立冬古诗-社会实践内容

最新北师大版八年级数学上册知识点总结
第一章 勾股定理
222
1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；即
abc
。
2．勾股定理的证明：用三个正方形的面积关系进行证明（两种方法）。
222
3． 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长
a
，
b
，
c
满足abc
，那么这个三角形是直角
222
三角形。满足
abc的三个正整数称为勾股数。
第二章 实数
1．平方根和算术平方根的概念及其性质：
2
（1）概念：如果
xa
，那么
x
是
a
的平方根，记作：
a
；其中
a
叫做
a
的算术平方根。 < br>（2）性质：①当
a
≥0时，
a
≥0；当
a
＜０时，
a
无意义；②
2．立方根的概念及其性质：
3
（1）概念：若xa
，那么
x
是
a
的立方根，记作：
3
a< br>；

a
＝
a
；③
a
2
a
。 < br>2
（2）性质：①
aa
；②
aa
；③
3
a
＝

3
a

3．实数的概念及其分类：
（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；
（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分 数；按性质分为正数、负数和零。无理数就是无限
不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无 限不循环小数；其中有限小数和无限循环
小数称为分数。
4．与实数有关的概念： 在实数范 围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完
全一致；在实数范围内，有理数的运算法则 和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一
个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个 实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
aa
5．算术平方根的运算律：
a

b


（
a
≥0，
b
≥0）；

（
a
≥0，
b
＞0）。
a

b
b
b
第三章 图形的平移与旋转
1．平移：在平面内，将一个图 形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不
改变图形大小和形状，改变了图形的位 置；经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段
平行且相等，对应角相等。
2．旋 转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这点定点称 为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形大小和形状，改变了图形的位置；
经过旋转，图形点 的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同和角度；任意一对对应点与旋
转中心的连线所成的角都是 旋转角；对应点到旋转中心的距离相等。
3．作平移图与旋转图。
第四章 四边形性质的探索
1．多边形的分类：

三角形
特殊
等腰三角形、直角三角形


菱形
特殊 特殊 特殊

平行四边形 正方形
多

四边形
边
矩形

形
特殊

梯形
等腰梯形

特殊

边数多于4的多边形 正多边形

2．平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形的定义、性质、判别：
（1）平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边平行且相等；
对角相等，邻角互补；对角 线互相平分。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相
等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的 四边形是平行四边形。


- 1 -
3
3

3
3

（2）菱形：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的四条边都相等 ；对角线互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角。四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的 平行四边形是菱
形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。菱形的 面积等
于两条对角线乘积的一半（面积计算，即S
菱形
=L
1
*L
2
2）。
（3）矩形：有一个内 角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的对角线相等；四个角都是直角。对
角线相等的平行四边形是矩形 ；有一个角是直角的平行四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线
等于斜边长的一半；
在直角三角形中
3
0°所对的直角边是斜边的一半
。
（4）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。 < br>（5）等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯
形；对角线相等的梯形是等腰梯形；对角互补的梯形是等腰梯形。
（6）三角形中位线：连接三角形相连两边重点的线段。性质：平行且等于第三边的一半
3．多边形的内角和公式：（n-2）*180°；多边形的外角和都等于
360
。
4．中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转
180
，如果旋转前后的图形互 相重合，那
么这个图形叫做中心对称图形。
第五章 位置的确定
1．直角坐标系及坐标的相关知识。
2．点的坐标间的关系：如果点A、B横坐标相同，则< br>AB
∥
y
轴；如果点A、B纵坐标相同，则
AB
∥
x
轴。
3．将图形的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的
1
倍，所得到的图 形与原图形关于
y
轴对称；
将图形的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
1
倍，所得到的图形与原图形关于
x
轴对称；将图
形的横、纵坐标都变为原来的
1
倍，所得到的图形与原图形关于原点成中心对称。
第六章 一次函数
1．一次函数定义：若两个变量
x,y
间的关系可以表示成
ykxb
（< br>k,b
为常数，
k0
）的形
式，则称
y
是
x
的一次函数。当
b0
时称
y
是
x
的正比例函数 。正比例函数是特殊的一次函数。
2．作一次函数的图象：列表取点、描点、连线，标出对应的函数关系式。
3．正比例函数图 象性质：经过

0,0

；
k
＞0时，经过一、三象限；< br>k
＜0时，经过二、四象限。
4
．一次函数图象性质
：
（ 1）当
k
＞0时，
y
随
x
的增大而增大，图象呈上升趋势； 当
k
＜0时，
y
随
x
的增大而减小，
图象呈下降趋 势。

b

（2）直线
ykxb
与轴的交点为

0,b

，与
x
轴的交点为




,0


。

k

（3）在一次函数
ykxb
中：
k
＞0，
b
＞0时函数图象经过一、二、三象限；
k
＞0，
b
＜0
时函数图象经 过一、三、四象限；
k
＜0，
b
＞0时函数图象经过一、二、四象限；
k
＜0，
b
＜0
时函数图象经过二、三、四象限。
（4）在两个 一次函数中，当它们的
k
值相等时，其图象平行；当它们的
k
值不等时，其图 象相交；
当它们的
k
值乘积为
1
时，其图象垂直。
4．已经任意两点求一次函数的表达式、根据图象求一次函数表达式。
5．运用一次函数的图象解决实际问题。
第七章 二元一次方程组
1．二元一次方程及二元一次方程组的定义。
2．解方程组的基本思路是消元，消元的基本方法是：①代入消元法；②加减消元法；③图象法。
3．方程组解应用题的关键是找等量关系。
4．解应用题时，按
设、列、解、答
四步进行。
5．每个二元一次方程都 可以看成一次函数，求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象
的交点。
第八章 数据的代表
1．算术平均数与加权平均数的区别与联系：算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，（ 它特殊
在各项的权相等），当实际问题中，各项的权不相等时，计算平均数时就要采用加权平均数，当各
项的权相等时，计算平均数就要采用算术平均数。
2．中位数和众数：中位数指的是n个数据 按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间
位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。 众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。

- 2 -

应知应会的知识点
因式分解
1. 因式分解：把一个多项式化为几 个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；
注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.
2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘
法”.
3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.
注意公式：a+b=b+a； a-b=-(b-a)； (a-b)2=(b-a)2； (a-b)3=-(b-a)3.
4．因式分解的公式：
(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b）（a- b）；
(2)完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.
5．因式分解的注意事项：
（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；
（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；
（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；
（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；
（5）因式分解的最后结果要求加以整理；
（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6．因式分解的解题技巧：（1） 换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）
全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相 同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提
取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10） 拆项或补项.
7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，

p


q
有“ x2+px+q是完全平方式 

2

”.
2
分式
A
1．分式：一般 地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为
B
的形式，如果B
A
中含有 字母，式子
B
叫做分式.

整式
有理式


分式
. 2．有理式：整式与分式统称有理式；即
3．对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零，则 分式无意义，反之有意义；
（2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的 分子为
零，而分母也为零，则分式无意义.
4．分式的基本性质与应用：
（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；
（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的
值不变；
即


分子分子分子分子

分母分母分母分母

- 3 -

（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单. 5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：
分式约分前经常 需要先因式分解.
6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：
分式计算的最后结果要求化为最简分式.
acac
,
7．分式的乘除法 法则：
bdbd
n
acadad


bdbcbc
.
a
n

a



n
.（n为正整数）
b
8．分式的乘方：

b

.
9．负整指数计算法则：
1
n
（1）公式： a0=1(a≠0), a-n=
a
(a≠0)；
（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算；

a

< br>（3）公式：

b

n
nm

b

ab




a

，
b< br>m
a
n
；
n
（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.
10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来 的分式
相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.
11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.
abab
;
ccc
12．同分母与异分母的分式加减法法则：
acadbcadbc

bdbdbdbd
.
13．含有 字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字
母表示的已知 数，对x来说，字母a是x的系数，叫做字母系数，字母b是常数项，
我们称它为含有字母系数的一元一 次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c等表
示已知数，用x、y、z等表示未知数.
14．公式变形：把一个公式从一种形式变换成另一种形式，叫做公式变形；注意：公
式变形的本质就 是解含有字母系数的方程.特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母
的代数式时，一般需要先确认这个 代数式的值不为0.
15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分 母里
不含未知数的方程是整式方程.
16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母， 方程的两边同乘以了含有未知
数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程 时，方程
的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.
17．分式方程验增根 的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每
个分母），若值为零，求出的根是增根， 这时原方程无解；若值不为零，求出的根是
原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的 值可能是原方程的增根.
18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一 样，但需
要增加“验增根”的程序.
数的开方
1．平方根的定义：若x2=a,那 么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a

- 4 -

叫x的平方数，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.
2．平方根的性质：
（1）正数的平方根是一对相反数；
（2）0的平方根还是0；
（3）负数没有平方根.
3．平方根的表示方法：a的 平方根表示为
a
和
a
.注意：
a
可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.
4．算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根， 表示为
a
.注意：0的算术
平方根还是0.
5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，
a
≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是
0.
6．两个重要公式：
（1）

a

2
2
a
; (a≥0)
（2）

a(a0)
aa


a(a0)
.
7．立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：（1）a
3
叫x的立方数；（2）a的立方根表示为
a
；即把a开三次方.
8．立方根的性质：
（1）正数的立方根是一个正数；
（2）0的立方根还是0；
（3）负数的立方根是一个负数.
33
9．立方根的特性：
aa
.
10．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.
11．实数：有理数和无理数统称实数.


正有理数



有理数0

有限小数与无限循环小数



负有理数

实数



正无理数
< br>
无理数


无限不循环小数


负无理 数


12．实数的分类：（1）

正实数

实数

0

负实数

.
（2）
13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.
14．无理数的近似值：实 数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应
该用无理数表示；如果题目有近似要求，则结 果应该用无理数的近似值表示.注意：（1）

- 5 -

近似计算 时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：
21.414

52.236
.
31.732

三角形
几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
1．三角形的角平分线定义： 几何表达式举例：
A
三角形的一个角的平分线与这个角(1) ∵AD平分∠BAC
的对边相交，这个角的顶点和交点之∴∠BAD=∠CAD
间的线段叫做三角形的角平分线.(2) ∵∠BAD=∠CAD
BDC

（如图） ∴AD是角平分线
2．三角形的中线定义： 几何表达式举例：
在三角形中，连结一个顶点和它的对(1) ∵AD是三角形的中线
A
边的中点的线段叫做三角形的中线.∴ BD = CD
（如图） (2) ∵ BD = CD
∴AD是三角形的中线
DC
B


3．三角形的高线定义： 几何表达式举例：
从三角形的一个顶点向它的对边画(1) ∵AD是ΔABC的高
A
垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角∴∠ADB=90°
形的高线. (2) ∵∠ADB=90°
（如图） ∴AD是ΔABC的高
BC
D


※4．三角形的三边关系定理： 几何表达式举例：
三角形的两边之和大于第三边，三角(1) ∵AB+BC＞AC
A
形的两边之差小于第三边.（如图） ∴……………
(2) ∵ AB- BC＜AC
∴……………
BC


5．等腰三角形的定义： 几何表达式举例：
有两条边相等的三角形叫做等腰三(1) ∵ΔABC是等腰三角
A
角形. （如图） 形
∴ AB = AC
(2) ∵AB = AC
BC

∴ΔABC是等腰三角形
6．等边三角形的定义： 几何表达式举例：
A
有三条边相等的三角形叫做等边三(1)∵ΔABC是等边三角形
角形. （如图） ∴AB=BC=AC
(2) ∵AB=BC=AC
C
B
∴ΔABC是等边三角形

7．三角形的内角和定理及推论： 几何表达式举例：
（1）三角形的内角和180°；（如图） (1) ∵∠A+∠B+∠C=180°
（2）直角三角形的两个锐角互余；（如图） ∴…………………
（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角(2) ∵∠C=90°
的和；（如图） ∴∠A+∠B=90°

- 6 -

※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻
的内角.

A
A
A


C
（1
B
）
C
（2）
B

B
（3）（
D
C
4）
8．直角三角形的定义：
有一个角是直角的三角形叫直角
A
三角形.（如图）
C
B
(3) ∵∠ACD=∠A+∠B
∴…………………
(4) ∵∠ACD ＞∠A
∴…………………

9．等腰直角三角形的定义：
两条直角边相等的直角三角形叫
等腰直角三角形.（如图）
A
C
B

10．全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等；（如图）
（2）全等三角形的对应角相等.（如图）

A

E
B
C
F
G
11．全等三角形的判定：
“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. （如图）

A
E

（1）（2）
CG
B
F

AE


（3）
C
B
G
F
12．角平分线的性质定理及逆定
理：
（1）在角平分线上的点到角的两
边距离相等；（如图）
（2）到角的两边距离相等的点在
角平分线上.（如图）

- 7 -
几何表达式举例：
(1) ∵∠C=90°
∴ΔABC是直角三角形
(2) ∵ΔABC是直角三角形
∴∠C=90°

几何表达式举例：
(1) ∵∠C=90° CA=CB
∴ΔABC是等腰直角三角形
(2) ∵ΔABC是等腰直角三
角形
∴∠C=90° CA=CB

几何表达式举例：
(1) ∵ΔABC≌ΔEFG
∴ AB = EF ………
(2) ∵ΔABC≌ΔEFG
∴∠A=∠E ………


几何表达式举例：
(1) ∵ AB = EF
∵ ∠B=∠F
又∵ BC = FG
∴ΔABC≌ΔEFG
(2) ………………
(3)在RtΔABC和RtΔEFG
中
∵ AB=EF
又∵ AC = EG
∴RtΔABC≌RtΔEFG


几何表达式举例：
(1)∵OC平分∠AOB
又∵CD⊥OA CE⊥OB
∴ CD = CE
(2) ∵CD⊥OA CE⊥OB
又∵CD = CE

A
D
C
∴OC是角平分线

O
E
B

13．线段垂直平分线的定义： 几何表达式举例：
垂直于一条线段且平分这条线段(1) ∵EF垂直平分AB
E
的直线，叫做这条线段的垂直平分∴EF⊥AB OA=OB
线.（如图） (2) ∵EF⊥AB OA=OB
OB
A
∴EF是AB的垂直平分线
F


14．线段垂直平分线的性质定理及 几何表达式举例：
逆定理： (1) ∵MN是线段AB的垂直
M
P
（1）线段垂直平分线上的点和这平分线
条线段的两个端点的距离相等；∴ PA = PB
（如图） (2) ∵PA = PB
B
A
C
（2）和一条线段的两个端点的距∴点P在线段AB的垂直平分
N

离相等的点，在这条线段的垂直平线上
分线上.（如图）
15．等腰三角形的性质定理及推论： 几何表达式举例：
（1）等腰三角形的两个底角相等；（即等边对等角）（如(1) ∵AB = AC
图） ∴∠B=∠C
（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的(2) ∵AB = AC
高”三线合一；（如图） 又∵∠BAD=∠CAD
（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图） ∴BD = CD
AD⊥BC
………………
A
A
A
(3) ∵ΔABC是等边三角
形
∴∠A=∠B=∠C =60°
C
C
B
BC
BD
（1） （2） （3）

16．等腰三角形的判定定理及推论： 几何表达式举例：
（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所(1) ∵∠B=∠C
对边也相等；（即等角对等边）（如图） ∴ AB = AC
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（如图） (2) ∵∠A=∠B=∠C
（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；（如∴ΔABC是等边三角形
图） (3) ∵∠A=60°
（4）在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它又∵AB = AC
所对的直角边是斜边的一半.（如图） ∴ΔABC是等边三角形
(4) ∵∠C=90°∠
A
A
A
B=30°
C
BC
（1）
B
（2）（3）
C
B
（4）
1
∴AC =
2
AB


- 8 -

17．关于轴对称的定理
（1）关于某条直线对称的两个图
形是全等形；（如图）
（2）如果两个图形关于某 条直线
对称，那么对称轴是对应点连线
的垂直平分线.（如图）
B
18．勾股定理及逆定理：
（1）直角三角形的两直角边a、
b的平方和 等于斜边c的平方，
即a2+b2=c2；（如图）
（2）如果三角形的三边长有下面
关系: a2+b2=c2，那么这个三角形
是直角三角形.（如图）
19．RtΔ斜边中线定理及逆定理：
（1）直角三角形中，斜边上的中
线是斜边的一半；（如图）
（2）如果三角形一边 上的中线是
这边的一半，那么这个三角形是
直角三角形.（如图）

A
M
A
O
C
F
G
N
E
几何表 达式举例：
(1) ∵ΔABC、ΔEGF关
于MN轴对称
∴ΔABC≌ΔEGF
(2) ∵ΔABC、ΔEGF关
于MN轴对称
∴OA=OE MN⊥AE
几何表达式举例：
(1) ∵ΔABC是直角三角
形
∴a2+b2=c2
(2) ∵a2+b2=c2
∴ΔABC是直角三角形
几何表达式举例：
∵ΔABC是直角三角形
∵D是AB的中点
C
B



A
D
1
∴CD =
2
AB
B
C

(2) ∵CD=AD=BD
∴ΔABC是直角三角形

几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）
一 基本概念：
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角
平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线
的集合定义、轴对 称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二 常识：
1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.
2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分 别交于一点，其中
前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：
三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即 ：若CD⊥AB，BE⊥CA，则
CD·AB=BE·CA.
4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.
A
5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.
D
E
6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

C
B
A
7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：
D
（1） AC·CB=CD·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .
1
8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.
2
B
C
9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对
的边是对应边.
10．等边三角形是特殊的等腰三角形.

- 9 -

11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.
12．符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.
13．几何习题经常用四种方 法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代
入分析法；（4）图形观察法.
14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已
知角的平 分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知
点作已知直线的平行线 .
15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形 ”、“等边
三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16．作图题在分析过程中，首先要画出 草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什
么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.
17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.
※18．几何重要图形和辅助线：
（1）选取和作辅助线的原则：
① 构造特殊图形，使可用的定理增加；
② 一举多得；
③ 聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；
④ 作辅助线必须符合几何基本作图.

（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）
① 在BA上截取BE=BC构造全等， ② 过D点作DE∥BC交AB于E，构造
转移线段和角； 等腰三角形 .
AA

E
E

DD

CC
BB

（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）
① 过D点作DE∥AC交 ② 延长AD到E，使 ③ ∵AD是中线
AB于E，构造中位线 ； DE=AD ∴SΔABD= SΔADC
连结CE构造全等，转移线（等底等高的三角形
A
段和角；
A
等面积）
A
E


B
C
B
C
D
D
B
C
D


E


(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC
① 作等腰三角形ABC底边的中线 ② 作等腰三角形ABC一边的平行线DE，
AD 构造
（顶角的平分线或底边的高）构造全 新的等腰三角形.
A
A
等三角形；
A

E

E
D

BD
C
B
D
C
B
C

- 10 -

（5）其它
作等边三角形ABC ② 作CE∥AB，转移角； ③ 延长BD与AC交于
一边 的平行线DE，构 E，不规则图形转化为规
A
造新的等边三角形； 则图形；
E

A
A

E
B
D
E
C

D

C
C
B
D
B
④ 多边形转化为三角 ⑤ 延长BC到D，使 ⑥ 若a∥b,AC,BC是角平
形； CD=BC，连结AD，直角分线,则∠C=90°.
三角形转化为等腰三角
E
Aa
A
A
形；
D

C
O
b

B
C
B

D
B
C

勾股实数专题
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）
A：26 B：18 C：20 D：2
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（ ）
A：5 B：
10
C：
52
D：
5

5、下列定理中,没有逆定理的是（ ）
A：两直线平行，内错角相等 B：直角三角形两锐角互余
C：对顶角相等 D：同位角相等，两直线平行
6、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB ＝8，BC＝15，CA＝17，则下列结
论不正确的是（ ）
A：△ABC是直角三角形，且AC为斜边 B：△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C：△ABC的面积是60 D：△ABC是直角三角形，且∠A＝60°
7、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A：
43
B：
3
C：
23
D：3
9、如图一艘轮船以16海里∕小时的速度从 港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里
∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后 ，则两船相距（ ）
A：36 海里 B：48 海里 C：60海里 D：84海里
10、若
ABC
中，
AB13 cm,AC15cm
，高AD=12,则BC的长为（ ）
A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对
二、填空题（每小题4分，共40分）
12、如图所示，以
RtABC
的三边向 外作正方形，其面积分别
为
S< br>1
,S
2
,S
3
,且
S
1
4,S
2
8,则S
3

；
14、如图，
CABD90,AC4,BC3,BD12
,则AD= ；
C

A

- 11 -
B
D

16、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高
为 ；
19、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地
面，此时，顶部距底部有 m；
20、一艘小船早晨8：00出发，它以 8海里时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以
12海里时的速度向南航行，上午10：00，两小 相距 海里。
三、解答题（每小题10分，共70分）
21、如图 ，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，
若每天凿 隧道0.3公里，问几天才能把隧道AB凿通？

22、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。


23、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE= 100m,•则这条
小路的面积是多少?
F
D
A

D


AC

BC
E


B
24、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9。
(1)求DC的长。
(2)求AB的长。
25、如图9，在海上观察所A,我 边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向
8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往 C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40kmh，则我边防
海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可 疑船只截住？
C

B 8km C

6km

A D B

A

26、如图，小明在广场上先向东走10米， 又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，
出发点
10
再向东走70米.求小明到达的终止点与原出发点的距离.

40

20
D
A

40

E
终止点
70


B
F
C

27、如图，小红用 一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为
10cm．当小红折叠时 ，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？
•

3
例1 已知一个立方体盒子的容积为216cm,问做这样的一个正方体盒子（无盖）需要多 少平方
厘米的纸板？

- 12 -

例2 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，求这个数。
例3 下列说法中：①无限小数是无理数；②无 理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理
数；④实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4
例4 （1） 已知
x2(y 4)
2
xy2z0,求(xz)
y
的平方根。

2
2的整数部分为a，小数部分为b，求-16ab-8b的立方根。
（2）设

x,y,m适合于关系式3x5y3m2x3ym
（3）若
xy20042004xy,试求m4的算术平方根。

a3
（4）设 a、b是两个不相等的有理数，试判断实数
b3
是有理数还是无理数，并说明理由。


例5 （1）已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。


（2）已知m，n是有理数，且
(52)m(325)n70
，求m，n的值。


2
a1b4b40
，求c的取值范围。 （3）△ABC的三边长为a、b、c，a和b满足


2a
x(
4a
（4）已知


a33a
3a
)
1993
，求x的个位数字。
实数训练题
：
一、填空题
2
(9)
1、的算术平方根是 。
2、已知一块长方形的地长与宽的比为3：2，面积为3174平方米，则这块地的长为 米。
2
3
a1(b1)0,则ab
。 3、已知
1x
2
x
2
14
y,则(
3
2)
xy
x1
4、已知= 。
5、设等式

a(xa)a(ya)xaay
在实数范围内成 立，其中a、x、y是两
- 13 -

3x
2
xyy< br>2
22
xxyy
两不相等的实数，则的值是 。
6、已知a、b为正数，则下列命题成立的：
3
ab2,则ab1;若a b3,则ab；若ab6,则ab3.
2
若
根据以上3个命题所提供的规律，若a+6=9，则
ab
。 7、已知实数a满足
1999aa2000a,则a1999
2
 。
a,b,c满足
8、已知实数
11c
a-b 2bcc
2
c0,则的算术平方根是
24ab
。
2
2x3yy22332
，则x+y= 。 9、已知x、y是有理数，且x、y满足
10、由下列等式：
3
2
2233
3
44
2
3
,
3
33
3
,4 4
3
,
7726266363
……
所揭示的规律，可得出一般的结论是 。
11、已 知实数a满足
12、设
A
aa
2

3
a
3
0,那么a1a1
。
62,B53,
则A、B中数值较小的是 。
1 3、在实数范围内解方程

xx

12y5.28,
则 x= ,y= .
5x
2
14、使式子
x2
有意义的x的取值范围是 。
0
15、若
a1,且a
11
6,则a
a
a
的值为 。
16、一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3，则a= ,x= .
17、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母 必须取全体实数；
（2）此代数式的值恒为负数。 。
二、选择题：
3
(6)
1、的平方根是( )A、-6 B、6 C、±6 D、±
6

2
2、下列命题：①（-3）的平方根是-3 ；②-8的立方根是-2；③
9
的算术平方根是3；④
平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ） A、1个 B、2个 C、
3个 D、4个
3、若

35的小数部分是a，3-5的小数部分是b,则ab的值为
（ ）
- 14 -
A、0 B、1 C、-1 D、2

ab3abab
4、已知
5a,14b,则0.063
( ) A、
10
B、
10
C、
100
D、
3ab
100

2
(x)x
成立的x 的值（ ） A、是正数 B、是负数 C、是0 D、5、使等式
不能确定
6、如果
a0,那么a
3
等于
aa
B、
aa
C、
aa
D、
aa
（ ） A、
3.1416,
1
7、下面5个数：
2个 D、3个

,

,3.14,

1
，其中是有理数的有（ ）A、0个 B、1个 C、
x
8、已知

9
0,y0,且x2 xy15y0,求
2x+xy3y
的值。
xxyy

知： 、已
x,y,z适合关系式3xyz22xyzxy20022002xy, 试求x,y,z的值。



a(
10、在实数范围内，设


4x

x1
x22x
2x
)
2006
，求a的各位数字是什么？ 222
(xy1)与5x3y3互为相反数，求xy的值。
11、已知x、y是 实数，且





图形的平移与旋转专题
一、填空题
1、在括号内填上图形从甲到乙的变换关系：


乙
乙
甲

甲
甲
乙


（ ） （ ）
（ ）
2、钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒．20秒内，秒针旋转的角度是 ；分针经过15 分

- 15 -

后,分针转过的角度是 ；分针从数字12出发,转过1500,则它指的数字是 .





图2

图1
3、如图1，当半径为30cm的转动轮转过120角时，传送带上的物体A平移的距离为
cm。
4、图2中的图案绕中心至少旋转 度后能和原来的图案相互重合。
5、图3是两张全等的图案，它们完全重合地叠放在一起，按住下面的图案不动，将上面图案
绕点O顺 时针旋转，至少旋转 度角后，两张图案能够完全重合.
6、一个正三角形绕其一个顶点按同一方向连续旋转五次,每次转过的角度为600, 旋转前后所
有的图形共同组成的图案是 .

7、图4中△
A
1
B
1
C
1
是△
ABC
平移后得到的三角 形，则△
A
1
B
1
C
1
≌△
ABC
，理由
是 。
8、△ABC和△DCE是等边三角形，则在图5中，△ACE绕着c点沿
方向旋转 度可得到△BCD.

A

A

A
1
D


C

B
1
C
1
B

B C E

图5
图4

二、选择题
1、下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（ ）.



M

A B C D

2、如图6，ΔABC和ΔA DE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠ADE都是直角，点C在AE上，Δ
ABC绕着A点经过逆时针 旋转后能够与ΔADE重合得到左图，再将左图作为“基本图形”绕着A
点经过逆时针连续旋转得到右图 .两次旋转的角度分别为（ ）.

45°，90° B、90°，45°
D
E
C、60°，30° D、30°，60°
C


A
B
3、图7,四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的,已
图6
知AD=5,∠B=700,则（ ）.
A. FG=5, ∠G=700 B. EH=5, ∠F=700
C. EF=5, ∠F=700 D. EF=5. ∠E=700
图7

4、图8是日本“三菱”汽车的标志，它可以看作是由菱形通过旋转得到的，每次旋转了（ ）.
D
E
C
A
B

- 16 -

A、60° B、90°C、120° D、150°


5、如图9,ΔABC和ΔADE均为正三角形,则图中可看作是旋转关系的三角形是（ ）.
A. ΔABC和ΔADE B. ΔABC和ΔABD
A
C. ΔABD和ΔACE D. ΔACE和ΔADE
E

D
6、下列运动是属于旋转的是（ ）.
B C
A.滾动过程中的篮球的滚动 B.钟表的钟摆的摆动

图9
C.气球升空的运动 D.一个图形沿某直线对折过程


三、解答题
1、如图,将一个矩形ABCD绕BC边的中点O旋转900后得到矩 形EFGH.已知AB=5cm,BC=10cm,
求图中阴影部分面积.

A E H(D)



B C

O


F G


2、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB 方向平移到△
ABC
的位置，若平移距离为3。
（1）求△ABC与△
ABC
的重叠部分的面积；
（2）若平移距离为x（ 0≤x≤4），求△ABC与△
ABC
的重叠部分的面积y，则y与x有怎样
关系式。









3、如图,河两边有甲、乙两条村庄,现准备建一座桥,桥必须与河岸垂直, 问桥应建在何处才能
使由甲到乙的路程最短?请作出图形,并说说理由.


甲•


- 17 -
111
111
111

4、阅读下面材料：
乙•
如图(1)，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△DEC的位置；
如图(2)，以BC为轴，把△ABC翻折180º，可以变到△DBC的位置；
如图(3)，以点A为中心，把△ABC旋转180º，可以变到△AED的位置．
像这样， 其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种
只改变位置，不改变形状 大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．






回答下列问题：
①在下图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样 变化，使△ABE变到△ADF
的位置；


②指出图中线段BE与DF之间的关系，为什么？




5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋
转, 连结DG,在旋转的过程中,你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并说明理由.



_

C
_

D


_


G
_

F

_


A
_

B

E_






四边形专题
一、填空题
1．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说 它是平行四边形，学生丙说它是菱
形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画 的图形是_______正方形

- 18 -

______．
2．四边形ABCD为菱形,∠A=60°, 对角线BD长度为10cm， 则此菱形的周长 40 cm．
3．已知正方形的一条对角线长为8cm，则其面积是____32______cm2．
4．平行四边形ABCD中，AB=6cm，AC+BD=14cm ，则△AOB的周长为____13___．
5．在平行四边形ABCD中，∠A=70°，∠D=____110°_____, ∠B=_____110°_____．
6．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=120°，两 底分别是15cm和49cm，则等腰梯形的腰长为
___34___．
7．用一块面积为4 50cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对
角线恰好互相垂直，那么 至少需要竹条 60 cm．
8．已知在平行四边形ABCE中,AB=14,BC=16,则此平行四边形的周长为 60 .
9．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 平行四边形 ,再说明 有一组邻边相
等 （只需填写一种方法）
10．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.
（1）正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成;
（2）菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成;
（3）矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成.
11．矩形的两条对角线的夹角 为
60
,较短的边长为12
cm
,则对角线长为 24
cm
.
12．已知菱形的两条对角线长为12
cm
和6
c m
,那么这个菱形的面积为36
cm
.
（把你认为正确的结论的序号都填上）
二、选择题
13．给出五种图形：①矩形； ②菱形； ③等腰三角形（腰与底边不相等）； ④等边三角形；
⑤平行四边形（不含矩形、菱形）． 其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是
（ C ）
A．②③ B．②③④
C．①③④⑤ D．①②③④⑤
14．四边形ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D=2︰2︰1︰3，则这个四边形是（C ）
A．梯形 B．等腰梯形
C．直角梯形 D．任意四边形
15．如图19-7 ，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，
则AE ︰EF︰FB为（ B ）
D
A．1︰2︰3 B． 2︰1︰3
C
C． 3︰2︰1 D． 3︰1︰2
16．下列说法中错误的是（ B． ）
·
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
A B
E
F
图19-7
B．两条对角线相等的四边形是矩形；
C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
D．两条对角线相等的菱形是正方形．
17．已知ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（B ）
A．AB=CD B．AC=BD
C．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当∠ABC=90°时，它是矩形
18．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ C ）
A．大于2， B．小于14
C．大于2且小于14 D．大于2或小于12
19．下列说法中,错误的是 （ D ）

- 19 -
2


A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．菱形的对角线互相垂直 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
20．一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 （ C） A．矩形
B．菱形 C．正方形 D．菱形、矩形或正方形
三、解答题
21．如图19-12，已知四边形ABCD是等腰梯形， CDBA,四边形AEBC是平行四边形．请说明：
∠ABD＝∠ABE．

D C


B

A


E
图19-12




22．如图19-14，AD是△ ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F． 试确定
A
AD与EF的位置关系，并说明理由．
1
2

E

F
O



B
C
D
图19-14






ABCD

23．如图19-19, 中,DB=CD,
C70
,AE⊥BD于E.试求
DAE
的度数.




A
D
E
B
C


图19-19


ABCD
24．如图 中 ,G是CD上一点,BG交AD延长线E,AF=CG,
DGE

- 20 -
100

.

（1）试说明DF=BG; （2）试求
AFD
的度数.

E
D
G
C
A
F
B


图19-20



25．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21①）,使AB=CD,EF=GH;
（2）摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理
是: ;
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗框合格,这时窗框是 形,根据
是: .





（图

①） （图②） （图③） （④）

图19-21

26．如图19-22，已知平行四边形ABCD，AE平分∠ DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，
DC=6cm，AD=2cm，求DE、EF、FC 的长．




图19-22



27． ．如图19-11,在
ABC
中,AB=AC=5,D是BC上的点,
DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,求四边形
AFDE的周长。







- 21 -

函数专题
1、正比例函数
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
2、正比例函数图象和性质
一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是 一条经过原点和（1,k）的一条直
线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一 、三象限，从左向右上升，即随着x的
增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限， 从左向右下降，即随着x的增大y反
而减小.
3、正比例函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤
是：
（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方
程；
（3）解方程，求出待定系数k；
（4）将求得的待定系数的值代回解析式.
4、一次函数
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一 次函数.当b=0时，y=kx
＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
5、一次函数的图象
（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和 两点的一条直线，因此
一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b.
（2）一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能 画出一条直线，即两点确定一条直线，
所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一 般情况下：是先选取它与两坐标
轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.
6、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它 可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得
到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平 移）.
7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

k>0
b>0
经过第一、二、三象限
b<0
经过第一、三、四象限
b=0
经过第一、三象限

- 22 -

图象从左到右上升，y随x的增大而增大
经过第一、二、四象限

经过第二、三、四象限

经过第二、四象限
k<0

图象从左到右下降，y随x的增大而减小
8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：
(1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．
(2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．
9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来
确定：
当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)．



10、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点．
(1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)；
(2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为(，0)与 y轴交点坐标为(0，b)．
11、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点 的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为
未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
12、利用图象解题
通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题.
13、经营决策问题
函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳方案，最佳策略等问题.建立一次函
数 模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构
建函数模型 ，从而利用数学知识解决实际问题.
二、重难点知识归纳
1、一次函数的定义、图象和性质.
2、一次函数的实际应用.

- 23 -

3、待定系数法.
三、典型例题剖析
例1、已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限，则（ ）
A．y随x的增大而减小
B．y随x的增大而增大
C．当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小
D．不论x如何变化，y不变
分析：
根据正比例函数的性质可知，当k<0时，图象过第二、四象限，y随x的增大而减小，故
选A．
答案：A
例2（1）若函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．±1 D．－1
（2）已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_____________.
是一次函数. （3）当m=_______时，函数
分析：
（1）要使函数y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，k需满足条件
（2）根据正比例函数的定义和性质，
减小的条件是：

是正比例函数且y随x的增大而

（3）根据一次函数解析式的特征可知：x 的次数2m－1为1时，合并同类项后，一次项
系数[（m＋3）＋4]不能为0；x的次数2m－1不 为1时，这项就应是0，否则不符合一次函数的
条件.
解：
（1）由于y=(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，
∴
（2）
，∴k=1，∴应选B.
是正比例函数的条件是：m2－3=1且2m－1≠0，要使 y随x的增
大而减小还应满足条件2m－1<0，综合这两个条件得当
是正比例函数且y随x的 增大而减小.
（3）根据一次函数的定义可知，
即m=－2时，
是一次函数的条件是：

- 24 -

解得m=1或－3，故填1或－3.
例3、两个一次函数y1=mx＋n，y2=nx＋m，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（ ）

分析：
若m>0，n>0，则两函数图象都应经过第一、二、三象限，故A、 C错，若m<0，n>0，则
y1=mx＋n的图象函数过第一、二、四象限，而函数y2=nx＋m的 图象过第一、三、四象限，故D
错．若m>0，n<0，y1=mx＋n的图象过第一、三、四象限，函 数y2=nx＋m的图象过第一、二、四
象限，故选B．
答案：B
例4、列说法是否正确，为什么？
（1）直线y=3x＋1与y=－3x＋1平行；
（2）直线重合；
（3）直线y=－x－3与y=－x平行；
（4）直线相交.
分析：
判定两条直线的位置关系，关键是判断两个函数解析式中的比例系数和常数项之间的关
系.
解：
（1）该说法不正确，∵k1≠k2，∴两直线相交；
（2）该说法不正确，∵k1=k2，但b1≠b2，∴两直线平行；
（3）该说法正确，∵k1=k2，b1≠b2，∴两直线平行；
（4）该说法不正确，∵k1=k2，b1=b2，∴两直线重合.
例5、如果直线y=kx＋b经过 第一、三、四象限，那么直线y=－bx＋k经过第__________象限.
分析：
因为直线y=kx＋b经过第一、三、四象限，由一次函数图象的分布情况可知k>0，b<0，
由此可 知直线y=－bx＋k中－b>0，k>0，故其图象经过一、二、三象限.
答案：一、二、三 例6、直线y=kx＋b过点A（－2，0），且与y轴交于点B，直线与两坐标轴围成的三角形面积
为3，求直线y=kx＋b的解析式．
分析：
由直线与两坐标轴围成的三角形面积为 3，求得点B(0，3)或(0，－3)，此题直线与y轴
交于B点有两种不同情况，即B点在y轴正半 轴或B点在y轴负半轴．注意分类讨论求解直线的
解析式．
解：

- 25 -

设点B的坐标为(0，y)，则|OA|=2，|OB|=|y|，有
S=·|OA|·|OB|=×2×|y|=3．
所以y=±3．所以点B的坐标是(0，3)或(0，－3)．
(1)当直线y=kx＋b过点A（－2，0）和点B（0，3）时，
所以y=＋3．
(2)当直线y=kx＋b过点A(－2，0)，B(0，－3)时，
所以y=－3．
因此直线解析式为y=＋3或y=－3．
例7、如图所示，阅读函数图象，并根据你所获得的信息回答问题：

(1)折线OAB表示某个实际问题的函数的图象，请你编写一道符合图象意义的应用题；
(2)根据你所给出的应用题分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A、B两点的坐标；
(3)求出图象AB的函数解析式，并注明自变量x的取值范围．
分析：
这道题的难点 主要集中在第(1)小题，它要求同学们自己设计一个情境，把一个数学模型
还原成一个实际问题，主要 考查同学们的创造性思维能力、逆向思维能力，发散思维能力和语言
表达能力，给同学们留下了很大的想 象空间，是一道有创意的好题．
解：
本题为开放题，现举一例如下：小明从家骑车去离 家800米的学校，用了5分钟，之后又
立即用了10分钟步行回到家中，此时x轴表示时间，y轴表示 离家的距离，A(5，800)，B(15，
0)．图象AB的解析式为y=－80x＋1200(5≤ x≤15)．
例8、某商店销售A、B两种品牌的彩色电视机，已知A、B两种彩电的进价每台分别为 2000
元、1600元，一月份A、B两种彩电的销售价每台为2700元、2100元，月利润为1 .2万元（利润
=销售价－进价）.
为了增加利润，二月份营销人员提供了两套销售策略：
策略一：A种每台降价100元，B种每台降价80元，估计销售量分别增长30%、40%.
策略二：A种每台降价150元，B种每台降价80元，估计销售量都增长50%.
请你研究以下问题：
（1）若设一月份A、B两种彩电销售量分别为x台和y台，写出y与x的关 系式，并求出
A种彩电销售的台数最多可能是多少？
（2）二月份这两种策略是否能增加利润？
（3）二月份该商店应该采用上述两种销售策略中的哪一种，方能使商店所获得的利润较

- 26 -

多？请说明理由.
分析：
（1）中根据月利润可列 出关于x、y的方程，由x、y为整数，求出A种彩电销售的台数
的最大值；（2）中写出策略一、策略 二的利润与x、y的关系，再和12000元比较，即可得出结论.
解：
（1）依题意，有
（2700－2000）x＋（2100－1600）y=12000，
即700x＋500y=12000.
则
因为y为整数，所以x为5的倍数，
故x的最大值为15，即A种彩电销售的台数最多可能为15台.
（2）策略一：
利润W1=（2700－100－2000）（1＋30%）x＋（2100－80－1600）（1＋40%） y
=780x＋588y；
策略二：
利润W2=（2700 －150－2000）（1＋50%）x＋（2100－80－1600）（1＋50%）y
=825x＋630y.
因为700x＋500y=12000，所以780x＋588y>12 000，825x＋630y>12000.
故策略一、策略二均能增加利润.
故策略二使该商店获得的利润多，应采用策略二.

二元一次方程组专题
一、填空题：
1、已知二元一次方程3x-5y=8，用会x的代数式表示y，则y= ，若y的值为2，则
x的值为
2、在代数式ax+b y中，若x=5，y=2时，它的值是7；当x=8，y=5时，它的值是4，则a= b=
3、若方程组

xy1


3x2y5
的 解也是方程3x+ky=10的一个解，则k=

a
x by4


3

3x4y2


ax
1
by5


2xy5
2
4、若方程 组

与

有相同的解，则a ，b=
5、方程3x+y=8的正整数解是
6、若(5x+2y-12)2+|3x+2y-6|=0 则2x+4y=
7、已知a-b=1，c-a=2，则(a-b)3+(c-b)3+(c-a)3=
8、已知方程组

3x5ym2


2x3ym
的解适合x+y=8，则m=
2
xz23x6y 7

3y3z4

0
9知有理数
x,y,z 满足条件：，则
xyz
。

- 27 -

二、选择题(本大题共18分,每题3分)
1、方程mx-2y=x+5是二元一次方程时，m的取值为（ ）
A、m≠0 B、m≠-1 C、m≠1 D、m≠2
2、下列不是二元一次方程组的是（ ）

2x9y0

xy0
A、

B、3x=4y=1

1

2y2

x3

x


x1
y2

C、 D、


5
2x24y
ab
2
3、已知2ay+5b3x与是同类项，则（ ）

x1

y2
A、



x2

y1
B、



x2

y0
C、



x1

y1
D、


12x5y
12x5y
的值（ ） 4、若4x-5y=0且y≠0，则
5
A、
12

12
B、
5

1
C、
2
D、不能确定

x2

axby7


y 1
bxcy5

5、如果是方程

的解，则a与c的关系是（ ）
A、4a+c=9 B、2a+c=9 C、4a-c=9 D、2a-c=9
xy
1
32
6、已知，可以得到
x
表示
y
的式子是 （ ）
y
A、
① ①

ax2by2
②

3ax5by9
②

2xy73xy11
7、关于x、y的两个方程组

和

具有相同的解，则a＋b的
值是（ ）
2x22x12x2x
yy2y2
3
B、
33
C、
33
D、
5
A、
12

12
B、
5
C、5 D、不能确定
8、有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有（ ）
A、4 个 B、5 个 C、6个 D、7个
9、如图AB⊥BC,∠ABD的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设∠ABD和∠D BC的度数分别为
x、y，那么下面可以求出这两个角的度数的方程是： （ ）

xy90

xy90

xy90

2x90


xy15
x2y15x152 yx2y15



A、 B、 C、 D、


- 28 -

三、解下列方程组
1、









xy8


5x2(xy)1
2、

7x3y1


4x5y17


x1
y2
0


34


x3

y3

1

312
3、

4








四、解答题：

x2

mxny1
< br>
y1
nxmy8

1、若是方程组

的解， 试求3m-5n的值






2、已知关于x、y的方程组









3xy5


4ax5by22

2x3y4

axby8
与方程组

有相同的解，求(-a)b
- 29 -

3、甲、乙两人解方程组

axby2


cx7y8

x3

y2
，甲正确地解得

，乙因为把C看错，误认为d，
x2

y2
解得


求a、b、c、d







五 列方程组解应用题:
1、甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了2.5小 时改装机器以提
高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后， 全天总计
甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？







2、根据图给出的信息，求每件恤衫和每瓶矿泉水的价格。








3、某数学月刊全年共出
1 2
期，每期定价
2.5
元，某中学七年级组织集体订阅，有些学生订半
年，而 另一些订全年，共需订费
1320
元，若订全年的学生都改为订半年，若订半年的学生都改为< br>订全年时，共需订费
1245
元，求该中学七年级订半年和订全年的人数各为多少？



- 30 -

4、下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结束时的价格）：

甲
乙
周一
12元
13.5元
周二
12.5元
13.3元
周三
12.9元
13.9元
周四
12.45
元
13.4元
周五
12.75
元
13.75
元
某人在这周内持有若干甲乙两种股票 ，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费
等），则他帐户上周二比周一增加200元，周 三比周二增加1300元，这个人持有甲、乙股票各多
少股





5、某市电信局现有600部已申请装机的固定电话沿待装机，此外每天还有新申请装机的电 话
也待装机，设每天新申请装机的固定电话部数相同，每个电话装机小组每天安装的固定电话部数
也相同，若安排3个装机小组，恰好60天可将待装固定电话装机完毕；若安排5个装机小组，恰
好2 0天可将待装固定电话装机完毕。求每天新申请装机的固定电话部数和每个电话装机小组每天
安装的固定 电话部数。






6、红太阳大酒店客房 部有三人间、双人间和单人间客房，收费数据如下表（例如三人间普通
间客房每人每天收费50元）。为 吸引客源，在五一黄金周期间进行优惠大酬宾，凡团体入住一律
五折优惠。一个50人的旅游团在五月二 号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间普通客房，
并且每个客房正好住满，一天一共花去住宿费1 510元。则三人间、双人间普通客房各住了多少间？

普通间（元人豪华间（元人贵宾间（元人

天） 天） 天）

三人50 100 500

间

双人70 150 800

间

单人100 200 1500

间





- 31 -

8、一列快车长168米，一列慢车长184米 ，如果两车相向而行，那么两车错车需4秒，如果
同向而行，两车错车需16秒钟，求两车的速度。











数据的代表专题
1、数据1，0，－3，2，3，2，－2的中位数是 ，众数是 ．
2、某电视台举办青年歌手演唱大赛，7位评委给1号选手的评分如下：
9.3 8.9 9.2 9.5 9.2 9.7 9.4
按规定，去掉一个 最高分和一个
25
最低分后，将其余得分的平均数作
24
为选手的最后得分． 那么，1号选
20
手的最后得分是 分．
15
3、数学老师 布置了10道计算题
12
10
作为课堂练习，小明将全班同学的
6
解 题情况绘成了下面的条形统计
5
6
图．根据图表，求平均每个学生做
0
做对7题做对8题做对9题做对10题
对了几道题？
4、某公司员工的月工资统计如
下：
月
工资
元
人
数
5000 4000 2000 1000 800 500
1 2 5 12 30 6
则该公司员工月工资的平均数为 、中位数为 和众数为 ．
5、某超市招聘收银员一名，对三名申请人进行了三项素质测试．下面是三名候选人的素质测
试成绩：
素质测试

测试成绩
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小赵
计 算 机
商品知识
语 言
70
50
80
小钱
90
75
35
小孙
65
55
80
公司根据实际需要，对计算机、商品知识、语言三项测试 成绩分别赋予权重4、3、2，这三人
中 将被录用.
6、从全市5000份试 卷中随机抽取400份试卷，其中有360份成绩合格，估计全市成绩合格的
人数约为 人。
7、下表是两个商场1至6月份销售“椰树牌天然椰子汁”的情况(单位：箱)

甲商
场
乙商
场
1月
450
480
2月
440
440
3月
480
470
4月
420
490
5月
576
520
6月
550
516
根据以上信息可知
A．甲比乙的月平均销售量大 B．甲比乙的月平均销售量小
C．甲比乙的销售稳定 D．乙比甲的销售稳定
8、 某 住宅小区6月份随机抽查了该小区6天的用水量(单位：吨)，结果分别是30、34、32、
37、2 8、31，那么，请你估计该小区6月份(30天)的总用水量约是 吨.
9、为筹备班级的初中毕业联欢会，班长对全班学生爱吃哪几种水果作了民意调
查．那么最终买什么水果，下面的调查数据中最值得关注的是
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．加权平均数
10、如果四个整数数据 中的三个分别是2、4、6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位
数是 .
11、甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命
都是8 年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：
年）
甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15
乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15
丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16
请回答下面问题：
（1）分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数；

甲厂
乙厂
丙厂
平均数



众数



中位数



（2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？
（3）如果你是位顾客，宜选购哪家工厂的产品？为什么？
12、已知一组数据5，15，7 5，45，25，75，45，35，45，35，那么40是这一组数据的
A．平均数但不是中位数 B.平均数也是中位数C．众数D. 中位数但不是平均数
13、已知数据x1，x2，…，xn的平 均数是
x
，则一组新数据x1+8,x2+8,…,xn+8的平均数是
____.
14、根据某市去年7月份中某21天的各天最
高气温（℃）记录，制作了如图的统计图，由图

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中信息可知，记录的这些最高气温的众数是
℃，其中最高气温达到35℃以上（包括35℃）的天数有 天.
15、下表是某报纸公布的我国“九五”期间国内生产总值（GDP）的统计表，那么这几年我国
国内 生产总值平均比上一年增长（ ）万亿元.
年份
国内生产总值（万亿元）
1996
6.6
1997
7.3
1998
7.9
1999
8.2
2000
8.9
(A)0.46 (B)0.575 (C)7.78 (D)9.725
16、期中考试后，学习小组长算出全组 5位同学数学成绩的平均分为M，如果把M当成另一个
同学的分数，与原来的5个分数一起，算出这6个 分数的平均值为N，那么M：N为（）
A 56 B 1 C 65 D 2
17、某地连续九天的最高气温统计如下表：
最高气温（℃）
天数
22
1
23
2
24
2
25
4
则这组数据的中位数与众数分别是（）
A 24、25 B 24.5、25 C 25、24 D 23.5、24
18、为发展农业经济，致富奔小 康，养鸡专业户王大伯2004年养了2000只鸡，上市前，他随
机抽取了10只鸡，称得重量统计如 下表：
重量（单位：kg） 2 2.2
数量（单位：只） 1 2
2.5
4
2
.8
2
3
1
估计这批鸡的总重量为 kg.



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