有条件录取-实习个人小结

方程
x
2
y
2
D
1
xE1
yF
1
0
与
x
2
y
2
D
2
xE
2
yF
2
0

相减后所得的直线方程的几何意义
在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙
O< br>1
x
2
y
2
D
1
xE
1yF
和⊙
O
2
：
1
0
x
2
y
2
D
2
xE
2
yF
2
0< br>的方程相减所得到的直线l：

D
1
D
2

x

E
1
E
2

yF
1
F
2
0
表示两圆公共弦所在直线方程。但很多同学在用这
个结论时没注意 到前提条件必须是两圆相交。如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线
l，但l的几何意义就改变了 。因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l的几何意
义。我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交
22
设
P
1

x
1
,y
1

、
P
2

x
2
,y< br>2

是两圆的交点，则有
x
1
y
1
D< br>1
x
1
E
1
y
1
F
1
0
和
2
x
2
y
22
D
1
x
2
E
1
y
2
F
1
0
成立， 即
P
1

x
1
,y
1

、
P
2

x
2
,y
2

满足方程
(x
2
y
2
D
2
xE
2
yF2
)
(x
2
y
2
D
1
xE< br>1
yF
1
)0

即

D
1D
2

x

E
1
E
2

yF
1
F
2
0
。所以直线l表示两圆相交弦所在直 线。
二．两圆相切（内切或外切）
当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最 终重合为一点，此时两圆外切，
同时与两圆相交的直线l也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两外切 圆的过同一切点的
公切线。因此，直线l：

D
1
D
2< br>
x

E
1
E
2

yF1
F
2
0
表示两外切圆的过同一切
点的公切线。当把两相交 的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时
两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l成为两内切圆的
过同一切点的公切线。因此，直线l：
切圆 的公切线。例如，圆
O
1
：

D
1
D
2

x

E
1
E
2

yF< br>1
F
2
0
表示两内
2
2

x a

2
y
2
a
2
与圆
O
：< br>
xb

y
2
b
2
相切
于原 点，那么两圆相减得：
x0
，该直线与两圆相切于原点。下面就两圆外切情况加以证
明。
22
D
1
2
E
1
2
4F
1
D
2
E
2
4F
2
2
设圆
O
1
，圆
O
2
的半径分别为
r
1
,r2
，则
r
，
r
2

。
44
2
1
由两圆外切得：

D
1
D
2
< br>E
1
E
2







r
1
r
2
，化简得：
2
22

2
即：
22
4r
1
r
2D
1
D
2
E
1
E
2
2

F
1
F
2

D
1
D
2E
1
E
2
F
1
F
2
2r1
r
2
22
又

222
D
1E
1
4F
1
D
2
2
2
E
2
4F
2
r
，
r
2

44
2
1
22
D
1
E
1
2r
1
2
2F
1
，，即：

22
D
2
E
2
2

2
2r
2
2
2F
2
。利用直线Ax+By+C=0分线段
A

x
1
,y
1
B

x
2
,y
2

的比为
22


Ax
1
By
1
C
Ax< br>2
By
2
C
，那么直线l分
O
1
O2
的比



2

2


DE


D
1
D
2

< br>

2



E
1
E
2



2

F
1
F
2

2

2

D

E

< br>D
1
D
2




1



E
1
E
2



1

F
1
F
2
D
1
2
E1
2
D
1
D
2
E
1
E
2F
1
F
2
2r
1
2
2F1
F
1
F
2
2r
1
r
2
F
1
F
2
2222

=

222
D
2
E
2
D
1
D
2
E
1
E
2
2r
2
2F
2
F
1< br>F
2
2r
1
r
2
F
1
F< br>2
F
1
F
2
2222
=
r
1
。又
k
O
1
O
2
k
l
 1
，所以
O
1
O
2
⊥l（当直线
O
1O
2
与直线l的斜率不存在时也成立）；
r
2
且
O1
O
2
r
1
r
2
，所以点
O1
到直线l的距离为
r
1
，点
O
2
到直线l的 距离为
r
2
。所以直线
l与两圆相切。
三．两圆相离
2 2
这里首先得了解式子
xyDxEyF
的含义。因为圆的方程有两种表示，即
22
x
2
y
2
DxEyF

x x
0



yy

r
2
 0
。当点P（x，y）在圆外时，式
子
x
2
y
2
DxEyF
22

xx
0

2

yy
0

2
r
2
表示点P到圆的切线长 。因而，
22
对直线方程
(xyD
2
xE
2
yF
2
)(xyD
1
xE
1
yF
1< br>)0
可以变形为：
x
2
y
2
D
2xE
2
yF
2
x
2
y
2
D
1
xE
1
yF
1
，即点P到两圆的切线长相等。
因此，直线l的几何意义是：到两相离圆的切线长相等的点的集合。更进一步，如果两圆的
半径相等， 直线l就是两圆的对称轴。
四．两圆内含
同“三”易知，直线l上的点到两圆的切线长相等。
（注：以上两圆非同心圆）
五．范例
22
例：已知圆
O
1
与圆
O
2
：
xy1
外切于点O，且两圆的过点O的公切线为
yxb
，

已知圆
O
1
的圆心落在直线上
xy4
， 求圆
O
1
的方程。
解：易得
b2
。设圆
O< br>1
：
x
2
y
2
1

xy 20
，即：




x
2
y2


x

y2

10
，圆 心坐标

,

落在直线
xy4
，解得
4
。

22

所以圆
O
1
的方程 为
x
2
y
2
4x4y4210
。
最 后，利用《几何画版》动画演示圆
O
1
，圆
O
2
，直线l的 位置关系。