北京石油化工学院-中秋节的来历和习俗

第四节 随机变量函数的分布


一、 随机变量的函数
定义 如果存在一个函数
g(X)
, 使得随机变量
X,Y
满足:
Yg(X)
,
则称随机变量
Y
是随机变量
X
的函数.
注: 在微积分中,我们讨论变量间的函数关系时, 主要研究函数关系的确定性特征, 例如:
导数、积分等.而在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量
X
的
统计规律性出发研究因变量
Y
的统计性规律.
一般地, 对任意区间
I
, 令
C{x|g(x)I}
, 则
{YI}{g(x)I}{XC},

P{YI}P{g(x)I}P{XC}.

注: 随机变量
Y< br>与
X
的函数关系确定,为从
X
的分布出发导出
Y
的分 布提供了可能.

二、离散型随机变量函数的分布
设离散型随机变量
X
的概率分布为
P{Xx
i
}p
i
,i1,2,

易见,
X
的函数
Yg(X)
显然还是离散型随机变量.
如何由
X
的概率分布出发导出
Y
的概率分布? 其一般方法是：先根 据自变量
X
的可能
取值确定因变量
Y
的所有可能取值, 然后对Y
的每一个可能取值
y
i
,i1,2,,
确定相应的
C
i
{x
j
|g(x
j
)y
i
},
于是
{Yy
i
}{g(x
i
)y
i
}{XC
i
},

P{Yy
i
}P{XCi
}
x
j
C
i

P{Xx}.

j
从而求得
Y
的概率分布.

三、 连续型随机变量函数的分布
一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机
变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数,
而且还希望求出其概率密度函数.
设已知
X
的分布函数
F
X
(x)
或概率密度函数
f
X
(x)
, 则随机变量函数
Yg(X)
的分布
函数可按如下方法求得:
F
Y
(y)P{Yy}P{g(X)y}P{XC
y
}.

其中
C
y
{x|g(x)y}.

而
P{X C
y
}
常常可由
X
的分布函数
F
X
(x)
来表达或用其概率密度函数
f
X
(x)
的积分来

表达:
P{XC
y
}

C
y
f
X
(x)dx

进而可通过
Y
的分布函数
F
Y
(x)
, 求出
Y
的密度函数.
定理1 设随机变量
X
具有概率密度
f
X
(x),x(,)
,又设
yg(x)
处处可导且 恒有
g

(x)0
(或恒有
g

(x)0), 则
Yg(X)
是一个连续型随机变量,其概率密度为

f[h (y)|h

(y)|,

y


f
Y
(y)

0,其它

其中
xh(y)
是< br>yg(x)
的反函数, 且

min(g(),g()),
max(g(),g()).


例题选讲：
离散型随机变量函数的分布
例1（讲义例1）设随机变量
X
具有以下的分布律, 试求
Y(X1)
2
的分布律.
X1012

p
i
0.20.30.10.4
解
Y
所有可能的 取值0,1,4,由
P{Y0}P{(X1)
2
0}P{X1}0.1,

P{Y1}P{X0}P{X2}0.7,

P{Y4}P{X1}0.2,
既得
Y
的分布律为

Y

.
0 1 4
P
i

0.10.70.2


连续型随机变量函数的分布
例2（讲义例2）设随机变量
X~N(0,1),Ye,
求
Y
的概率密度函数.
解 设
F
Y
(y),f
Y
(y)
分别为随机变量
Y
的分布函数和概率密度函数.
则当
y0
时, 有
F
Y
(y)P{Yy}
 P{e
X
y}
P{}0.

当
y0
时, 因为
g(x)e
x
是
x
的严格单调增函数, 所以有
{e
X
y}{Xlny},

因而
F
Y
(y)P{Yy}
P{e
X
X
y}
P{Xl ny}

2
1
2


lny

e

x
2
2
dx.


1
(lny)

'
e
2
,y0
.
再由
f
Y
(y)F
Y
(y),
得
f
Y
(y)

2


0,y0

通常称上 式中的
Y
服从对数正态分布, 它也是一种常用寿命分布.


x 8,0x4
例3（讲义例3）设
X~f
X
(x)

, 求
Y2X8
的概率密度.
0,其它


解 设
Y
的分布函数为
F
Y
(y),
则
F
Y
(y)P{Yy}P{2X8y}P{X(y8)2}F
X
[( y8)2]

于是
Y
的密度函数
f
Y
(y)< br>dF
Y
(y)

y8

1
f
X



dy

2

2

y8

y8

y8
注意到
0x4
时 ，
f
X
(x)0,
即
8y16
时，
f
X



0,
且
f
X


2216


(y8)32,8y16
故
f< br>Y
(y)

.

0,其它


例4 设
X~N(0,1)
, 求
YX
2
的密度函数.
解 记
Y
的分布函数为
F
Y
(x),
则
F
Y
(x)P{Yx}P{X
2
x}.

显然, 当
x0
时，
F
Y
(x)P{X
2x}0;

当
x0
时,
F
Y
(x) P{X
2
x}P{xXx}2(x)1.


< br>2(x)1,x0
从而
YX
的分布函数为
F
Y
(x)



0,x0

2

1< br>
1
e
x2
,x0


(x),x0

于是其密度函数为
f
Y
(x)F
Y

(x)

x


2

x
.


0,x0

0,x0


注: 以上述函数为密度函数的随机变量称为服从

2
(1)
分布, 它是一类更广泛的分布

2
(n)
在
n1
时的特例. 关于

2
(n)
分布的细节将在第五章中给出.

例5（ 讲义例4）已知随机变量
X
的分布函数
F(x)
是严格单调的连续函数, 证明
YF(X)
服从
[0,1]
上的均匀分布.
证明 设
Y
的分布函数是
G(y),
由于
0y1,
于是对
y0,G(y)0;
对
y1,G(y)1;

又由于
X
的分布函数
F
是严格递增的连续函数, 其反函数
F
1
存在且严格递增.对
0y1,

G(y )P{Yy}P{F(X)y}
P{XF
1
(y)}F(F
1
(y))y

y0

0,

即
Y
的分布函数是
G(y)

y,0y1


1 ,y1


1,0y1
求导得
Y
的密度函数
g(y)

可见,
Y
服从[0,1]上的均匀分布. 证毕.
0,其它

注：本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.

例6（讲义例5）
设随机变量X~N(

,

2
) .试证明X的线性函数
YaXb
(a0)
也服从
正态分布.
证
X
的概率密度为
f
X
(x)
1
2< br>
e

(x

)
2
2

2
,
x.

由
yg(x)axb
解得< br>xh(y)
f
Y
(y)
yb
,
且有从而
YaXb
的概率密度为
a
1

yb

f
X

,
y,

|a|

a


yb





a

2
e
2

2
即
f
Y
(y)
11
|a|
2


1
|a|< br>
2


e
[y(ba

)]
2
2(a

)
2
(y)

即有
YaXb~N(a

b,(a

)
2
).

特别地, 若在本例中取
a
1

,b

X

,
则得
Y~N(0,1).



这就是上节中一个已知定理的结果.

例7 设随机变量
X
服从参数为

的指数分布, 求
Ymin{X,2}

的分布函数.
解 根据已知结果,
X
的分布函数

1e


x
,x0

F
X
(x)

x0

0,
Y
的分布函数
F
Y
(y)P{Yy}P{min{X,2}y}
1P{min{X,2 }y}
1P{Xy,2y}.

当
y2
时，
F
Y
(y)1P{Xy}P{Xy}F
X
(y),

当
y2
时，
F
Y
(y)1.

y0

0,

代入
X
的分布函数中可得
F
Y< br>(y)

1e


y
,0y2.


1,y2

注：在本例中, 虽然X是连续型随机变量, 但Y不是连续型随机变量, 也不是离散型
随机变量, Y的分布在
y2
处间断.

例8 （讲义例6） 设随机变量
X
在
(0,1)
上服从均匀分布, 求
Y2lnX
的概率密度.
解 在区间 (0,1) 上, 函数
ln x0,
故
y2lnx0,
y


2
0

x

于是
y
在区间
(0,)
上单调下降, 有反函数
xh(y)e
y2

y2

)
 y2
d(e
),0e
y2
1

f
X
(e
从而
f
Y
(y)


dy

0,其它

已知
X
在在(0,1)上服从均匀分布,

1,0x1

f
X
(x)

0, 其它


1
y2

e,y0
代入
f< br>Y
(y)
的表达式中, 得
f
X
(y)

2


其它

0,
即
Y
服从参数为12的指数分布.

例9 (对数正态分布)随机变量
X
称为服从参数为

,

2
的对数正态分布, 如果
YlnX
服从正态分布
N(

,

2
)
. 试求对数正态分布的密度函数.
解 由于
YlnX~N(

,

2
),
等价地有
Xe
Y
,
Y~N(

,

2< br>),

于是,当
x0
时,
F
X
(x) P{Xx}P{e
Y
x}
P{Ylnx}F
Y
(lnx );

当
x0
时, 显然
F
X
(x)0.
继而可得
X
的密度函数为
(lnx

)
2



1
1
2

2
,x0

f
Y
(lnx),x0

e

(x)

x
f
X
(x)FX


.

2

x

0, x0


0,x0

注： 在实际中, 通常用对数正态分布来描述价格的分布, 特别是在金融市场的理论研究
中, 如著名的期权定价公式（Black—Scholes公式）, 以及许多实证研究都用对数正态分布
来描述金融资产的价格. 设某种资产当前价格为
P
0
, 考虑单期投资问题, 到期时该资产的价
格为一个随机变量, 记作
P
1
, 设投资于该资产的连续复合收益率为
r
, 则有
r
P
1
P
0
e

从而
rln
P
1
lnP
1
lnP
0

P
0
注意到
P
0
为当前价格, 是已知常数,因而假设价 格
P
1
服从对数正态分布实际上等价于假设
连续复合收益率
r
服从正态分布.

课堂练习
1. 设X的分布列为
X101252

p
i
1511
试求: (1) 2X的分布列; (2)
X
2
的分布列.
2. 设随机变量
X
的概率密度为


2x

2< br>,0x

,

f(x)


0,其它.

求
YsinX
的概率密度.