婚礼感谢词-文员工作

附录Ⅰ 截面的几何性质
§I−1 截面的静矩和形心位置
如图I−1所示平面图形代表一任意截面，以下两
y
dA
C
积分
y y
C
z
C
z

图I−1
z
S
z


ydA


A
S
y


zdA

A

（I−1）
分别定义为该截面对于z轴和y轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确
定物体重心的公式可得
O
利用公式（I−1），上式可写成
ydA


y
C
A


zdA


A
z
C
< br>
A




A
S
z
< br>y
C


AA


zdA
S
y


A
z
C


AA
< br>


A
ydA
（I−2）
或
S
zAy
C


S
y
Az
C


（I−3）

S
z


A


S
y

z
C


A

y
C


（I−4）
如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形，则由静矩的定义可知，整 个图
形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即：

< br>
S
z


A
i
y
ci


i1

n
S
y


A
i
z
ci


i1


（I−5）
式中A
i
、y
ci
和z
ci
分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标，n为简单图形的个数。
将式（I−5）代入式（I−4），得到组合图形形心坐标的计算公式为
n

Ay

ici

i1

y
c

n
A
i




i1

n< br>A
i
z
ci



z
c

i1
n

A
i



i1< br>

（I−6）
例题I−1 图a所示为对称T型截
0.6m
y

0.12m
Ⅰ

C
ⅠⅠ

C

0.4m
C
Ⅱ

y
C
Ⅱ

O

0.2m
y
Ⅱ

z

y
Ⅰ
面，求该截面的形心位置。
解：建立直角坐标系zOy，其中
y为截面的对称轴。因图形相对于y
轴对称，其形心一定在该对称轴上，
因此z
C=0，只需计算y
C
值。将截面
分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则
A
Ⅰ
=0.072m
2
，A
Ⅱ
=0.08m
2

y
Ⅰ
=0.46m，y
Ⅱ
=0.2m
例题I−1图 < br>n
y
c


Ay
i
i1
n
n
ci


A
i1
i
A
I
y
I
A
II
y
II
A
I
A
II

0.0720.460.080.2
0.323m
0.0720 .08

y
§
I−2

惯性矩、惯性积和极惯性矩

如图I−2所示平面图形代表一任意截面，在图形平面内 建立直角坐标系
zOy。现在图形内取微面积dA，dA的形心在坐标系zOy中的坐标为y和z，y
ρ
z

O
z

图I−2
dA

到坐标原点的距离为ρ。现定义y
2
dA和z
2
dA为微面积dA对z轴和y轴的惯性矩，ρ
2
dA为
微面积dA对坐标原 点的极惯性矩，而以下三个积分

I
z


y
2
dA

A


I
y


z
2
dA

A

2
I
P


ρdA

A

（I−7）
222

yz
由图（I−2）可见，，所以有
分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。
（I−8）
即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩AA
I
P


ρ
2
dA

(y
2
z
2
)dAI
z
I
y
之和。
另外，微面积dA与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积dA对y、z轴的惯性积，而积
分
I
yz


zydA
A

（I−9）
定义为该截面对于y、z轴的惯性积。
从上述定义可见，同一截面对于 不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性矩的
数值恒为正值，而惯性积则可能为正，可能为负， 也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单
位是m
4
或mm
4
。

§I−3

惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式

一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式
y

y
1
y

C
图I−3所示为一任意截面，z、y为通过截面
dA
z

形心的一对正交轴，z
1
、y
1
为与z、y平 行的坐标
轴，截面形心C在坐标系z
1
O y
1
中的坐标为（b，a），
z

z
1
已知截面 对z、y轴惯性矩和惯性积为I
z
、I
y
、I
yz
，
下面求截面对z
1
、y
1
轴惯性矩和惯性积I
z1
、I< br>y1
、I
y1z1
。

（I−10）
同理可得
y
1
a

O
b

z
1
图I−3

I
z
1
I
z
a
2
A

I
y
1
I
y
b
2
A
（I−11）

式（I−10）、（I−11）称为惯性矩的平行移轴公式。
下面求截面对y
1
、z
1
轴的惯性积
A
I
y
1
z
1
。根据定义
A
I
y
1
z
1


z
1
y
1
dA

(z b)(ya)dA

AAA
< br>A


zydAa

zdAb

ydA ab

dA
IaSbSabA

yzyz

由于z
、
y轴是截面的形心轴，所以S
z
=S
y
= 0，即

y
1
z
1
式（I−12）称为惯性积的平行移轴公式。

二、惯性矩、惯性积的转轴公式
II
yz
abA
（I−12）
图（I−4）所示为一任意截面，z、y为过任一点O的一对正交轴，截面对z、y轴惯 性
矩I
z
、I
y
和惯性积I
yz
已知。现将z、y 轴绕O点旋转α角（以逆时针方向为正）得到另一对
正交轴z
1
、y
1
轴，下面求截面对z
1
、y
1
轴惯性矩和惯性积














同理可得
I
z
1
、
I
y< br>1
、
I
y
1
z
1
。
y
1
y

z

z
1
y

α
O

dA
α
y
1
z
1
α
z

I
z
1

I
z
I
y
2
I
z
I
y
2
z
图

I−4
II
y
2
cos2

I
yz
sin2

（I−13）

I
y
1

I
z
I
y
2
cos2

I
yz
sin2

（I−14）
（I−15）
式（I−13）、（I−14）称为惯性矩的转轴公式，式（I−15）称为惯性积的转轴公式。 I
y
1
z
1

I
z
I
y< br>2
sin2

I
yz
cos2

§I−4

形心主轴和形心主惯性矩

一、主惯性轴、主惯性矩

< br>由式（I−15）可以发现，当α=0
o
，即两坐标轴互相重合时，
I
y
1
z
1
I
yz
；当α=90
o
时，< br>I
y
1
z
1
I
yz
，因此必定有这样的 一对坐标轴，使截面对它的惯性积为零。通常把这样的一
对坐标轴称为截面的主惯性轴，简称主轴，截面 对主轴的惯性矩叫做主惯性矩。
假设将z、y轴绕O点旋转α
0
角得到主轴z
0
、y
0
，由主轴的定义
I
y
0
z
0

从而得
I
zI
y
2
sin2

0
I
yz
co s2

0
0

tan2
α
0


（I−16）
2I
yz
I
z
I
y

上式就是确定主轴的公式，式中负号放在分子上，为的是和下面两式相符。这样确定的α
0角就使得
z
0
等于
max
。
由式（I−16）及三角公式可得
I
I
cos2

0
I
z
I
y
2
(I
z
I
y
)
2
4I
yz
sin2

0

2I
yz
2
(I
z
I
y
)
2
4I
yz


将此二式代入到式（I−13）、（I−14）便可得到截 面对主轴z
0
、y
0
的主惯性矩
I
z
0

I
y
0

二、形心主轴、形心主惯性矩
1
2

(I
z
I
y
)
2
4I
yz


22
< br>I
z
I
y
1
2

(I
zI
y
)
2
4I
yz

22
 （I−17）

I
z
I
y< br>通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。通过截面形心的主轴叫做形心主轴，截面对
形心主轴的 惯性矩叫做形心主惯性矩。
例题I−5 求例I−1中截面的形心主惯性矩。
解：在例题I−1中已求出形心位置为
，
C

过形心的主轴z0
、y
0
如图所示，z
0
轴到两个矩形形心的距离分别为 z
C
0
y0.323m
a
I
0.137m
，
a
II
0.123m

截面对z
0
轴的惯性矩为两个矩形对z
0
轴的惯性矩之和，即 2
I
z
0
I
z
I
I
A
I
a
I
2
I
z
II
Aa
IIII
I
I
3
0.60.120.20.4
3
2
0.6 0.120.1370.20.40.123
2
1212

0.3710m

截面对y
0
轴惯性矩为
24
I
y
0
 I
I
y
0
I
II
y
0
0.120.6
3
0.40.2
3
0.24210
2
m
4
1212

第六章 梁的应力
§6−1 梁的正应力
一、纯弯曲与平面假设
本节将推导梁弯曲时横截面上正应力的计算公式。 为了方便，我们先研究梁横截面上只有弯矩的情况，这种情况称为“纯弯曲”。如图6−1
所示的梁 ，在如图所示荷载作用下，中间CD段就属于这种情况，由其剪力图和弯矩图可以
看到，在CD段内的弯 矩M=Fa=常数，而剪力F
S
等于零。



(a)

A


(b)




(c)


M图
n


图6−1
我们先作如下的实验，观察到如下的一些现象：
q
(b)
F
S
图
C
a
C
l
D
a
B
n q
(a)
F
m
p
F
D
m p
A
图6−2
（1）变形前，梁侧面上 与纵向直线垂直的横向线在变形后仍为直线，并且仍然与变形
后的梁轴线（简称挠曲线）保持垂直，但相 对转过一个角度。
（2）变形前互相平行的纵向直线，变形后均变为圆弧线，并且上部的纵线缩短，下 部
的纵线伸长。在梁中一定有一层上的纤维既不伸长也不缩短，此层称为中性层。中性层与梁
横 截面的交线称为中性轴。
根据这些实验现象，我们对纯弯曲情况下作出如下假设：
1.平面假设：梁的横截面在梁弯曲后仍然保持为平面，并且仍然与变形后的梁轴线保持
垂直。
2.单向受力假设：梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互作用可忽略
不计。
dθ
中性层
m
n
p
m
O
1
a
n
p
b
O
2
q
中性轴
y
O
1
dx
O
2
ρ
q

二、正应力公式的推导






1．几何方面
相应的纵向线应变为
y
dx
dx

(6−1)
式（6−1）表明：梁的纵向 纤维的应变与纤维距中性层的距离成正比，离中性层愈远，
纤维的线应变愈大。








2．物理方面
σ

b
O
y
y
z
dA
z

x



y
h
σdA
图6−4
在弹性范围内正应力与线应变的关系为
将式（6−1）代入，得
σEε

σE
y
ρ

（6−2）
3．静力学方面
由图6−4可以看出，梁横截面上各微面积上的微内力 dF
N
=σdA构成了空间平行力系，
它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分 量
AA
，，

由截面法可求得该截面上只有弯矩M，即上式中F
N
，M
y
均等于零，所以有
A
F
N

< br>σdAM
y


zσdAM
z


yσdA
F
N


σdA0
A

（d）
M
y


zσdA0
A
（e）

由式（d）得
M
z


yσdAM
A
（f）
F
N


σdA

A
EydA
0
A
ρ

因E、ρ为常量，所以有

确定了中性轴的位置。
由式（e）可得
A
ydAS
z
0

（g）
即梁横截面对中性轴（z轴）的静矩等于零。由此可知，中性轴通过横截面的形心，于 是就
M
y


zσdA

A
因此
EzyE
dA

zydA0
A
ρρ
A

（h）
即梁横截面对y、z轴的 惯性积等于零，说明y、z轴应为横截面的主轴，又y、z轴过横截
A

zydAI
yz
0
面的形心，所以其应为横截面的形心主轴。
最后由式（f）可得
M
z


yσdAM
A
即

M

y

dA

A
Ey
2
A

dA
E


A
y
2
dA< br>EI
z


式中
I
z


y
2
dA
A
是梁横截面对中性轴的惯性矩。将上式整理可得
1



M
EI
z

（6−3）
由式（6−3）可知：曲率与弯矩M成正比，与EI
z
成反比。 在相同弯矩下，EI
z
值越大，
梁的弯曲变形就越小。EI
z
表明梁 抵抗弯曲变形的能力，称为梁的弯曲刚度。
将式（6−3）代入式（6−2），可得
σ

My
I
z

（6−4）
这就是梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式。

例题6−1 长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，
F
A
C
B
a
K
y
z
h2
h2

y=0.06m，a=2m，F=，求C截面上K点的正应力。






解：先求出C截面上弯矩
M
C
Fa1.510
3
2310
3
N m
截面对中性轴的惯性矩

将M
C
、I
z
、y代入正应力计算公式，则有
bh
3
0.120.18
3
I
z
0.58310
 4
m
4
1212

K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。 M
C
310
3
σ
K
y(0.06)3. 0910
6
Pa3.09MPa
4
I
z
0.583 10

§6−2 梁的正应力强度条件及其应用
一、梁的正应力强度条件
最大正应力发生在距中性轴最远的位置，此时
σ
max

而对整个 等截面梁来讲，最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上，距中性轴最远的位
置，即
M
y
max
I
z

σ
max
< br>M
max
y
max
I
z
W
z
引用符号

I
z
y
max

，则上式可改写成
σ
max


M
max
W
z

（6−5）
式中的W
z
叫做弯曲截面系数（或抗弯截面系数），它与梁的截面形状和尺寸有关。
对矩形截面
对圆形截面
bh
3
12
bh
2W
z

h26

W
z

正应力强度条件为

d
4
64
d2


d
3
32

σ
max


（6−6）
二、三种强度问题的计算
M
max


σ

W
z

根据式（6−6）可以求解与梁强度有关的三种问题。
（1）强度校核
（2）选择截面 此时应将式（10−6）改写为
W
z

（3）确定许用荷载 此时应将式（10−6）改写为

例题6−2 图a所示一矩形截面的简支木梁，已知l=4m，b=140mm，h=210mm，< br>q=2kNm，弯曲时木材的许用正应力[σ]=10Mpa，校核该梁的强度。
q

B
h
A

(a)

b
l


(b)


ql
2

8


例


解：先画梁的弯矩图（图b）。由梁 的弯矩图可以看出，梁中最大弯矩应发生在跨中截
面上，其值为
M
max

σ


M
max
W
z

σ

弯曲截面系数为
11
M
max
ql
2
210
3
 4
2
410
3
N.m
88

由于最大正应力应发生在最大弯矩所在截面上，所以有
bh
2
1
W
z
0.140.21
2
0.10310
2
m
3
66

所以满足正应力强度要求。
M
max
4 10
3

max
3.8810
6
Pa3.88 MPa[

]
2
W
z
0.10310

§6−3 梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件
一、矩形截面梁的切应力
矩形截面梁的切应力公式的推导，采用了下面的两条假设：
（1）横截面上各点切应力均与侧边平行。
（2）切应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离各点的切应力相等。



A

x




F

a
b


B
b
h
a
b
dx
图6−5

*
F
SS
z
τ

I
z
b
（6−8）
式（6−8）即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中：F
S< br>为横截面上的剪力；
S
z
*
为面积A
1
对中性轴的 静矩；I
z
横截面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。
对于矩形截面梁，由图6−7a可知
b
z
y
y
(a)
图6−7
A
1
(b)
τ
max
*
z

2
h1h

bh
Sb( y)

y(y)

(y
2
)
222

24
(e)
h
将其代入式（6−8），可得
FS
h
2
τ
(y
2
)
2I
z
4
(f)
此式表明矩形截面梁横 截面上切应力沿梁高按二次抛物
y
线形规律分布。在截面上、下边缘（
有最大值， 如图10−7b。即
h
2
）处，τ=0，而在中性轴上（y=0）的切应力
F
S
h
2
3F
S
3F
S
τ
max

8I2bh2A

z

(g)

例题6−5 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，< br>y=40mm，F=3kN，求m −m截面上K点的切应力。

A
*

F

F

l

6


y
*
m
y
K

A
z
h

B

l3
l

3

l3
b


习题6−
，截面对中性轴的惯性矩为
5图
解：先求出m −m截面上的剪力为3kN
面积A
*
对中性轴的静矩为
bh
3< br>0.10.16
3
I
z
0.34110
4
m
4
1212

则K点的切应力为
S
z
A< br>*
y
*
0.10.040.060.2410
3
m
3

F
S
S
z
310
3
0 .2410
3
τ
0.2110
6
Pa0.21Mpa
4
I
z
b
0.341100.1

二、工字形截面梁的切应力
1．腹板上的切应力
*
F
S
S
z
τ

I
z
b
1

式中：F< br>S
为横截面上的剪力；S
z
*
为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性 轴的静矩；I
z
为横截面对中性轴的惯性矩；b
1
为腹板的厚度。







(c)

(b)
(a)
切应力沿腹板高度的分布规律如图6−8a所示，仍是按抛物线规律分布，最大切应力 τ
max
图6−8
仍发生在截面的中性轴上。
2．翼缘上的切应力 翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应
力的形式相同 ，即
*
F
S
S
z
τ

I
zδ

式中F
S
为横截面上的剪力；S
z
*
为欲求应力点到翼缘边缘间的面积对中性轴的静矩；I
z
横截面对中性轴的惯性矩； δ为翼缘的厚度。
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面 的狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该
部分上的切应力仍用下式计算：
*
F
S
S
z
τ

I
z
b
1

最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力
圆形及薄 壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计
算公式分别为
圆形截面
薄壁环型截面
积。
4
F
S

3A

F
τ
max
2
S
A

τ
ma x

式中F
S
为横截面上的剪力，A为圆形截面的面积。
式中F
S
为横截面上的剪力，A为薄壁环型截面的面
五、梁的切应力强度条件
*
F
S,max
S
z,max
τ
max


（6−9）
此式即为切应力的强度条件。
I
z
b


τ


例题6−6 一外伸工字型钢梁如图a所示。工字钢的型号为22a，已知：l=6m，F=30kN ，
q=6kNm，材料的许用应力
F

(a)
l2
B
l2
q

D
l3
12kN
[σ]=170MPa，[τ]=100MPa,试校核梁的
强度。
解：（1）校核最大正应力
弯矩图如图c所示，最大正应力
应发生在最大弯矩的截面上。查型钢
17kN

(c) M图

例题6−6图
表可知
C
13kN
(b) F
S
图
W
z
309cm
3
0.30910
3
m
3

则最大正应力

max
M
max
391 0
3

W
z
0.30910
3
1261 0
6
Pa126MPa[

]
（2）校核最大切应力
剪力图如图b所示，最大切应力应发生在最大剪力的截面上。查型钢表可知
I
z
S
z,max
则最大切应力
18.9cm0.189m

b
1
d7.5mm0.0075m


max

所以此梁安全。
F
S,max
Sz,max
I
z
b
1
1710
3
12 10
6
Pa12MPa[

]
0.1890.0075

§6−4 梁的合理截面形状及变截面梁
一、梁的合理截面形式
由梁的强度 条件公式（6−6）可知,梁的抗弯能力直接取决于其弯曲截面系数W
z
的大小。
所以 梁的合理截面形式就是截面面积相同的条件下具有较大的弯曲截面系数。
W
z
值与截 面的高度及截面的面积分布有关。截面的高度愈大，面积分布得离中性轴愈
远，W
z
值 就愈大；反之，截面的高度愈小，面积分布得离中性轴愈近，W
z
值就愈小。所以，
选 择合理截面的基本原则是尽可能地增大截面的高度，并使大部分的面积布置在距中性轴较
远的地方。这个 原则的合理性也可从梁横截面上的正应力的分布规律来说明。因此，在工程
实际中，经常采用工字形、环 形、箱形等截面形式(如图10−10)。







二、变截面梁
横截面沿着梁轴线变化的梁，称为变截面梁。最理想的变截面梁，是 使梁的各个截面上
的最大正应力同时达到材料的许用应力。即
图6−10
σ
max

M(x)


σ

W
z
(x)

得
W
z
(x)

M(x)

σ


(6−10)
式中，M(x)为任一横截面上的弯矩，W
z
(x)为该截面 的弯曲截面系数。截面按式（6−10）而
变化的梁称为等强度梁。