中国人民解放军陆军军官学院-初中生手抄报

求随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数


【关键词】
分布律 概率密度 分布函数

【摘要】
本文紧紧抓住求随机变 量的分布律（或概率密度）、分布函数的关键：（1）把握分
布函数的定义（2）熟练掌握常见的分布。 对离散型，连续型随机变量，分情况讨论了一维，
二维随机变量以及随机变量函数的分布律（或概率密度 ）、分布函数的求解方法。



引言
求随机变量的分布律 （或概率密度）、分布函数是概率论与数理统计中的重点、难
点，但对这类问题也有一定的规律可循，其 中最重要的两点：（1）把握分布函数的定义（2）
熟练掌握常见的分布。本文仅就一维、二维的随机变 量进行讨论。


一、求一维随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数

1、离散型随机变量X可能取值为
x
k
(k=1,2,…)，X取各个可能值的概率:
P{X=
x
k
}=
这里
p
k
, k=1,2,… (*1)
p
k
满足:
(1)
(2)
p
k
≥0 , k=1,2,…

P
K1

K1
=1
(*1)式即为离散型随机变量X的分布律,函数
F(x)=P{X≤x}=
Xk X

P{XX}
=

P
K
XkX
K< br>
即为X的分布函数,这是一个跳跃函数,它在每个
x
k
处有跳跃度< br>p
k
。
对于一个离散型随机变量，若能判定它符合某一种特殊的分布。可以根 据已有的结论
直接写出它的分布律、分布函数。否则，可先找出
X
可能取的值
x
k
(k=1,2,…n或k=1,2,…)
然后计算出诸
p
k
的值，可得
X
的分布律、分布函数。
例1: 一袋中装有5只球,编号为1, 2, 3, 4, 5, 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球
中的最大号码,求X的分布律,分布函数.
解:
设在袋中任取3只的编号为(
xx
x
),则由题意,有X=max{
xx
x
}=3, 4, 5
1,2,
3
1,2,
3

且
P(X3)
C
C
2
2
3
5
13
C
4

6



P(X4)
C
3
P(X5)

331010
CC
10
55
2
2
故X的分布律为:

X

P
X的分布函数为:
3 4 5
1

10
3

10
6

10
0,x3

1

,3x4

10
F(x)


4
,4x5

10< br>
1,x5


2、连续型随机变量的分布函数:F(x)=p{X ≤x}是一个连续函数,存在非负可积函数f(x)
使:
F(x)

x

f(t)dt
,
f(x)为X的密度函数这里f(x)满足:
(1)、 f(x)≥0
(2)、



f(x)dx1

且F(x)和f(x)有如下关系:
(3)、
P

x
1
＜x≤
x
2

＝F(
x
2
)－F(
x
1
)=

x
x
1
2
f(x)dx
(
x
1
≤
x
2
)
若f(x)在点x连续，则:
(4)、
F


x

f

x< br>
(*2)
对于一个连续型随机变量，若能判定它符合某一种特殊的分布，可据已有结论写出它的
概率密度、分布函数。否则，可据分布函数的定义计算p{X≤x},得到F（x），再据(*2)式可
得f(x)。
例2：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘
的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示中弹点与圆心距离。求X的分布函数。
解：
若x＜0，则P{X≤x}是不可能事件，于是

F(x)
P{X≤x}=0
若0≤x≤2，由题意,
P

0Xx

=
kx
,
k
是某一常数，为了 确定
k
的值，取
2
x2
，有
P

0X 2

2
2
k
，但已知
P

0X2

1
，故得
k
1
，即
4

x
2
P

0Xx

=
4
于是
x
2

F(x)
P{X≤x}=
P
< br>X0

P

0Xx



4
若
x2
由题意

Xx

是必然事件，于是
F(x)
P{X≤x}=
1

综合上述，即得
X
的分布函数为

0,x0,

2

x
F(x)

,0x2,


4


1,x2.
X
的概率密度函数为

x
0x2,

，

f(x)

2


0,其它.



3、有的随机变量既不是离散型，又不是连续型。这时仍把握分布函数的定义F(x)= p{X
≤x},先计算p{X≤x},可得F(x)。
例3：
一个均匀陀螺，在其 圆周的半圈上都标有刻度1，另外半圆上均匀地刻上[0,1]诸数
字，旋转停下时其圆周上触及桌面的 刻度是随机变量X，求
X
的概率密度。
解：
X可能取值是[0,1]上诸数字，
p{触点的刻度为1}=
1
,
2
1
p{触点刻度在[0,1]内}=,记为p[0,1]。
2
由陀螺的均匀性及刻度的均匀性知:
0≤x＜1时 ， p{X≤x}=p{ X≤0}+ p

0＜X≤x
x≥1时， p{X≤x}=1

=0+
x0
. p[0,1]=
10
x

2

0,x0

x

∴F(x)= p{X≤x}=

,0x1


2


1,1x
这种分布既非离散型，又非连续型，可称为混合型分布。

二、求二维随机变量的分布律（或概率密度）、分布函数

(X,Y )为二维随机变量，二元函数
F

x,y

p

Xx



Yy

p

Xx ,Yy

即为(X,Y)的分布函数。

1． (X,Y)为离散型，所 有可能取值为

x
i
,y
i

i,j=1,2,…
P

Xx
i
,Yy
i

P
ij
i,j=1,2,…
为(X,Y)的分布律。这里
P
ij
0，

P
i1j1

ij1
i,j=1,2,…
通常用表格来表示X、Y的联合分布律。
(X,Y)的分布函数:
F
x,y


x
i
x
y
i
y

P
ij
,其中的和式是对一切满足
x
i
x,y
i
y
的i,j来求和。
例4：
将一硬币抛掷三次，以
X表示在三次中出现正面的次数，以
Y
表示三次中出现正
面次数与出现反面次数差的 绝对值，试写出
X
与
Y
的联合分布律。
解：
令
Z
为三次中出现反面的次数，则有
0

1
< br>P

X0,Z3

P

X0

P

Z3X0

C
3


2

0
1

1


1
8

2

3


1
P

X1,Z2

P

X1
 
P

Z2X1

C


2

1
3
1
3

1


1 

8

2

2

1
3

1

1

P

X2,Z1
 
P

X2

P

Z1X2

C
3
2

1

8
2

2

2

3

1
< br>P

X3,Z0

P

X3

P

Z0X2

C
3


2

3
1

1


1
8

2

0

于是，有
13P

X0,Y3

P

X0,Z3< br>


P

X1,Y1

P

X1,Z2



8
8
P
X2,Y1

P

X2,Z1


31

P

X3,Y3

 P

X3,Z0



8
8
P< br>
X0,Y1

P

X3,Z2
 
0

P

X1,Y3

P

X2,Z3

0


P

X3,Y1

P

X3,Z2

0< br>

故(X,Y)的分布律的表格形式为：


Y
X

0
1
2
3

0
0
3

8
3

8
3
1

8
0
0
1

8
0
2． 若(X,Y)为连续型，对于其分布函数
F(x,y)
存在非负函数
f (x,y)
使
F(x,y)

y< br>-

f

u,x

dudv
，
-
x
f(x,y)
即为(X,Y)的密度函数，
f(x,y)
满足 ：
1°
f(x,y)0

2°






f(x,y)dxdy1

2

3°若
f(x,y)
在点(X,Y)连续，则有
F

x,y

f(x,y)
。
xy
4°G是x0y平面上的一个区域;点(X,Y)落在G内的概

率:
P

X,Y

G



f

x,y

dxdy

G


e
y
,0xy
例5：
f

x,y



求(x,y)的联合分布函数F(x,y)。

0,其他
解：
F

x,y

P
Xx,Yy



ds

f

s,t

dt

xy


0,x 0或y0
y

x



ds

e
t
dt1e
x
xe
y
,0xy
0s

xt

dte
t
ds1

y 1

e
y
,0yx


0
0
3.

(X,Y)有分布函数
F(x,y)
，求(X,Y) 关于X、关于Y的边缘分布和条件分布

(1)若(X,Y)为离散型,分布律：
P

Xx
i
,Yy
i

P
ij< br>
则 X的分布律：
P

Xx
i


P
ij
P
i

i1,2,


j1

Y的分布律：
PYy
j



PP

j1,2,


ijj
i1

也是(X,Y)关于X，关于Y的边缘分布律 。 < br>P

Xx
i
,Yy
j

P
ij

i1,2,

P

Xx
i
|Yy
j


P

Yy
j

P
j
为在
Yy
j
条件下随机变量
X
的 条件分布律。
P

Xx
i,
Yy
j

P
ij
P

Yy
j
|Xx
i


j1,2,

P

Xxi

P
i
为在
Xx
i
条件下随机变量Y的条 件分布律。
例6：
以X记某医院一天出生的婴儿的个数，Y记其中男婴的个数，设 X和Y的联合分
e
14

7.14

6.86

布律为：
P

Xn,Ym


m!
nm

!
mnm
n1,2,
m0,1, ,n

①求边缘分布律； ②求条件分布律
解：
①有联合分布律与边缘分布律之间的关系知：X的分布律为：
e
14
< br>7.14

6.86

P

Xk



P

Xk,Yl


l!

kl

!
l0l0
kk
lkl
e
14
1
k
l
lkl
C
k

7.14

6.86


k!
l0
e
14
e
14
kk
(7.146.86)14,k0, 1,2
k!k!
这说明：X服从参数为

14
的泊松分布 lkll

e
14

7.14

6. 86

14

7.14

P

Yl



P

Xk,Yl

< br>
e
l!

kl

!l!
klkl
(7.14)
6.867.14
(7.14)
ee,l0,1,2

m!l!l!
m0
这说明：Y服从参数为

7.14
的泊松分布。

②由条件概率公式，有

6.86

kl

!
kl

kl


e
14
(7.14)
l!
l


6.86

m
e
14ll

e
14

7.1 4

6.86

P

Xn,Ym
m!

nm

!
P

YmXn


P

Xn


14
< br>n
e
14
n!
m

0.51

m

0.49

nm
,nm0C
n
mnm

n!

0.51

m

0.49

nm
m!

nm

!

e< br>14

7.14

6.86

P
< br>Xn,Ym

m!

nm

!
P< br>
XnYn

m


P

Ym


7.14

m
e
7.14
m!
mnm
nm

6.86

e
6.8 6
,nm0

nm

!
这说明：
在X=n的条件下，Y的条件分布是参数为n,p=0.51的二项分布。
在Y=m的条件下，X的条件分布是参数为

6.86
的泊松分布。

(2)若(X,Y)为连续型，密度函数为
f(x,y)


F
x

X

F

x,

故


x

[



f

x,y

dy]dx

f
x< br>
X



f

x,y

dy
,

同理
f
Y

y





f

x,y

dx

f

x,y


f
Y

y

f

x,y


f
X

x

在Y=y条件下X的条件概率密度函数： f
X|Y

x|y


在X=x条件下Y的条件概率密 度函数：
f
Y|X

y|x



例7：
设随即变量(X,Y)的概率密度为：
f

x,y




1，yx,0x1

0,其他
求 条件概率密度
f
Y|X

y|x

,f
X|Y
x|y

。
解：
(X,Y)的概率密度为：
f

x,y




故当0
1，yx,0x1

0,其他


1dx,1y0


1y,1y0


y
f
Y

y



f

x,y

dx

1




1y,0y1



dx,0y1

y
当
yx
时，X的概率密度为：
f
X

x
< br>

f

x,y

dx

dy 2x,0x1

x
x




1
,yx1
f

x,y


1y
当-1f
X|Y

x|y




f
Y

y


0,其他

1
,yx1
f

x,y


当0f
X|Y

x|y




1y
f
Y

y



0,其他

1
,yx1

故当
y1
时，有
f
X|Y

x|y



1y


0,x取其他值


1

,yx
当0
1中，有
f
X|Y

x|y



2x



0,y取其他值


三、求随机变量的函数的分布

1、求一个随机变量
X
的函数Y= g(
X
)的分布律(概率密度)，分布函数
(1)若X为离散型 ， p{X =
x
k
}=
且
p{y=g(
x
k
)}= p{X =
x
k
}=
若有g(
x
i
)=g(
x
j
) , 则将
p
k
k=1,2,… 则Y可能取值g(
x
k
) , k=1,2…
p
k

p
i
,
p
j
作和，即p{ Y=g(
x
i
)}=
p
i
+
p
j
为Y取g(
x
i
)的概率。反
复用这种方法使g(
x
k)各不相同，即得Y的分布率，从而可得分布函数。
例8：
设随机变量X的分布律的表格形式为

X -2 -1
P
求Y=
X
的分布律
解：
因Y=
X
的所有可能的取值为：0，1，4，8，且
2
2
0
1

5
1
1

15
3
11

30
1

5
1

6
P

Y0

P

X0


1117

P

Y1

P

X1

P
X1



61530
5
P
Y4

P

X2

111
Y9

P

X3


P


530

故Y=
X
2
的分布律为：

Y
P
0
1

5
1
7

30
4
1

5
9
11

30

(2)若x为连续型,有密度函数f(x)

i 若g(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导函数，则Y= g(x)具有密度函数: f[h(y)]﹒|h＇(y)|
ii若g(x)在不相重叠的区间
I
1
,
I
2
,…上逐段严格单调，其反函数分别为
h
1
(y),
h
2
(y)
,…且

h
1
(y)
,
h
2

(y)
,…均为连续函数，则Y=g(X)的密度函数为:
f[
h
1
(y)
]

|
h
1例9：
设随机变量

服从正态分布N(0，1)，求

的密度 函数P(X)。
解：

(y)
|+f[
h
2
( y)
]

|
h
2

(y)
|+…

的概率密度函数P(X)有：P(X)=

的分布函数为F(X)，则：
1
2

e
2

x
2


0，X0

0，X0
F(X)=P{


=



PX

X,X0

2P

X1,X0



的概率密度为：

0，x0
f(X)=F(X)=


2

2

x
2
,X0



e
2、两个随机变量的函数的分布
(1)和的分布: Z=X+Y
i连续型:
(X,Y)的概率密度f(x,y)
则 Z的分布函数:
F
z
(z)=P(Z≤z)=
化为累次积分 ，得
xyz

f(x,y)dxdy

F
z
(z)=


[

zy
f(x,y)dx
]d y=



z
f(uy,y)dudy
=
< br>
[







f(uy,y)dy
]du

z的密度函数:
f
z
(z)=


f(z-y,y)dy=




f(x,z-x)dx
当x,y相互独立时:
f
z
(z) =

例10：
f
x
(z-y)
f
y
(y )dy=


f
x
(x)
f
y
(z-x )dx


，

为相互独立的分别服从[0,1]的均匀分布的 随机变量,试求S=



的概率
密度函数。
解：


、

相互独立服从U[0,1]分布



、


的联合密度函数f(x,y)为：
f(x,y)=

令S=


1,0x,y1

0,其他



的概率密度为G(Z)则：
G(Z)= P(

Z
)=
P




Z


当Z<0时，
P




 Z

=0
当0

Z<1时，
P



Z

=
z

2
2
当1

Z<2时，
P




Z

=
1

2z


2
2
当Z

2，G(Z)=1

S的概率密度函数g(z)为：

0，z0

z,0z1
g(z)=
G

(Z)
=




2z,1z2


0,z2
ii离散型:
x,y是相互独立的随机变量分布律分别为：
p{X=k}=
p
k
, p{Y=y}=
q
r
k=0,1,2,… r=0,1,2,…
i
则z=X+Y的分布律:
p{z=i}=

p
k
q
ik
i=0,1,2…
k0
例11：
设X，Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为
< br>1
,

2
的泊松分布。证明：
Z=X+Y服从参数为

1


2
的泊松分布。
证：

Y ~



2

X~



1

相互独立


Z=X+Y的分布律为：
P< br>
Zi



P

Xk,Yi k



k0k0
i
ii

1< br>k
k!
e


1


ik

!

2
ik
e


2
1< br>


1


2

i
i!
kik
e


12
i!!
k0
k !

ik





2
e



1


2

,i 0,1,2,
1
i
e



1

2



1


2

1
i!i!
这说明：
服从泊松分布的相互独立的随机变量具有可加性，既若
若
X
1
~< br>


1

，
X
2
~
< br>

2

且
X
1
,X
2
相 互独立，则
X
1
X
2
~



1


2


显然，上述可加性还可以推到任意有限多个服从泊松分布的相互独立的随机变量的情形，即
n n

若
X
1
,X
2
,,X
n
相 互独立，且
X
i
~



i

, i1,n
则

X
i
~





i


i1

i1

例12：
（见例14，(iii)）

(2)商的分布:
(x,y)的密度函数则的分布函数f(x,y)则z=
x
的分布函数：
y

F
z
(Z)P

Zz< br>

x
z
y

f(x,y)dxdy

f
z
(z)



yf(yz,y)dy< br>

X、Y独立时，
f
z
(z)

yf (yz,y)dy


例13：
设X，Y分别表示两只不同型号的灯泡的寿命，X，Y，相互独立，它们的概率
密度依次为：

e
x
,x0

2e
2y
,y0
X
f

x




g

y



试求
Z
的概率密度函数 。
Y

0,其他

0,其他
解：由
f< br>Z

z






y f
X

yz

f
Y

y

dy
，Z的概率密度为
yz
f
Z

z


ye

2e
2y
dy

y e
y

2z

dy


2
,当z0时


2z

2

2
,z 0

2

f
Z

z

0，当 z0时。即f
Z

z




2z< br>

0,z0

(3)M=max(X,Y) N=min(X,Y)
X、Y相互独立，它们的分布函数分别为
F
X
(x) ,F
Y
(y)

F
M
(z)P

MZ

P

XZ,YZ

P

XZ

P

YZ


即:
F
M
(Z)F
X
(Z)F
Y
(Z)

又
F
N
(z)P

NZ

 1P

NZ

1P

XZ,YZ
< br>1P

XZ

P

YZ


即:
F
N
(Z)1[1F
X
(Z)] [1F
Y
(Z)]

这一结果还可以推广到n个相互独立的随机变量的情部况。
例14：
设系统L由两 个相互独立的子系统
L
1
,L
2
联接而成，联接的方式分别为(i) 串联，(ii)并联，
(iii)备用(当
L
1
系统损坏时,系统
L
2
开始工作)。设
L
1
,L
2
的寿命分别为X，Y ，已知它们的概
率密度分别为


e


x,x0


e


x
,y0
(* 3)
f
Y

y



(*4)
f< br>X

x




0,x0
0,y0
其中

0,

0
且



。试分别就以上三种联接方式写出L的寿命的Z概率密度。
解:(i)串联的情况。
由于当
L
1
,L
2
中有 一个损坏时，系统L就停止工作，所以这时L的寿命为Z=min(X,Y)
由(*3)，(*4)式X ,Y的分布函数分别为

1e


x
,x0

1e


x
,y0
f
X

x




f
Y

y





0 ,x0

0,y0
由
F
min

z

1[1F
X

z

][1F
Y

z

]
得Z=min(X,Y)的分布函数为

1e< br>





z
,z0
F
min

z





0,z0
于是Z=min(X,Y)的概率密度为






e






z
,z0
f
min

z




0,z0

(ii)并联的情况
由于当且仅当
L
1
,L
2
都损坏时，系统L才停止工作，所以这时L的寿命Z为Z=max( X,Y)
按
F
max

z

F
X
z

F
Y

z

得Z=max(X ,Y)的分布函数为

1e


z
1e
< br>
z
,z0
F
max

z

F
X

z

F
Y

z





0,z0
于是Z=max(X,Y)的概率密度为




e


z


e


z






e






z
,z0

f
max

z




0,z0
(iii)备用的情况。
由于这时当
L
1
系统损坏时
L
2
系统才开始工作，因此整系统L的寿命Z是
L
1
,L< br>2
两者之
和，即Z=X+Y
按
f
z

z< br>


f
X

zy

f
Y

y

dy
，当z>0时Z=X+Y的概率密度为


f

z



f
X

zy

f
Y

y

dy
< br>
e
0
z



zy
< br>
e


y
dy

e


z

z
0
e






y
dy

[e


z
e


z
]



当z<0时，
f

z

0
于是Z=X+Y的概率密度为。


[e


z
e


z
] ,z0


f
z

z


< br>



0,z0

(4)更一般的情况：（随机 变量的变换）
若


1
,,

n
< br>的密度函数为
p

x
1
,,x
n

，求

1
f
1


1
,,

n

,,

m
f
m

< br>1
,,

n

的分布。
若对
y
i
f
i

x
1
,,x
n

存 在唯一的反函数
x
i

y
1
,,y
n

u
i
，（i=1,…,n），且


1
,,< br>
n

的密
度函数为
q
i

y1
,,y
n

，
那么
G(y
1
,,y
n
)
u
1
y
1

u
n
y
n

q

u,,u

du du
1n1n


p(x,,x
n
)J,若
< br>y
1
,,y
n

属于f
1
,,f
n
的值域
则：
q

y
1
, ,y
n



1


0，其他
其中J为坐标变换的雅可比行列式
x
x
1

n
y
1
y
1
J
xx
1

n
y
n
y
n

例15：
若

,

为相互独立的随机变量，且具有相同的 指数概率密度函数

e
x
,x0

p

x



试求




与


的密度函数
q

u,v

。


0,x0
解：

对
u0,v0< br>作变换u=x+y,
v
x
uvu
,因此
x
， < br>,y
y
1v1v
J
1
uu
1
 xy

1
vv
y
xy
2
1
 
xy1v
x


2

2

yu
y
所以
J
u
,u0
，
2

1v

u1
u
ue


1v

2

1v

2
qp

x

p

y

Je

< br>xy

Je
u
3、利用已有结论：
例如：
(1)
X~N

,

2
,YaXb

a0

也服从正态分布，
Y~Na

b,

a


2

(2)
X~N

1
,< br>
1
,Y~N

2
,

2
且X、Y 相互独立，
则
ZXY~N

1


2
,

1
2


2
2

这一结果也可推广到个独立正态随机变量之和的情况。
(3)X、Y相互独立
X~



1


Y~



2


则
ZX Y~



1


2

。



小结
求随机变量分布律（密度函数）分布函数关键就是把握 分布律（或密度函数）、分布函
数的定义的实质，以及它们之间的关系，对于求随机函数的分布，以及边 际分布、条件分布，
关键也在于此。


【参考文献】
1．《概率论》复旦大学数学系 复旦大学出版社
2．《概率论与数理统计》 盛骤 谢式千 潘承毅 浙江大学出版社
3．《概率论与数理统计习题集》 华东师范大学数学系 华东师范大学出版社
4．《怎样解概率题》赵振威 潘叙保 北京师范大学数学系 人民教育出版社




2

2

