山东省人事考试-李杨璐

《函数的概念》教案（第一课时）
【三维目标】
1.会用集合与对应的语言 来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，
培养学生观察问题，提出问题的探 究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；
启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴 含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学
会数学表达和交流，发展数学应用意识.
2.掌 握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习
函数的必要性的重要性 ，激发学生学习的积极性.
【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模
型. < br>【教学难点】函数概念及符号
y
=
f
(
x
)的理解.
【教学方法】诱思教学法
【教学过程】
Ⅰ.创设情景 引入课题
北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，
在“嫦娥 一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，
数学上用函数来描述 这种运动变化中的数量关系.
在初中已学习过函数的定义.
首先请同学们复习回顾初中学习的函数的定义：
设在某一变化过程中有两个变量
x< br>和
y
，如果对于每一个
x
值，
y
都有唯一的值和它对 应，
那么就说
y
是
x
的函数，
x
叫自变量，
y
叫因变量.
函数的定义从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系.
Ⅱ.探索研究
上一章我们已学习过集合，并且知道集合是现代数学的基本语言，能否用集合和 对应的
语言来描述函数？函数又有哪些构成要素呢？将是本节课探讨的主要内容.
一、实例分析
（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面
的高度
h
（单位：m）随时间
t
（单位：s）变化 的规律是：
h
=130
t
-5
t
2
. （﹡）
你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间
t
的变 化范围是什么？
炮弹距离地面高度
h
的变化范围是什么？
炮弹距离地面的高 度
h
随时间
t
的变化而变化，对于在（0，26）范围内变化的任意一个时间
t
，按照关系式，都有没有高度
h
与它对应呢？若有，有几个？ < br>这里，炮弹飞行时间
t
的变化范围是数集
A{t0t26}
，炮 弹距地面的高度
h
的变

化范围是数集
B{h0h845 }
.
能否用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系？
从问题的实际意义可知， 对于数集
A
中的任意一个时间
t
，按照对应关系（﹡），在数集
B< br>中都有唯一确定的高度
h
和它对应.
（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速 减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲
线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～200 1年的变化情况.
S
30
26
25
25
20
15
10
5
O
1979
1981
1983 1999 2001

1985
1987
1989
1991 1993
1995 1997
t
图1
观察图中曲 线可看到，臭氧层空洞面积s随着时间的变化在变化，1987年、1999年的臭
氧层空洞面积分别是 多少？由曲线可看出，对于在1979至2001年的每一个时间
t
，都对应着
唯一的 臭氧层空洞面积.
其中
t
的变化范围是多少？臭氧层空洞面积
s
的变化范围是多少？
根据图中曲线可知，时间
t
的变化范围是数集
A{t1979t200 1}
，臭氧层空洞面
积
s
的变化范围是数集
B{S0S26}
.
观察分析并用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.
对于数集
A
中的任意一个时间
t
，按照图中曲线，在数集
B
中都有唯一确定的臭 氧层空洞
面积
S
和它对应.
（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民 生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活
质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明， “八五”计划以来，我国城镇
居民的生活质量发生了显著变化.
表1 “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间(年)
城镇居民家庭
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

恩格尔系数(%) 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9
恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用
集合与对 应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的
关系.
根 据上表，可知时间
t
的变化范围是数集
A{t1991t2001,tN
}
，恩格尔系数y
的变化范围是数集
B{y37.9y53.8 }
. 并且，对于数集A中的任意一个时间
t
，根据
表1，在数集
B
中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.
二、问题探讨
以上三个实例有什么不同点和共同点？
活动：让学生分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性.
三个实例中都有两个变量 ，变量的取值范围都可用集合表示，两个集合之间都有一定的对
应关系，有怎样的对应关系呢？
归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，
实例（2） 是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.
其共同点是：①都 有两个非空数集
A
，
B
；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；是
一种怎样的对应关系？③对于数集
A
中的每一个
x
，按照某种对应关系f
，在数集
B
中都有唯
一确定的
y
值和它对应. 记作
f:AB.
我们把这样的对应称为函数.
Ⅲ.归纳概括
通过对三个实例的探讨分析，找出了其共同点. 在三个实例中，大家用集合与对应的语
言分别 描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，
你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？
活动：让学生分组讨论交流，归纳出函数的概念.
1.函数的概念:
一般 地，设
A
，
B
是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系
f
，使对于集合中
A
任意
一个数
x
，在集合中
B
都 有唯一确定的数
f
(
x
)和它对应，那么就称
f:AB
为 从集合
A
到
集合
B
的一个函数，记作
yf(x),xA .

其中，
x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；与
x
的值相对应的
y
值叫做函
数值，函数值的 集合
{f(x)xA}
叫做函数的值域.
显然，值域是集合的子集.
用 集合与对应的语言给出了函数的定义，请同学们分析函数的本质是什么？构成函数的
基本要素有哪些？
2. 函数的本质：
f:AB
(在对应关系
f
下，集合A
到集合
B
的一种对应).
3．函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.
强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定； < /p>

②
f
(
x
)是函数符号，
f
表示对应 关系，
f
(
x
)表示
x
对应的函数值，绝对不能理解为f
与
x
的乘积.在不同的函数中
f
的具体含义不同，由以上三个 实例可看出对应关系可以是解析式、
图象、表格等.函数除了可用符号
f
(
x
)表示外，还可用
g
(
x
),
F
(
x)等表示．
Ⅳ 提出问题：(设计意图：加深对函数概念的理解.)
初中已学习过一次函数、二次函数、反比例函数，下面请大家回答以下问题：
一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？
并用函数的概念来描述这些函数.
1.一次函数
yaxb(a0)
的 定义域是
R
，值域是
R
，对于
R
中的任意一个数
x
，
在
R
中都有唯一的数
yaxb(a0)
和它对应.
2.二次函数
yaxbxc(a0)
的定义域是
R
，值域是
B
.
2

4acb
2

4acb
2

当
a0
时，
B

yy

；当
a0
时,
B

yy

.对 于
R
中
4a4a

的任意一个数
x
，在B
中都有唯一的数
yaxbxc(a0)
和它对应.
3.反比例函数
y
述.
函数的本质是两个非空数集间的一种确定的对应关系，下面请同学们
Ⅴ. 思考辨析：
1.
y1(xR)
是函数吗？
2.
yx(x0)
是函数吗？
3.
y
2
k
(k0)
的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数的定义来描
x
x -31x
是函数吗？
方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？
依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的关键词.
（1）定义域和对应关系 是否给出？（2）根据所给对应关系，自变量
x
在定义域中的每
一个值，是否都有唯一 确定的
y
值和它对应？
判断函数的标准可以简化成：两个非空数集
A
，
B
，一个对应关系.
结合三个实例分析，使学生更深刻理解函数的概念.
由学生总结：理解函数的定义应注意：
①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“
f:A
→
B
”表示从
A
到
B
的一个函数.集合
A
中数的任意性 ，集合
B
中数的唯一性.
提出问题：你能举出函数的实例吗？(举出不同类型、生活中函数的例子吗？)

如：出租车计价器上的读数是行驶公里数的函数；火车票票价是里程数的函数；家庭电
费是家庭用电量 的函数；某人的身高是其年龄的函数，反之年龄未必是身高的函数，同一身
高可能对应不同的年龄，函数 的例子还可以列举很多，不再一一枚举，望同学们课下讨论.
Ⅵ.【练习反馈】
1.下列图 像中不能作为函数
y
=
f
(
x
)图像的是（ B ）
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
Ⅶ.【提炼总结】
B
C
D
1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引 进了函数符号
y
=
f
(
x
).
2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.
3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
Ⅷ.【课后作业】
一、 举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说
出函数的定义域、对应 关系和值域.
二、课本P
24
习题1.2 1、3、4





Ⅸ.【板书设计】

函数的概念
一、实例分析

A{t0t26}


B{h0h845}


f:AB

二、探讨研究
三、归纳概括
3. 函数的本质：
f:AB

非空数集间的一种确定的对应关系
注意：(1)非空数集
A
，
B
；
(2)集合
A
中数的任意性，
B
中数的唯一性.
四、思考辨析

1.函数的定义
记作：
yf(x),xA.

2. 函数的构成要素：
定义域、对应关系、值域；




五、练习反馈
六、提炼总结
七、课后作业
函数的概念
一、探讨研究
1. 实例分析
(1)
A{t0t26}


B{h0h845}


f:AB

2. 问题探讨
二、归纳概括
1.函数的定义
记作：
yf(x),xA.

2.函数的本质：
f:AB

注意：(1)非空数集
A
，
B
；
(2)集合
A
中数的任意性，
3. 函数的构成要素：
定义域、对应关系、值域；
四、思考辨析
五、练习反馈
六、提炼总结
七、课后作业
B
中数的唯一性.






随着年岁的叠加，我们会渐渐发现：越是有智慧的人，越是谦虚，因为昂头的只是 稗子，低头的才是稻子；越是富有的人，越是高贵，因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足；越是< br>优秀的人，越是努力，因为优秀从来不是与生俱来，从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积，我们也会慢慢懂 得：成功的路，其实并不拥挤，因为能够坚持到底的人实在太少；所有优秀的人，其实
就是活得很努力的 人，所谓的胜利，其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年，突然间醒悟许多，总算明白：人生，只有将世间的 路一一走遍，才能到尽头；生活，只有将尘世况味种种尝遍，
才能熬出头。这世间，从来没有最好，只有 更好。每天，总想要努力醒得比太阳还早，因为总觉得世间万物，太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的 日出，心中的太阳随之冉冉腾起，生
命之火熊熊燃烧，生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象，那些 从来不早起的人，一生到底能够看到几回日升？那些从来没有良好习惯的人，活到最后到底该是多么的遗憾与愧疚 ？曾国藩说：
早晨不起，误一天的事；幼时不学，误一生的事。尼采也说：每一个不曾起舞的日子，都是 对生命的辜负。光阴易逝，岂容我待？越是努力的人，越是没有时间抱怨，越是没有工夫颓丧。每当走
在 黎明的曙光里，看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”，我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们，因为他们活得很 努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的晨练者，我就会从心里为他们竖
起大拇指，因为他们给自 己力量的同时，也赠予他人能量。我总觉得：你可以不优秀，但你必须有认真的态度；你可以不成功，但你必须努 力。这个世界上，从来没有谁比谁更优秀，只有谁比谁
更努力。我也始终认为：一个活得很努力的人，自 带光芒万丈；一个人认真的样子，比任何时候都要美好；一个能够自律自控的人，他的人生也就成功了大半。世间 每一种的好，从来都只为懂得
努力的人盛装而来。有时候，我真的感觉，人生的另一个名字应该叫做努力 ，努力了就会无悔，努力了就会无愧；生活的另一种说法应该叫做煎熬，熬过了漫漫黑夜，天就亮了，熬过了萧萧 冬日，

春天就来了。人生不易，越努力越幸运；余生不长，越珍惜越精彩。人生，是一本 太仓促的书，越认真越深刻；生命，是一条无名的河，越往前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息，不要为前路< br>的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角，所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚 信越是成功的人越是不允许自己颓废散漫，越是优秀的人越是努力……生活中很多时候，
我们遇到一些复 杂的情况，会很容易被眼前的障碍所蒙蔽，找不到解决问题的方法。这时候，如果能从当前的环境脱离出来，从一 个新角度去解决问题，也许就会柳暗花明。一个土豪，每次出门
都担心家中被盗，想买只狼狗栓门前护院 ，但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法：每次出门前把WiFi修改成无密码，然后放心出门每次回 来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口，
从此无忧。护院，未必一定要养狗换个角度想问题，结果大 不同。一位大爷到菜市场买菜，挑了3个西红柿到到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块7。”大爷：“做汤不用那 么多。”去掉了最大的西
红柿。摊主:“一斤二两，3块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时，大爷从容 的掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那个大的西红柿，潇洒地换种算法，独辟蹊径，你会发现解决问题的另一个方法 。生
活中，我们特别容易陷入非A即B的思维死角，但其实，遭遇两难困境时换个角度思考，也许就会明 白：路的旁边还有路。一个鱼塘新开张，钓费100块。钓了一整天没钓到鱼，老板说凡是没钓
到的就送 一只鸡。很多人都去了，回来的时候每人拎着一只鸡，大家都很高兴！觉得老板很够意思。后来，钓鱼场看门大爷 告诉大家，老板本来就是个养鸡专业户，这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去
库存，还让顾客心甘情愿买单。新 时代，做营销，必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业，于是爸爸灵机一动说：儿子，我来做作业， 你来检查如何？孩子高兴的答应了，并且把爸
爸的“作业”认真的检查了一遍，还列出算式给爸爸讲解了 一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸所有作业都做错了。巧妙转换角色，后退一步，有时候是另一种前进。一 个博士群里有人提问：
一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤？或砸死？群里一下就 热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力，重力，加速度的计算，足足讨论了近一个小时 后来，一个不小心进
错群的人默默问了一句：你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢，而忘却了最简单也是最直接的路有两个年轻人，大学毕业后一起到广州闯天下。
甲很快做成一单大生意，升为部门经理；乙业绩很差，还是一个业务员，并且是甲的手下。乙心理不平衡 ，就去庙里找和尚，求神明相助。和尚说：“你过三年再看。”三年后，他找到和尚，很沮
丧地说甲现在 已经是总经理了。和尚说：再过三年再看。三年 又过去了，他又去见和尚，气急败坏地说：甲已经自己当老板了 。和尚说：我也从普通和尚升为方丈了。我们都是自己，你是谁？我
们都为自己活着，监管着自己的责任 ，你在干什么？你痛苦地为甲活着，监管着他，你丢的不是职位、金钱和面子，你丢掉了自己。一年后，乙又来了 ，幸灾乐祸地说：和尚你不对，甲公司破产，
他坐牢了。和尚无语，心里悲悯：坐牢了，破产了，甲还是 他自己。可是你这个可怜的人啊，还不是你自己呀。十年后，甲在监狱里服刑时，思索人生，写了一本书，很轰动 ，成了畅销书。签名
售书，成了名人，无限风光。甲还在电视上与和尚一起，作为名人谈经论道、感化众 生。乙在出租屋里看电视，手里翻着甲的书，内心极度痛苦。他给和尚发短信：我相信命运了，甲坐牢都能坐出好风光来。你还没找到自己乙就这样一辈子把自己给弄丢了。你看到别人一路畅通时，心中是否会愤愤不平 ？看到别人失意落魄时，又是否会幸灾乐祸，沾沾自喜？其实别人的好与坏，与你又
有什么关系呢？你需 要要做的其实只是自己。真正智慧的人，在人生追求的路上，只有不断的自我升级，对照别人的一切，不断的鞭策 自己，一路坚持，才能不断的升华，实现人生的梦想。 一
位少年家境贫寒，为了生计，他到一个庄园 主家里当工人。他很勤奋，也很卖力，生怕自己干不好被辞退。庄园主是一位绅士，对待工人很友善。一天，他突 然接到一个电话，那边传来一个中年
人的声音：“先生，您需不需要工人？”庄园主摇了摇头，轻声地说 ： “对不起，我有工人了，不需要。”我绝对可以起早贪黑干活，我的工钱可以减半！”对方急忙说。不，我的 工人非常勤快，
真不需要。”庄园主有礼貌地补充说。我保证一刻也不闲着，包括所有角落的灰尘都擦到 。”对方又说。我家的工人也是这么做的，像你一样细致。”庄园主回答说。对方无奈，只好挂断了电话。庄园主不知道，安排打这个电话的，正是在庄园里干活的那位少年。那一天，他拿着发的第一个月的薪水，跑到 镇上，找来自己的叔叔，用全部的薪水支付电话费用，然后让叔叔给庄园主打电话。
叔叔搞不清楚他在做 什么，便问他说：“孩子，你就在那里做工，怎么还问人家需不需要工人？”少年听后笑了，对叔叔说：“叔叔， 我在那里做工，就要对他们负责，我只想知道，在他们心中，
我做得怎么样，被不被认可。”叔叔顿时对 这个侄子刮目相看，认为他将来必有出息，蹲下来告诉他：“孩子，将来无论你做什么，你都要记住你的那句话， 经常问客户你做得怎么样……”少年后
来就跟在叔叔身边做生意，生意做得越来越好，最后离开了叔叔独 自创业，跳槽到纽约一家公司，从零开始自己的职业生涯，逐渐出人头地。他叫范德利普，后来作为总裁，领导花 旗银行十年。
这十年的时光中，他的战略就是发展国内中小企业客户，而他每年都有大半的时间在各地跑 ，做调研，只为征求客户对银行的意见，再有针对性地改进。花旗银行在他的带领下实现了跨越式发展，
在他任职的第二年，便成为美国第一家总资产达数亿美元的银行，为它的辉煌发展打下了坚实基础，这就是一个企 业家最大的智慧