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《函数的概念》教案（第一课时）
【三维目标】
1.会用集合与对应的语言 来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，
培养学生观察问题，提出问题的探 究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；
启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴 含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学
会数学表达和交流，发展数学应用意识.
2.掌 握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习
函数的必要性的重要性 ，激发学生学习的积极性.
【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模
型. < br>【教学难点】函数概念及符号
y
=
f
(
x
)的理解.
【教学方法】诱思教学法
【教学过程】
Ⅰ.创设情景 引入课题
北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，
在“嫦娥 一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，
数学上用函数来描述 这种运动变化中的数量关系.
在初中已学习过函数的定义.
首先请同学们复习回顾初中学习的函数的定义：
设在某一变化过程中有两个变量
x< br>和
y
，如果对于每一个
x
值，
y
都有唯一的值和它对 应，
那么就说
y
是
x
的函数，
x
叫自变量，
y
叫因变量.
函数的定义从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系.
Ⅱ.探索研究
上一章我们已学习过集合，并且知道集合是现代数学的基本语言，能否用集合和 对应的
语言来描述函数？函数又有哪些构成要素呢？将是本节课探讨的主要内容.
一、实例分析
（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面
的高度
h
（单位：m）随时间
t
（单位：s）变化 的规律是：
h
=130
t
-5
t
2
. （﹡）
你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间
t
的变 化范围是什么？
炮弹距离地面高度
h
的变化范围是什么？
炮弹距离地面的高 度
h
随时间
t
的变化而变化，对于在（0，26）范围内变化的任意一个时间
t
，按照关系式，都有没有高度
h
与它对应呢？若有，有几个？ < br>这里，炮弹飞行时间
t
的变化范围是数集
A{t0t26}
，炮 弹距地面的高度
h
的变

化范围是数集
B{h0h845 }
.
能否用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系？
从问题的实际意义可知， 对于数集
A
中的任意一个时间
t
，按照对应关系（﹡），在数集
B< br>中都有唯一确定的高度
h
和它对应.
（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速 减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲
线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～200 1年的变化情况.
S
30
26
25
25
20
15
10
5
O
1979
1981
1983 1999 2001

1985
1987
1989
1991 1993
1995 1997
t
图1
观察图中曲 线可看到，臭氧层空洞面积s随着时间的变化在变化，1987年、1999年的臭
氧层空洞面积分别是 多少？由曲线可看出，对于在1979至2001年的每一个时间
t
，都对应着
唯一的 臭氧层空洞面积.
其中
t
的变化范围是多少？臭氧层空洞面积
s
的变化范围是多少？
根据图中曲线可知，时间
t
的变化范围是数集
A{t1979t200 1}
，臭氧层空洞面
积
s
的变化范围是数集
B{S0S26}
.
观察分析并用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.
对于数集
A
中的任意一个时间
t
，按照图中曲线，在数集
B
中都有唯一确定的臭 氧层空洞
面积
S
和它对应.
（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民 生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活
质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明， “八五”计划以来，我国城镇
居民的生活质量发生了显著变化.
表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间(年)
城镇居民家庭
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

恩格尔系数(%) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用
集合与对 应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的
关系.
根 据上表，可知时间
t
的变化范围是数集
A{t1991t2001,tN
}
，恩格尔系数y
的变化范围是数集
B{y37.9y53.8 }
. 并且，对于数集A中的任意一个时间
t
，根据
表1，在数集
B
中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.
二、问题探讨
以上三个实例有什么不同点和共同点？
活动：让学生分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性.
三个实例中都有两个变量 ，变量的取值范围都可用集合表示，两个集合之间都有一定的对
应关系，有怎样的对应关系呢？
归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例（2） 是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.
其共同点是：①都 有两个非空数集
A
，
B
；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；是
一种怎样的对应关系？③对于数集
A
中的每一个
x
，按照某种对应关系f
，在数集
B
中都有唯
一确定的
y
值和它对应. 记作
f:AB.
我们把这样的对应称为函数.
Ⅲ.归纳概括
通过对三个实例的探讨分析，找出了其共同点. 在三个实例中，大家用集合与对应的语
言分别 描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，
你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？
活动：让学生分组讨论交流，归纳出函数的概念.
1.函数的概念:
一般 地，设
A
，
B
是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合中
A
任意
一个数
x
，在集合中
B
都 有唯一确定的数
f
(
x
)和它对应，那么就称
f:AB
为 从集合
A
到
集合
B
的一个函数，记作
yf(x),xA .

其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；与
x
的值相对应的
y
值叫做函
数值，函数值的 集合
{f(x)xA}
叫做函数的值域.
显然，值域是集合的子集.
用 集合与对应的语言给出了函数的定义，请同学们分析函数的本质是什么？构成函数的
基本要素有哪些？
2. 函数的本质：
f:AB
(在对应关系
f
下，集合A
到集合
B
的一种对应).
3．函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.
强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定； < /p>

②
f
(
x
)是函数符号，
f
表示对应 关系，
f
(
x
)表示
x
对应的函数值，绝对不能理解为f
与
x
的乘积.在不同的函数中
f
的具体含义不同，由以上三个 实例可看出对应关系可以是解析式、
图象、表格等.函数除了可用符号
f
(
x
)表示外，还可用
g
(
x
),
F
(
x)等表示．
Ⅳ 提出问题：(设计意图：加深对函数概念的理解.)
初中已学习过一次函数、二次函数、反比例函数，下面请大家回答以下问题：
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？
并用函数的概念来描述这些函数.
1.一次函数
yaxb(a0)
的 定义域是
R
，值域是
R
，对于
R
中的任意一个数
x
，
在
R
中都有唯一的数
yaxb(a0)
和它对应.
2.二次函数
yaxbxc(a0)
的定义域是
R
，值域是
B
.
2

4acb
2

4acb
2

当
a0
时，
B

yy

；当
a0
时,
B

yy

.对 于
R
中
4a4a

的任意一个数
x
，在B
中都有唯一的数
yaxbxc(a0)
和它对应.
3.反比例函数
y
述.
函数的本质是两个非空数集间的一种确定的对应关系，下面请同学们
Ⅴ. 思考辨析：
1.
y1(xR)
是函数吗？
2.
yx(x0)
是函数吗？
3.
y
2
k
(k0)
的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数的定义来描
x
x -31x
是函数吗？
方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？
依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的关键词.
（1）定义域和对应关系 是否给出？（2）根据所给对应关系，自变量
x
在定义域中的每
一个值，是否都有唯一 确定的
y
值和它对应？
判断函数的标准可以简化成：两个非空数集
A
，
B
，一个对应关系.
结合三个实例分析，使学生更深刻理解函数的概念.
由学生总结：理解函数的定义应注意：
①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“
f:A
→
B
”表示从
A
到
B
的一个函数.集合
A
中数的任意性 ，集合
B
中数的唯一性.
提出问题：你能举出函数的实例吗？(举出不同类型、生活中函数的例子吗？)

如：出租车计价器上的读数是行驶公里数的函数；火车票票价是里程数的函数；家庭电
费是家庭用电量 的函数；某人的身高是其年龄的函数，反之年龄未必是身高的函数，同一身
高可能对应不同的年龄，函数 的例子还可以列举很多，不再一一枚举，望同学们课下讨论.
Ⅵ.【练习反馈】
1.下列图 像中不能作为函数
y
=
f
(
x
)图像的是（ B ）
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
Ⅶ.【提炼总结】
B
C
D
1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引 进了函数符号
y
=
f
(
x
).
2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.
3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
Ⅷ.【课后作业】
一、 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说
出函数的定义域、对应 关系和值域.
二、课本P
24
习题1.2 1、3、4





Ⅸ.【板书设计】

函数的概念
一、实例分析

A{t0t26}


B{h0h845}


f:AB

二、探讨研究
三、归纳概括
3. 函数的本质：
f:AB

非空数集间的一种确定的对应关系
注意：(1)非空数集
A
，
B
；
(2)集合
A
中数的任意性，
B
中数的唯一性.
四、思考辨析

1.函数的定义
记作：
yf(x),xA.

2. 函数的构成要素：
定义域、对应关系、值域；




五、练习反馈
六、提炼总结
七、课后作业
函数的概念
一、探讨研究
1. 实例分析
(1)
A{t0t26}


B{h0h845}


f:AB

2. 问题探讨
二、归纳概括
1.函数的定义
记作：
yf(x),xA.

2.函数的本质：
f:AB

注意：(1)非空数集
A
，
B
；
(2)集合
A
中数的任意性，
3. 函数的构成要素：
定义域、对应关系、值域；
四、思考辨析
五、练习反馈
六、提炼总结
七、课后作业
B
中数的唯一性.






学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希 腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽
量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家 能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：
每天甩手 300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的 学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简
单的甩手运动。还有哪几个 同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图 。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个
重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质 。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行 、王屋二山。正是因为他具
有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于 在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告 诉
无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一 个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条
慢长而艰苦 的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚 持！ 当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确
很有道理，然而当读者实际应用时， 很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨 那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归
到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自 己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还 是右脑思维测试和

视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不 同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体 学习方法
章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习 方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最
适合自 己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第 二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博
文或者PPT课件合集，每个 学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强， 每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时
间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及 了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己 面对学海之中手足无措之时，长
篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然 的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提 高的有
力武器。曾经看到一个有意思的心理测试:用“正确的方法”、“错误的方法”和“积极的行为” 、“消极的行为”，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果，“正确方法”配合“积极的行为”无
疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为，“错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其 实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越
走越远，学习也是同理 ，一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学 习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码
在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾 ，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书 归类为学习方法-青年读物，是本
工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加 学习技能与脑力”，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊 。整体来讲
主要包括7个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧， 记忆，应试技巧，拾遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技
能的 准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项 。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分
别有笔记记录，阅读，记忆， 应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高， 在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，
说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无 与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家 吗，简直比我们中国还要
应试。那个考试应对细节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他 们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里
做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界……不得不说，美国的教育真不是盖的 。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了
一些测试题目， 然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分 法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近
的类型，我就是视觉的，对号入座后就可 以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习 的技能，还有很多其他的道理，对我们
人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会 受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个 非常好的学习
习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中 都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历
程 ，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那 样，碰到不会的领域的时候，可以很快的用这些方法，工具建立起模型，系统，
游刃有余地攻克自己之前 没接触的领域，提升自己的理解力，我想这正是我们学习的比较重要的一个目的吧。最后，我影响比较深的就是作 者提供的那些小工具了，包括笔记的表格，辅助记忆的
表格，帮助整理文档的夹子，应对考试的技巧，缓 解紧张的方法……我觉得全书对于如何增加学习技能和脑力的讲述是有道理的，我也相信通过实践作者在书上所提 到的方法，定能在学习中得到
提高。但是，那也不是一朝一夕的事情，就像我们大家都知道的那个故事， 在美国得到诺贝尔奖的科学家说，自己得奖最大的原因都是在幼儿园里学习的最基本的道理，就是说要和郭靖一样 ，不
要贪多吃不烂，认定他就要好好地坚持去做，不要停。我自己喜欢的是家庭归档系统，虽然不是学习 过程中的技能，只属于学习准备的东西，但是如果坚持井井有条的那样整理自己的学习思维，
对自己的收 益将难以估量。稍显不足的地方是，第一，本书的语言太过精练，感觉就像没有主观感情一样，要命的是有很多词 语或者概念读的时候甚至不知道什么意思，书中也没做讲解，本来就
看的比较费力，现在好了，作者也不 等你，直接把你撂那。第二，作者很多地方就像立一个提纲一样，直接让你自己去参考多少多少页，这个太不习惯 了。第三，作者在书中提到各种学习的类型，
但是并没有就这种类型合适他们的学习方法做开展或者介绍 ，比如，将学习分为好几种类型的那个部分，有内省的，有外联的之类，然而并没有对各种类型进行针对性的指导 。从而她的有些观点
就不太适用，像成立学习小组的，这个对于内向的人，在我国这样的学习环境中是比 较的困难，但作者没有就如何做提出建议，只是告诉读者这么做，会显得不够全面或者落空。