化学是一门以实验为基础的科学-南通会计证

B.1 截面的形心和静矩 Centroid and static moment of section


在杆件的应力和变形公式中，遇到一些几何量，例如面积 、静矩、形心位置、极惯性矩和轴惯性矩
等，这些量只与构件的横截面形状和尺寸有关，而与构件的受力 无关，称它们为截面的几何性质
截面几何性质的计算在分析杆的强度和刚度时非常重要，首 先应明确截面几何性质的定义，并熟练
地掌握其计算方法。
1. 形心与静矩

图示任一截面，选任一参考坐标系yoz，设截面形心C
的坐标为y
c
和z
c
，取微截面积dA，由合力矩定理可知，均质厚
度薄板中面的形心、或该板的 重心在yoz坐标系中的坐标为

，
（B.1-1）

图B.1-1
式中:，，分别定义为截面对z
轴和y轴的静矩。由公式（B.1- 1）可知，当y轴和z轴通过截
面形心时（即y
c
=z
c
=0），则 S
z
=S
y
=0；反之，当静矩S
z
=0时，说
明 z轴通过截面形心；而当静矩S
y
=0时，说明y轴通过截面形
心。此概念在确定梁的 中性轴时十分有用。




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2. 组合截面的形心与静矩
在工程实际中，经常遇到形状较为复杂 的截面，它们由
若干简单截面或标准型材组合而成，称为组合截面（图B.1-2）。
当确定它 们的形心时，可将其分割成n个部分，形心坐标为

，
（B.1-2）

式中A
i
为分割后的各面积，y
i
和z
i为A
i
的形心在参考系中的坐

标。
图B.1-2
式中


；，称为组合截面的静矩。
B.2 极惯性矩 Polar momet of inertia


1. 定义
任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在矢径为处取一微
面积dA，定义截面对原点O的极惯性矩为


图B.2-1

（B.2-1）
极惯性矩的量纲为长度的4次方（mm
4
），它恒为正。



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2. 圆截面的极惯性矩
图示圆截面，取微面积为一薄壁环，即（图B.2-2），
读者自行证明实心圆、空心圆和薄壁圆截面（图B.2-3）的极惯性矩分
别为：




图B.2-2

（B.2-2）
（B.2-3）


（B.2-4）


式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R
0
—薄壁圆平均半径。

图B.2-3

B.3 轴惯性矩 Second Axial moment of area and Parallel Axis Theory

1. 定义
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任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在坐 标为（y，z）
处取一微面积dA，定义截面对z和y轴的惯性矩为

，
（B.3-1）
其量纲为长度的四次方（mm
4
），恒为正。

图B.3-1

由于，于是得出极惯性矩和轴惯性矩之间的关系为

（B.3-2）

2. 简单截面的轴惯性矩
•
矩形：如图所 示高为h，宽为b的矩形，计算矩形截面对形心
轴z和y的惯性矩。取dA=bdy，则



图B.3-2
•
（B.3-3）
同理得：
圆形：如计算圆截面对形心轴y和z的惯性矩可借助公式（B.3-2）：
对于圆截面：，代入上式得：
于是，实心圆、空心圆、薄壁圆截面的轴惯性矩分别为


（B.3-4）
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（B.3-5）
（B.3-6）


式中，d—空心圆内径，D—空心圆外径，R
0
—薄壁圆平均半径。

3.平行轴间惯性矩的移轴公式
对简单截面而言，它们对自身形心轴的惯性矩很容易 计算，如矩形、圆形、三角形等，并有现成表
格可查附录C，本节研究截面对任一根与形心轴平行之轴的 惯性矩。如图B.3-3所示，设y
0
、z
0
为截面的一
对形心轴， 如果截面对形心轴的惯性矩为和，则截面对任一平行于它的轴y和z的惯性矩为：

，
（B.3-7）
上式称为惯性轴的移轴公式或称平行轴定理（Parallel axis theorem）。式中A为截面 面积，a
和b分别为坐标轴y
0
和y以及z
0
和z之间的垂直距离。
证明如下：
根据面积对z轴的惯性矩的定义，。
图B.3-3中微面积dA距z轴的垂直距离为y=y
0
+b，代入上式，得


式中，故，同理得
如为组合截面，则上式表示为

图B.3-3

，
（B.3-8）
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读者自行计算下图各截面对z轴的静矩和惯性矩：


图B.3-4



4. 例题
试计算三角形截面对形心轴z的惯性矩。

解：三角形形心位于距底边13h处，取
由如下比例式求出：
，式中可
，得，于是


图B.3-5
图示截面，求对形心轴z和y的惯性矩。
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解：截面对形心轴 惯性矩应为矩形截面对形心轴惯性矩和圆形截
面对形心轴惯性矩之差，即：
，

图B.3-6
试求I字形截面对形心轴z的惯性矩I
z
=？



图B.3-7





B.4 惯性积 Product of inertia

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1. 定义
任意形状的截面如图所示，设其面积为A，在坐标为（y，

图B.4-1
图B.4-2
2. 惯性积的移轴公式
z）处取一微面积dA，定义截面对z和y轴的惯性积为


（B.4-1）
显然，惯性积根据截面在坐标系的不同象限有正负之别，其量纲
是长度的四次方（mm
4
)。
当坐标轴之一为截面的对称轴时，惯性积I
yz
=0
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惯性积和惯性矩一样（图B.4-3），同样可以推导出它的移轴公式：


（B.4-2）
式中为截面对形心轴y
0
z0
的惯性矩，a和b分别为坐标轴y
0
和y以及z
0
和z之间的 垂直距离。
如为组合截面，则上式表示为

图B.4-3


（B.4-3）

3. 例题
试计算图B.4-4所示截面对y、z轴的惯性矩。
解：y
0
或z
0
均为对称轴，故


图B.4-4


试求上节图B.3-9所示截面对形心轴y、z轴的惯性积。
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解：形心C的坐标已知y
c
=44.57mm，z
c
=14.57mm
将截面分割为两个矩形，它们的形心分别为C
1
和C
2
，通 过形
心C
1
和C
2
且与y和z相平行之轴为两个矩形的对称的对称轴 ，故
第一个矩形：，，，
第二个矩形：

图B.4-5
代入公式，得：
，，，


B.5 转轴公式 Transformation equation

1. 转轴公式
图示 任意截面，假设该截面对任意轴y
1
和z
1
的惯性矩和惯性积分别为、和，本 节研究当
坐标轴逆时针旋转角之后，截面对新坐标轴y与z的惯性矩I
y
与I
z
以及惯性积I
yz
。步骤如下:
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•
先求出两个坐标系之间的几何关系，由图B.5-1可以看出，
任 一点K处的两个坐标系之间的几何关系为


•

代入惯性矩和惯性积的定义式中，得

图B.5-1

于是，得：

同理，得：



以上三式称为转轴公式。将（B.5-2）与（B.5-3）相加，得出：
（B.5-3）
（B.5-2）

（B.5-1）



（B.5-4）
由上式可知，截面对于通过同一点的任一对坐标轴的两个惯性矩之和恒为常数。
推论1 由公式（B.5-1）可知，当
旋转至时，必有一处。
时，；当时，，表明当坐标由
推论2 对于通过同一点的所有坐标系中，一定存在一对特殊的坐标系，截面对其中一轴的惯性矩最大，
而对另一轴的惯性矩最小。

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2. 主轴与主惯性矩
定义：惯性矩的轴称为主轴(Principal axis)，对主轴
的惯性矩称为主惯性矩(Principal moment of inertia)。
设主轴方位角为，令式（B.5-1）等于零，


图B.5-2
得：

上式即可确定主轴的方位。
（B.5-5）
将公式（B.5-5）代入式（B.5-2）和（B.5-3），得主惯性矩：
（B.5-6）

用极值条件
一个为最小值。
，求得的之 与公式（B.5-5）相同。证明了在上述的两个主惯性矩中，一个为最大值，另
联合式（B.5-6） 、（B.5-7）和（B.5-5），可得主惯性矩的另一表达式：




（B.5-9）




3. 形心主轴、主形心惯性矩
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通过形心的主轴称为形心主轴(Principal centroidal axis)，相应的主惯性矩称为主形心惯性矩
(Principal centroidal moment of inertia)。
当截面有一根对称轴时，截面对于和对称轴互垂的任一对轴的惯性积为零，说明对称轴也是主轴。


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