teamwork-工商行政管理局年检

工程力学公式大全
第一章：
力矩 用符号MO（F）表示。即

M

F

Fh2ABO
O

力矩矢量 描述力的转动效应

M

F

rF

O

力矩矢量的模描述转动效应的大小，它等于
力的大小与矩心到力作用线的垂直距离（力
臂） 的乘积，即
M
O

F

Fh＝Frsin



为矢径r与力F之间的夹角。


平面力系的合力对平面上任一点之矩等于
力系中所有的力对同一点之矩的代数和
< br>F
R

M
O

F
1

 M
O

F
2



M
O

F
n


M
O
O
R
O
1
O
2
O
n
或者简写成

F
R

M
O

FM
M
O< br>F
i
i

O
F
R


M< br>O
i
i
1
1
n
n

—


力偶矩

M






M
O

F

M
O

F


Fh

第二章：
一主矢：
有任意多个力所组成的力系
（F1,F2…Fn),的矢量和:
n

F

Fi

i1
二主矩：
力系中所有的力对同一点O之矩的矢量和
用表示：

n

(Fi)
M
0


M
0
i1

空间任意汇交系在oxyz坐标中投影表达式：
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F
x


F
ix
i1
n
F
y

F
iy
i1
n
F
z


F
iz
i1
n
2

对于空间任意力系
M
主矩的分量表达式为
M
Ox
Ox
＝
＝
n
n



M

O
F
i
i
Oi


i


1< br>1

x
x

n
M

n
< br>Oy
Oy
＝

M

n
n


Oz
Oz
＝




M
OO

F
i
i
i


i

1
1

y
y


M
OO

F
F
i
i

i

i

1
1



z
z
第三章 静力学平衡问题
平面一般力系的平衡方程：

F
x
0

F
y
0

M
o
(F)0





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—







3

其他形式：
（1）

F
x
0

M
A
(F)0

M
B
(F)0

（2）

M
A
(F) 0

M
B
(F)0

M
C
(F)0

空间力系的平衡条件：
点的主矩均为零

n
F
ix
0
i1

n
F
iy
0
i1< br>
n

F
iz
0
i1





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—

n
M
x
(F
i
)0
i1

n
M
y
(F
i
)0
i1
n


M
z
(F
i
)0
i1

4
力系的主矢和对任一

—
第四章：
正应力
切应力
F
P1

lim
Δ
F
N
Δ
A
0
Δ
A
Δ
F
Q
Δ
A


y


A
xy
< br>lim
Δ
A
0
τ
xy

dAF
Qy
F
Qy

τ
xz


F
Qz

M
x



A
xz
dAF
Qz
x




A
xy
dA

z

F
P2








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z
5

—
正应变
du

x

dx









剪应变
(


直角改变)


量




x
E

x
,

x

x
E


胡克定律





G

,


G

式中，E和G为材料有关的弹性常数：
E为弹性模量或杨氏模量；G为切变
模量。






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6

—
第五章总结公式：
1.正确画出轴力图，计算出各个截面的轴力
2.注意拉压变形以及拉压产生的正应力和切
应力
其中 最大正应力发生在垂直于轴线处
σα=pα=σ0cosα
最大切应力发生在与轴线成45°角
时 τα= pα=
σ=
根据胡克定律σ=Eε得 拉压变形
∆l= （其中EA
为拉压刚度）
=∆bb
泊松比 μ=-
强度校核 σmax<[σ]
同时 拉压变形满足叠加原理。可以通过拉
压变形建立变形协调方程，解决拉压静不定
问题


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7

—
第六章：
作用于构 件的外扭矩与机器的转速、功率有
关。在传动轴计算中，通常给出传动功率P
和转速n，则传动 轴所受的外加扭力矩Me
可用下式计算：


如果功率P的单位用马力（1马力
=735.5 N•ms），则

P马力 ]
]P
[
[马力
M7024[N
M7024[N

m]
m]
n[rmin]
n[rmin]


剪切胡克定律
e
e
P

M
e
9549[Nm]
n


当在弹性范围内加载时，剪应力与剪
应变成正比:


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
G


8

—

 G

d







dx
d


G

G

dx




dA

M
x

AA
d

M
x
x

dxGI
GI
P
P
式中 GI
P
—
扭转刚度；

d


G

G

dx
I
P


dA
A
A
2
2
I
P
—
横截面的极惯性矩。


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9

—
d


G

G

dx
d

M
x

dxGI
GI
P
M
x
x






I
P
P


对于直径为 d 的实心圆截面

43

π
d
π
d
,W
P


I
P

32
32
16
16

对于内、外直径分别为d 和 D
的圆环截面
πD1－

IP
,
P
32
32

π－
π
D
D

1
1－


I,
,I


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4
4

4
4


4
4
πD1－


W
P

P
16
16

3
3
34
3
πD1－

πD1－

4
W
W< br>P
P


16
16

4
4
4
4
P
P

10
32
32

—
受扭圆轴的强度设计准则
M
x,max

max
[

]
max
W
p
第八章




1.弹性范围内的挠度曲线在一点的 曲率在这一点处横截面上的弯矩、
弯曲刚度之间关系：





M
＝

EI
1

EI ---------横截面的弯曲刚度
2. 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的 改变称
为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：
1）横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移
（horizontal displacement），用u表示。
2）横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；
3）变形后 的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为
转角（slope），用

表示 ；
在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：
dw
tan
dx
在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。
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11

—
于是有

dw


dx

小挠度微分方程

力学中的曲率公式


数学中的曲率公式







对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M (x)，代
入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转
角方程：




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12
M
＝

EI
1

d

w

1















2

ρ

1































d
2

w
dx
2


3

dw



2


2






M
EI

dx

2

M
dx





































M
M

x
x

d
d
w
w
d








d
x
x


C
C
dEI
d
x
xEI
l
l

M

x



w




d
d
x
x

d
x
x


Cx
Cx


D
D
d
EI
l
l

l
l

< /p>

—
第九章：
9-2.平面应力状态中任意方向面上正应力与切应力的表达式:


x< br>＋

y

x
－

y

< br>x

＝＋cos2

－

xy
sin2

22



xy
x

y

xy



9-3.平面应力状态的三个主应力:

＝

－

2
sin2



cos2


2
xy
2

xyxy





2
xy
2

xyxy

将三个主应力的代数值由大到小顺序排列
123

切应力有两个极值,二者 大小相等,正负号相反,其中一个为极大值,另一个为极小值,其数值由
下式确定:

1
2

2
＝4
xyxy


2

一点应力状态中的最大切应力,为下述三者中的最大者


13
23

12



9-5.平面应力状态下的广义胡克定律:


＝

< br>
2
1

2




< br>4



＝0


＝
< br>

2
1

2



< br>
4














＝

－

2


＝

－

2


＝

－

2

max



＝

1
－

3
2
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13

同一种各向同性材料弹性常数间的关系:

体积改变能密度

微元的畸变能密度

9-6.第一强度理论
应力状态发生脆性断裂的失效判据:
相应的设计准则(强度条件):


第二强度理论
应力状态发生脆性断裂的失效判据:
相应的设计准则(强度条件):

第三强度理论
应力状态发生屈服时的失效判据:
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—
14

—

1

3
[

]

s
相应的设计准则:(强度条件)


x
＋

y

x
－
n

s

y

x

＝＋cos2

－

第四强度理论


2
xy
sin2

x
－

2
y
x

y

＝
2
sin2


xy
cos2

任意应力状态发生屈服时的失效判据
相应的设计准则(强度条件)





＝
x


y
2
xy

2
< br>1
2


x


2
y
< br>4






＝

xy

1
2
2




2xy

4
xy



＝0
2


1

2


3
9-2.平面应力状态中任意方向面上正应力与切应力的表达式 :







4

2
xy
二.


＝
1
2
2
x

y



9-3.平面应力状态的三个主应力:








将三个主应力的代数值由大到小顺序排列
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15

—

切应力有两个极值,二者大 小相等,正负号相反,其中一个为极大值,另一个为极小值,其数值由
下式确定:



一点应力状态中的最大切应力,为下述三者中的最大者






9-5.平面应力状态下的广义胡克定律:

< br>＝

2
－

3
同一种各向同性材料弹性常数间的关系

1
－

3


＝

1
－

:
2

体积改变能密度
2


＝
2

2


3
max



＝

1
－
2

微元的畸变能密度

9-6.第一强度理论
应力状态发生脆性断裂的失效判据:
相应的设计准则(强度条件):


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16

—
第二强度理论
应力状态发生脆性断裂的失效判据:
相应的设计准则(强度条件):

第三强度理论

应力状态发生屈服时的失效判据:
相应的设计准则:(强度条件)

第四强度理论

1

3
[

]

s
n
s

任意应力状态发生屈服时的失效判据
相应的设计准则(强度条件)







第十一章

细长杆件承受轴 向压缩载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为
稳定性失效(failure by lost stability)，又称为屈曲失效(failure by buckling)。

当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下，压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。

稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临界点（critical point）。临界点所
对应的载荷称为临界载荷（critical load），用FP表示。
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17

—

精确的非线性理论分析结果表明，细长压杆在临界点以及临界点以后的平衡状态都是稳定
的。

欧拉公式

2
πEI

F
Pcr

2

l





l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效长度(effective length

为反映不同支承影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后的正弦
半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。





两端铰支 一端自由， 一端铰支， 两端固定


＝1.0 一端固定 一端固定
＝
0.5


＝2.0

＝0.7

注：临界载荷公式只有在压杆的微弯曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。

长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量，
用
表示，由下式确定：

l


＝
i



其中，i 为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：







i

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I
A

18

—




长细比反映了压杆长度、支承条件以及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。

用长细比表示的细长杆临界应力公式



π
2
EI



F
2
Pcr




π
2
E
cr

2

AA



细长杆——长细比
大于或等于某个极限值

p时，压杆将发生弹性屈曲。


π
2
EI


F



2
2


Pcr

π
E
cr
2

AA


长中杆——长细比

小于

p，但大于或等于另一个极限值

s时，压杆也会发生屈曲。




cr
ab

其中a和b为与材料有关的常数，单位为MPa。

粗短杆——长细比

小于极限值

s时，压杆不会发生屈 曲，但将会发生屈服。




cr


s



临界应力总图(figures of critical stresses)
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19

（粗短杆）
（中长杆）
（细长杆）


令细长杆的临界应力等于材料的比例极限(图中的B点)，得到



2


P
＝
π
E


P


若令中长杆的临界应力等于屈服强度(图中的A点)，得到



s


s
＝
a－


b


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—
20