos
α
sincos
22
cos
α
＝＝
2
α
2
α
2
α
2
α
cos－sincos－sin2222
2
2
αα

αα
sincos
22< br>2
αα
α
cos
α
sincos
22
αα< br>＝＝sincoscos
α

cos
α
22
11
＝sin
α
cos
α
＝sin 2
α
＝右边，
24
∴原式成立．
法二：用正切公式．
α
- 7 -

cos
α< br>tan2tan
2
1
2
2
111
2
左边＝＝ cos
α
·＝cos
α
·tan
α
＝cos
α
sin
α
＝sin 2
α
2224
2
α
2
α
1－tan1－tan
22
＝右边，
∴原式成立．
2
αα

三角恒等式证明的常用方法
(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
(3)拼凑法：针对题设和结论之间的 差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简
言之，即化异求同；
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”；
(5)分析法：从被证明 的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显
的事实为止，就可以断定原等式成立．

- 8 -

2．求证：
2sin
x
cos
x
1＋cos
x
＝.
（sin
x
＋cos
x
－1）（sin
x
－cos
x
＋1）sin
x
[证明] 左边＝
2sin
x
cos
x

2sin
x
cos
x－2sin
2
x

2sin
x
cos
x＋2sin
2
x


222

222



＝
sin
x
＝
xxx
x
222

2

4sin

cos－sin

2sin
22

2
2

cos
2sin
x
cos
x
x
2
＝＝
sin
2
x
1＋cos
x
＝右边．
xx
sin
x
2sincos
22
＝
2cos
2
x
2
所以原等式成立.
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合

- 9 -

1

π

π

【例3】 已知函 数
f
(
x
)＝cos

＋
x

c os

－
x

－sin
x
cos
x
＋.
4

3

3

(1) 求函数
f
(
x
)的最小正周期和最大值；
(2)求函数
f
(
x
)的单调递增区间．
思路点拨：三角 函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一
个角的一个三角函数，然后利用正 弦函数(或余弦函数)的性质得出结论．
[解] (1)∵
f
(
x
)＝cos


π

3
＋
x



cos


π

3
－
x


11

－
2
sin 2
x
＋
4

＝


13
13

11

2
cos
x
－
2
sin
x




2
cos
x
＋
2
sin
x


－
2
sin 2
x
＋
4

＝
1
4
cos
2x
－
3
4
sin
2
x
－
1
2
sin 2
x
＋
1
4

＝
1＋cos 2
x
3－3cos 2
x
1
8
－
8
－
2
sin 2
x
＋
1
4

＝
1
2
(cos 2
x
－sin 2
x
)＝
2
2
cos
< br>

2
x
＋
π
4


< br>.
∴函数
f
(
x
)的最小正周期为
T
＝π ，函数
f
(
x
)的最大值为
2
2
.
(2 )由2
k
π－π≤2
x
＋
π
4
≤2
kπ，
k
∈Z，
得
k
π－
5
8
π≤< br>x
≤
k
π－
π
8
，
k
∈Z. 函数
f
(
x
)的单调递增区间为


5ππ< br>
k
π－
8
，
k
π－
8



，
k
∈Z.

应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简
- 10 -

↓
统一化成
f
(
x
)＝
a
sin
ωx
＋
b
cos
ωx
＋
k
的形式
↓
利用辅助角公式化为
f
（
x
）＝
A
s in（
ωx
＋
φ
）

＋
k
的形式，研究其性质

3．已知函数
f
(
x
)＝23cos
x
＋sin 2
x
－3＋1(
x
∈
R
)．
(1)求
f
(
x
)的最小正周期；
(2)求
f
(
x
)的单调递增区间；
2

ππ

(3)若
x
∈

－，

，求f
(
x
)的值域．

44

π

2
[解]
f
(
x
)＝sin 2
x
＋3(2cos
x
－1)＋1＝sin 2
x
＋3cos 2
x
＋1＝2sin

2
x
＋

＋1.
3

2π
(1)函数
f
(
x
)的最小正 周期为
T
＝＝π.
2
πππ
(2)由2
k
π－≤ 2
x
＋≤2
k
π＋(
k
∈Z)，
232
5ππ
得2
k
π－≤2
x
≤2
k
π＋(
k
∈Z)，
66
5ππ
∴
k
π－≤
x
≤< br>k
π＋(
k
∈Z)．
1212
5ππ

∴函数
f
(
x
)的单调递增区间为

k
π－，k
π＋

(
k
∈Z)．
1212


ππ

(3)∵
x
∈

－，

，

44

- 11 -

π
π5π

∴2
x
＋∈

－，

， < br>6

3

6
π

1

∴sin

2
x
＋

∈

－，1

.
3

2

∴
f
(
x< br>)∈[0，3].
三角函数在实际问题中的应用

[探究问题]
1．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？
提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影
响．
2．建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？
提示：化成
y
＝
A
sin(
ωx
＋
φ
)＋
b
的形式．
【例4】 如图所示，要把半径为
R
的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△
OAB
的周长最大？

- 12 -

思路点拨 ：设∠
AOB
＝
α
→建立周长
l
（
α
）→ 求
l
的最大值
[解] 设∠
AOB
＝
α
，△OAB
的周长为
l
，则
AB
＝
R
sin
α
，
OB
＝
R
cos
α
，
∴
l
＝
OA
＋
AB
＋
OB

＝
R
＋
R
sin
α
＋
R
cos
α

＝
R
(sin
α
＋cos
α
)＋
R

＝2
R
sin

< br>
α
＋
π
4



＋
R< br>.
∵0<
α
<
πππ3π
2
，∴
4
<
α
＋
4
<
4
，
∴
l
的最大 值为2
R
＋
R
＝(2＋1)
R
，此时，
即当
α
＝
π
4
时，△
OAB
的周长最大．

＋
π
4
＝
π
2
，即
α
＝
π4
，

- 13 -
α

1．在本例条件下，求长方形面积的最大值．

π

[解] 如图所示，设∠
AOB
＝
α< br>
α
∈

0，

，则
AB
＝R
sin
α
，
OA
＝
R
cos
α
.
2


设矩形
ABCD
的面 积为
S
，则
S
＝2
OA
·
AB
，
∴
S
＝2
R
cos
α
·
R
sin
α
＝
R
·2sin
α
cos
α
＝
R
sin 2
α
. 22

π

∵
α
∈

0，

，∴2
α
∈(0，π)．
2

π
因此，当2
α
＝，
2
π
2
即
α
＝时，
S
max
＝
R
.
4
这时点
A
，
D
到点
O
的距离为
22
R
，
2
矩形
ABCD
的面积最大值为
R
.
π
2．若本例中的木料改为圆心角为的扇形，并将此木料截成矩形，(如图所示)，试求此
3
矩形 面积的最大值．
- 14 -

[解] 如图，作∠
P OQ
的平分线分别交
EF
，
GH
于点
M
，N，连接
OE
，

设∠
MOE
＝
α
，
α
∈



0，
π
6



，在Rt△
MOE
中，
ME
＝
R
sin
α
，
OM
＝
R
cos
α
，
< br>在Rt△
ONH
中，
N
H
π
O
N
＝ tan
6
，
得
ON
＝3N
H
＝3
R
sin
α
，
则
MN
＝
OM
－
ON
＝< br>R
(cos
α
－3sin
α
)，
设矩形
EFGH
的面积为
S
，
则
S
＝2
ME
·
MN
＝2
R
2
sin
α
(cos
α
－3sin
α
)
＝
R
2
(sin 2
α
＋3cos 2
α
－3)＝2
R
2
sin


π

2
α
＋
3


2

－3
R
，
- 15 -

ππ2π

π

由
α
∈

0，

，则＜2
α
＋ ＜，
6

333

ππ
所以当2
α
＋＝， < br>32
π
2
即
α
＝时，
S
max
＝( 2－3)
R
.
12

应用三角函数解实际问题的方法及注意事项
(1)方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转
化为 三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．
(2)注意：在求解过程中，要注意三点：①充分借 助平面几何性质，寻找数量关系．②注
意实际问题中变量的范围．③重视三角函数有界性的影响．
提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误．


- 16 -

1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法 的理解，要学会
借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式 ．
2．研究形如
f
(
x
)＝
a
sin
x
＋
b
cos
x
的函数性质，都要运用辅助角公式化为一 个整体角
的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，< br>也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数
a
，
b
应熟练掌握，

π

例如sin
x
±cos
x
＝2sin

x
±

；
4


π

sin
x
±3cos
x
＝2sin

x
±

等．
3

3．常用的三角恒等变换思想方法
(1)常值代换
用某些 三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相
关公式，化简得以顺利进 行．我们把这种代换称为常值代换．
(2)切化弦
当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tan
α
＝
sin
α
，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想 方法，切化弦的好处在于减少
cos
α
了三角函数名称．
(3)降幂与升幂
11
22
由
C
2
α
变 形后得到公式：sin
α
＝(1－cos 2
α
)，cos
α
＝(1＋cos 2
α
)，运用它就是< br>22
降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2
α
＝2cos
α
，1－cos 2
α
＝2sin
α
，
就是升幂．
(4)角的变换
角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见
1
的角 的变换有：
α
＝(
α
＋
β
)－
β
，
α
＝
β
－(
β
－
α
)，
α
＝[ (
α
＋
β
)＋(
α
－
β
)]，
α
＝
2
1
[(
α
＋
β
)－(
β－
α
)]，
α
＋
β
＝(2
α
＋
β
)－
α
等.
2
22
- 17 -

1．下列叙述错误的是( )
α
sin
α
1－cos
α
A．若
α
≠
k
π，k
∈Z，则tan＝＝恒成立．
21＋cos
α
sin
α
B．若函数
f
(
x
)＝
A
1
sin(ωx
＋
φ
1
)，
g
(
x
)＝
A
2
sin(
ωx
＋
φ
2
)(其中
A1
＞0，
A
2
＞0，
ω
＞0)，
则
h
(
x
)＝
f
(
x
)＋
g
(
x
)的周期与
f
(
x
)和
g
(
x
)的一致．
C．辅助角公式
a
sin
x
＋
b
cos
x
＝
a
＋
bsin(
x
＋
φ
)，其中
φ
所在的象限由
a< br>，
b
的符
号决定，
φ
与点(
a
，
b
)同象限．
22

π

D．sin
x
＋3cos
x
＝2sin

x
＋

.
6


π

D [A、B、C均正确，D应该是sin
x
＋3cos
x
＝2sin

x
＋

.]
3

2．(2018·全国卷Ⅱ)若
f
(
x
)＝cos
x
－sin
x
在[0，
a
]是减函数，则
a
的最大值是( )
π
A．
4
3π
C．
4
π
B．
2
D．π
ππππ
C [
f
(
x
)＝cos
x
－sin
x
＝ 2cos(
x
＋)．当
x
∈[0，
a
]时，
x＋∈[，
a
＋]，所
4444
π3π3π
以结合题意可知，a
＋≤π，即
a
≤，故所求
a
的最大值是.故选C.]
444
3．函数
f
(
x
)＝sin
x
的最小正周 期为 ．
1－cos 2
x
2
π [因为
f
(
x
)＝sin
x
＝，
2
所以
f
(
x
)的最小正周期
T
＝
2π
＝π.]
2
2
4.北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计 的．弦
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图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大 正方形(如图所示)．如果小正方形的
面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为< br>θ
，求cos 2
θ
.

[解] 由题意，得5cos
θ
－5sin
θ
＝1，
θ
∈


π

0，
4



，
所以cos
θ
－sin
θ
＝
1
5
.
由(cos
θ
＋sin
θ
)
2
＋(cos
θ
－sin
θ
)
2
＝2，
所以cos
θ
＋sin
θ
＝
7
5
，
所以cos 2
θ
＝cos
2
θ
－sin
2
θ

＝(cos
θ
＋sin
θ
)(cos
θ
－sin
θ
)＝
7
25
.




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