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第十讲 重心和形心

目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。



绪论

第一章 静力学基本概念

第二章 平面力系

第三章 重心和形心

教学重点：分割法和负面积法计算形心。

教学难点：对计算形心公式的理解。

教学内容：

§3-4 重心和形心

一、重心的概念：

1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。

2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。

3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。

无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。

二、 重心座标的公式：

(1)、重心座标的公式


第四章 轴向拉伸与压缩

第五章 剪切与挤压

第六章 圆轴的扭转

第七章 平面弯曲内力

第八章 梁的强度与刚度

第九章 强度理论

第十章 组合变形

第十一章 质点的运动

第十二章 刚体基本运动

第十三章 点的合成运动

第十四章 刚体平面运动

第十五章 功和动能定理




三、物体质心的坐标公式

在重心坐标公式中，若将G=mg，G
i
＝m
i
g代入并消去g，可得物体的质心坐 标公式如下：



四、均质物体的形心坐标公式

若物体 为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V
i
，则G=ρgV,G
i＝ρgV
i
，代入重
心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：



式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。

五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：



令式中的∑A
i
.x
i
＝A.x
c
＝S
y
；

∑A
i
.y
i
＝A.y
c
＝S
x


则S
y
、S
x
分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。

六、物体重心位置的求法 工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：

1、对称法

凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一 定在它的对称面、对称
轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。



2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常用的
试验法有悬挂法和称重法。

（1）、悬挂法

利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。

悬挂法确定物体的重心方法见图


(2）、称重法


对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位
置。 例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。




设连杆的重力为G ,重心 C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B
端的 约束力F
B
,

则由 ∑M
A
(F)=0 F
B
.L－G.x
c
＝0

x
c
＝F
B
.LG

(3)、分割法：

工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割< br>为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的
形心位置。此法称为分割法。

下面是平面图形的形心坐标公式：

(4)、负面积法：

仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。

3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。

下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。




四、求平面图形的形心举例

例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。

解:

方法一（分割法）：

根据图形的组合情况，可将该截面分割成

两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩形

的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形Ⅰ，

Ⅱ的面积和形心坐标分别为

A
1
=120mm×12mm＝1440mm

2
x
1
＝6mm

y
1
＝60mm

A
2
＝（80-12）mm×12mm＝816mm2

x
2
＝12mm＋（80-12）20=46mm

y
2
＝6mm


即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）


方法二(负面积法)：

用负面积法求形心。计算简图如图。

A
1
＝80mm×120mm＝9600mm
2

x
1
＝40mm y1＝60mm

A
2
=－108mm×68mm＝－7344mm
2


x
1
＝12mm＋（80－12)mm2=46mm

y
1
＝12mm＋（120－12)mm2=66mm



由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。


例2 试求如 图所示图形的形心。已知R＝100mm，r
2
＝30mm，r
3
＝17mm 。

解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出x< br>c
，将图形看成由
三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为

（1）、半径为R的半圆面：

A
1
＝
π
R
2
2＝
π
×(100mm)
2
2＝1 5700mm
2


y
1
＝4R(3
π
) ＝4×100mm(3
π
)＝42.4mm

(2）、半径为r
2
的半圆面

A
2
＝
π
(r
2
)
2
2＝
π
×(30mm)
2< br>2＝1400mm
2


y
2
＝－4r
2< br>(3
π)
＝－4×30mm(3
π
)＝－
12.7mm

（3）、被挖掉的半径为r3的圆面：

A
3
＝－
π
(r
3
)
2
＝－
π
(17mm)
2< br>＝910mm
2


y
3
＝0

(4）、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得



即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）