工程力学教案 (2)
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青 岛 黄 海 学 院 教 师 教
案
年
月 日
课 时 2 课 题 3.4 重心和形心
教学目的 重心的求解公式
教学重点 形心的公式
教学难点
用分割法和负面积法求解题目
教学关键点 巧妙利用方程解决复杂的平衡问题
教
具 三角板、教鞭、圆规
板书设计
重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很
有用的，必须要加以掌握。
3、物体的重心：物体的重力的合力
作用点称为物体的重心。
2、重力的概念：重力就是地球对物体的
吸引力。
重心座标的公式：
(1)、重心座标的公式
分割法：
工程中的零部件往往是由几个简单基本
图形组合而成的，在计算它们的形心时，
可先将其分割为
几块基本图形，然后利用
形心计算公式求出整体的形心位置。
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师 教 案
教 学 内 容 及 教 学 过 程
新课导入：
目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。
教学重点：分割法和负面积法计算形心。
教学难点：对计算形心公式的理解
提示与补充
复习上节课所学习内
容
根据以前物理知识回
顾重心的概念
质心的公式与重心公
式之间的联系
新课讲授：
3-4 重心和形心
一、重心的概念：
1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。
2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。
3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。
无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。
二、 重心座标的公式：
(1)、重心座标的公式
三、物体质心的坐标公式
在重心坐标公式中，若将G=mg，G
i
＝m
i
g代入并消去g，可得物体的质
心坐 标公式如下：
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形心概念与体心概念
四、均质物体的形心坐标公式
之间的联系
若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为V
i
，则
G=
ρgV,G
i
＝ρgV
i
，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标
公式如下：
式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置
重合。
重心的确定方法
五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：
令式中的∑A
i
.x
i
＝A.x
c
＝S
y
；
∑A
i
.y
i
＝A.y
c
＝S
x
则S
y
、S
x
分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。
六、物体重心位置的求法 工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：
1、对称法
凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一
定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。
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定其 重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。
（1）、悬挂法
利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的
交点上。
悬挂法确定物体的重心方法见图
称重法
(2）、称重法
对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称
重法来测定其重心的位置。 例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。
多做题熟练解题步骤
设连杆的重力为G ,重心
C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点
的距离L，由磅秤读出B端的约束力F
B
,
则由 ∑M
A
(F)=0
F
B
.L－G.x
c
＝0
x
c
＝F
B
.LG
(3)、分割法：
工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的
形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置
与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。
下面是平面图形的形心坐标公式：
2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确
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(4)、负面积法：
重心的求解方法：分
仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。
割法和负面积法
3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计
算公式。
下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。
四、求平面图形的形心举例
例1
热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。
解:
题型分类
方法一（分割法）：
根据图形的组合情况，可将该截面分割成
两个矩形Ⅰ，Ⅱ，C1和C2分别为两个矩
形
的形心。取坐标系Oxy如图所示，则矩形
Ⅰ，
Ⅱ的面积和形心坐标分别为
A
1
=120mm×12mm＝1440mm
2
x
1
＝6mm
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y
1
＝60mm
A
2
＝（80-12）mm×12mm＝816mm2
x
2
＝12mm＋（80-12）20=46mm
y
2
＝6mm
例题分析
找同学到黑板解题
即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）
方法二(负面积法)：
用负面积法求形心。计算简图如图。
A
1
＝80mm×120mm＝9600mm
2
x
1
＝40mm y1＝60mm
A
2
=－108mm×68mm＝－7344mm
2
x
1
＝12mm＋（80－12)mm2=46mm
y
1
＝12mm＋（120－12)mm2=66mm
由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。
例2 试求如图所示图
形的形心。已知R＝100mm，r
2
＝30mm，r
3
＝17mm。 <
br>解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求
出x
c
，将图形看成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为
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（1）、半径为R的半圆面：
A
1
＝πR
2
2＝π×(100mm)
2
2＝
15700mm
2
y
1
＝4R(3π)＝4×100mm(3π)＝
42.4mm
(2）、半径为r
2
的半圆面
A
2
＝π(r
2
)
2
2＝π×(30mm)
2
2＝
1400mm
2
y
2
＝－4r
2
(3π)＝－4×30mm(3π)<
br>＝－12.7mm
（3）、被挖掉的半径为r3的圆
面：
A
3<
br>＝－π(r
3
)
2
＝－π(17mm)
2
＝
910mm
2
y
3
＝0
(4）、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得
即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）
课堂小结
1、形心坐标确定公式
2、形心求解方法
习题
1、熟练掌握摩形心坐标公式
2、做课后复习题
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