公务员考试网站-初中政治教案

如何理解“
yf

x

”的一些问题
王德明
函数概念在初中是这样叙述的：
设在一个变化过程中有两个变量
x
与
y
，如果对于
x
每一个值，
y
都有唯一的值与它 对应，
那么就说
y
是
x
的函数，
x
叫做自变量。这 是学生认识函数概念的第二个阶段（算术基础之上），
即作为“变化过程”的函数．在高中，函数的概念 则是建立在对应基础上的，即作为“对应关
系”的函数：
设
A
，
B
是非空数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合
A
中的任意 一个数
x
，
在集合
B
中都有唯一确定的数
f
x

和它对应，那么就称
f：
A
B
为从集合
A
到集合
B
的
一个函数，记作
yf

x

，
xA
．
其中，x
叫做自变量，
x
的取值范围
A
叫做函数的定义域；与
x
的值相对应的
y
的值叫做函数
值，函数值的 集合

f< br>
x

xA

叫做函数的值域．
在此基础上 ，将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意的集合，引出了映射的概念，
从而函数成了一种特殊的 映射，也顺利拓展了函数的表达方式，对函数的理解产生了质的飞
跃．通过对函数
yf

x

这一抽象关系式的认识，十分有益于抽象思维能力的提升．当然这
一 跃，难免使高一学生对
yf

x

的理解产生一些疑虑和偏差．为 此应该想明白：
1
yf

x

中的符号
f
表示什么

yf

x

中的
f
表示的是确定这个函数的 映射的对应法则．也就是表示
y
与x之间的 函
数关系（显然不是
f
与
x
的积）．由于函数关系可以用解析法、列表法、图象法等表示，所以
不能把
yf

x

单纯地理解是由解析式给出的函数；其次，当函数关系是一个 解析式时，“
f
”
指的就是运算法则．
如：
f

x


1
x
1
，“
f
”是指对（）内的 对象
x
进行倒数运算并加1．当然函数的运算法则未
1

必 是单一的对应关系，如：
f

x




1，x0

0，x0
，这里
f
这个运算法则指的是：对任意一 个正
数的运算结果是1；对任意一个非正数的实数的运算结果是
0
．有的同学感到不是 很好理解．其
实我们知道，有许多旅游景点的票价与人的身高就有这样的规定：如某景点规定身高不超过
（含）
1.30m
的游客免费，身高超过
1.30m
的游客每人12 0元．这样的函数我们通常称之为分
段函数．生活中可以找到不少这样的例子，它们可以帮助我们很好地 理解分段函数．
２
yf

x

的定义域的意义 当函数
f

x

是一个具体的解析式表示时，它的定义域就是指 使这个式子有意义的实数
x
的集合．比如求函数
f

x
< br>x1
1
x1
的定义域，就是求使
x1
1
x1
有意义的实数
x
的集合．这种给出具体解析式的函数的定义域比较简单；但当函 数
yf

x

只是这种抽象符
号给出时，对它的定义域的 理解就不那么容易了．
我们先看两个比较简单的问题： （１）已知
f

x


（２）已知
g

x

1x1< br>，求
g

x1

的定义域．
x

2x

，求
f

x1

的定义域； 比较容易得到：
f

x1



x1
1x

，
g

x1

1 x
．而且
f

x1

与
g

x 1

的定义域都是

x1x1

，因为这时函数< br>f

x1

和
g

x1
都有具体的解析式，求它们的
定义域就显得比较简单，当然前提是：能从已知的
f

x

与
g

x

的解析式求出
f

x1

和
g

x1

的 解析式．
可以发现上述两个不同的函数
f

x

与
g

x

的定义域都是

x0x2

，进一步我们发现
都是

x1x1

．这似乎表明：不论< br>f

x

是
f

x1

与
g

x1

的定义域同样有相同关系，
怎样的函数，如 果它的定义域是

x0x2

，那么
f

x 1

的定义域必是

x1x1

．事
实确是 如此．
为此我们首先要清楚“
yf

x

的定义域是集 合
A
”到底是什么意思．
这里有两层意思：
【1】首先，定义域指的是自变量的取值范围为
A
；
．．．
【2】其次，“
f
”的对象必须在定义域
A
内．
．．
2

换句话说，
yf

x

的自变量
x
具有双重身份，所以这两层意思并非简单的一致．下面的例题
就 可以说明分层的必要性．
例：（1）已知
f

x

的定义 域为

1,2

，求
f

x1

的定义域；
（2）已知
f

x1

的定义域为

1,2

，求
f

x

的定义域；
（3）已知
f

x1

的定义域为

1 ,2

，求
f

x
2

的定义域
分析：（1）由已知并根据【2】，“
f
”的对象必须在

1,2

内，而
f

x1

中“
f
”的对象< br>是
x1
，所以

x1



1,2

，即
1x12
．
所以
0x1
，由【1】知
f

x1

的定
义域为

0,1

；
（2）
f

x1

的定义域为

1,2

，由【1】知
1x2
，所以
f

x1< br>
中“
f
”的对象
x1
满足
2
x1 3
，由【2】知
f

x

的定义域为

2 ,3


（3）由（2），“
f
”的对象
x1
满 足
2
x13
，而
f

x
2

中“
f
”的对象是
x
2
，所
以
2x
2
3
，即
3x2
或
2x3
．
故fx
2

的定义域是

3,2

2 ,3


只有对上述两层意思理解清楚了，再来用“换元法”解才变得理所当然，因为 “换元法”
的实质是使自变量与对象变得一致．
．．．．．
3 函数
yf

x

的图象变换
如果函数的解析式已知，作 它的图象就可以用最基本的描点法，但是并不是作每一个函数
的图象都要这样进行，尤其是所作函数与基 本的、熟悉的函数有紧密的关系时，我们通常会借
助于这些最基本的函数图象（一次、二次函数、反比例 函数、指数对数函数、三角函数等），
也就是把基本函数的图象做参照．当然所谓的借助，实际上是通过 平移、伸缩、对称等手段实
现的．虽然函数
yf

x

的 抽象形式使我们在图形变换过程中难以把握，但根据其规律的确
定性含义，我们又可以通过特例来认识规 律．如
yf

x

与
yf

x1< br>
的图象关系就可以从
3

2
yx
与y

x1

图象关系；同样
yf

x< br>
与
yf

x

、
yf
< br>x

、
yf

x

、
2yf

x

、
yf

x

等的图象关系都可以通过适当的最基本的初等函数做参照而获得，并
加深对一般规律的认识。如已知< br>yf

x

的图象（如下第一图），可以作出
yf
x

，
yf

x

、
yf

x

、
yf

x

、
yf

x

、
y1f

x
、
yf

x1

、
yf
< br>1x


等函数的图象依次如下：


4 对函数
yf

x

的反函数
yf
1
x

的理解
函数
yf

x

中< br>y
随变量
x
的变化而变化，但如果作为方程
f

x< br>
y0
，它表示的是
x
与
y
之间的相互制约关系 ．这样函数有反函数的实质就是：无论给出
x
、
y
中的哪一个，另一
4

个变量通过这个方程被唯一确定．
（1）
yf
< br>x

与
xf
1

y

的关系

y

是一样的，它们反映的图象也是相同的．但是就自变量
1< br>作为方程
yf

x

与
xf
1
与应变量的相对关系而言，一般是不一样的．因此我们把
xf
函数．当然，有些函数与它的 反函数是一样的，如
y
函数的函数未必是单调函数）．
（2） 函数
x f
1

y

叫做函数
yf

x

的反
k
x


k0

等（这个例子 也说明，有反

y

与
yf
1

x< br>
相同
1
当函数
yf

x

有反函数时，由
yf

x

得到
xf
有同学会 问为什么还要改写成
yf
变？改变后的形式有什么好处？
1
这个函数已 经是它的反函数，

y

，
为什么可以这样改

x

呢？这个问题实际上有两个方面：
我们知道，判断两个函数是否相同只要考察这两个 函数的三要素是否一致，这从映射的角
度很容易理解
xf
1

y

与
yf
1

x

是相同的函数；由 于函数
y
1
f

x

与函数
xf< br>1

y

的自变量与应变量的相对关系不一致（
xf，无法

y

的自变量轴是
y
轴，应变量轴是
x
）
在同一直角坐标系里进行比较，而改写后则可以在同一坐标系里同时对比研究，我们知道它 们
的图象具有关于直线
yx
对称这个显著特征，所以通常把
xf
（3） 函数
yf

x

与
yf
函数
yf

x

与
yf
1
1
1
y

写成
yf
1

x

．

x

的图象关系

x

的图象 关系主要有三方面：一是对称关系，二是单调性，三
是公共点判断．与前者相关的一个重要结论是“如果 两个函数的图象关于直线
yx
对称，那
么这两个函数互为反函数”．与后者有关的经 常发生的误解是“
yf

x

与
yf
如果有交 点，那么交点都在直线
yx
上”．比较明显的反例是函数
y
x
数 重合的情况，我们可以通过电脑演示看到一般的
ya
与
ylog
1
x

的图象
1
x
。当然这是两个函
a
x
的图象关系随着
a
的改
变，发现它们对称关系不变但是交点的位置不只在 直线
yx
上．比较容易理解的是它们的单
5

调性是一致的．当然，具有单调性的区间未必相同。
5 与
f

x

有关的单调性
我们知道证明函数的单调性有一 般的格式，即首先在要证明的区间上设任意两个有大小关
系的变量，然后根据它们所对应的函数值的大小 关系是否与变量的大小关系一致或相反来确定
函数的单调性．如果函数关系是具体的，它的单调性就比较 容易解决，因为函数值的大小关系
可以通过具体的函数关系式的值的大小来比较；如果函数关系是抽象的 ，函数值间的大小不能
直接比较，而是通过条件的转化来得到。例如：“定义在R上的偶函数
f

x

在(－∞, 0) 上是
减函数，证明：
f

x

在 (0, ＋∞)上是增函数．”
这是课本上的例题，如果你理解了这个问题的实质是转换、化归，那么你面对这 一类问题
时心里就有底了．在此再予强调：首先设
x
1
,x
2


0,

且
x
1
x
2
，［而不是设
；其次是转换变量所在范围，以便运用条件中涉及的函数值的大小关系．即
x1
,x
2


,0

］
由
0
x
1
x
2
得
0
x
1
x
2
从而
x
1
,x
2


,0

．因为
f

x

在(－∞, 0) 上是减函数，
所以
f

x
1

f
< br>x
2

．又因为
f

x

是偶函 数，所以
f

x
1

f

x
2

．这样当
x
1
,x
2


0, 

且
x
1
x
2
时，
f
< br>x
1

f

x
2

．故
f

x

在 (0, ＋∞)上是增函数．
不妨练习：
f

x

是定义在R上的奇函数，在区间

a,b


ab0

上
f

x

是减函数，
且
f

b

＞0．求证：

f

x


在区间

b,a

上 是增函数．
2
6 与
f

x

有关的方程的含义
（1）如果函数
y f

x

有反函数，且定义域为
A
，值域为
B< br>，那么有：
f
1

f

x


x
，对一切
xA
成立；且
ff

1

x


x
，对一切
xB
成立．这两个恒等 关系
从函数与其反函数的定义（关系）即可知道，它们的作用在于有关反函数的问题未必要求出反
函数．如：已知
f

x

x2
，求
f
x1

3

．显然这个函数的反函数我们还不会求，但是我们
 1
是方程
t2
t
3
1
可令
f
1< br>
3

=
t
，则
ff

1

3


f

t

，所以
3 f

t

t2
t
．明显地，
t
t< br>的解，而函数
f

t

又明显是增函数．所以方程
t 23
的解唯一．故
f

3

=1．
6 < /p>

（2）如果函数
yf

x

对于定义域内任 意变量
x
都有
f

x

f

x

或
f

x

f

x< br>
成立，那么这个函数是奇函数或偶函数，它们的图象分别关于原点和
y
轴对称 ，这种对称是函
数自身的图象对称，不是两个函数之间的互对称．一般地，函数
yf

x

定义在
R
上，（1）
如果对任意实数
x满足
f

x

f

2ax
，那么
yf

x

的图象关于直线
xa
对 称；（2）如
果对任意实数
x
满足
f

2ax

2bf

x

，那么
yf

x
的图象关于点

a,b

对称．（3）如
果对任意实 数
x
满足
f

x

f

x2 a

,那么
yf

x

的图象具有周期规律，且
T2a
是它的
一个周期．
上述
f

x< br>
f

2ax

与
f

x
f

x2a

两个条件比较容易混淆，另外图象关于直线
xa
和
xb
同时对称，或关于点

a,0
< br>和线
xb
同时对称，或关于点

a,0

,

b,0

同时对称
的函数都是周期函数，这里不再展开．



参考资料

曾国光 《中学生函数认知发展研究》，《数学教育学报》2002，2
王德明 《关于
yf

x

的一些问题》，《拉萨教育》1994，1
祁正红 《抽象函数的周期》， 《中学数学教学》2005，5

7