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两个随机变量的和与商的分布函数与密度函数

一、两个随机变量的和的分布

设（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），现求Z=X+Y的概率密度。
令
D
z
{(x,y)|xyz}
，则Z的分布函数为： F
Z
(z)P{Zz}
P{XYz}


f(x,y)dxdy


D
z


（1.1）
(

zy

f(x,y)dx)dy
固定 z和y对积分

zy

f(x,y)dx
作换元，令
x yu
，得
z



于是
zy
f(x,y)dx

f(uy,y)du
（1.2）
z
F
Z
(z)

z
 

f(uy,y)dudy

[


f(uy,y)dy]du
（1.3）
由概率论定义，即得Z的概率密度为
f
Z
(z)



f(zy,y)dy< br>
注意：积分限为−∞到+∞
（1.4）
由X与Y的对称性，又可得
f
Z
(z)

概率密度。


f(x,zx)dx

注意：积分限为−∞到+∞
（1.5）
或 yzx
条件下，求X或Y的边缘（1.4）与（1.5）相当于分别在
xzy
特别的，当X与Y相互独立时，有
f
Z
(z)

< br>
f
X
(zy)f
Y
(y)dy

 

f
X
(x)f
Y
(zx)dx
（1.6）
其中，
f
X
(x)
、
f
Y
( y)
分别是X和Y的边缘概率密度。
式（1.6）又称为
f
X
(x )
和
f
Y
(y)
的卷积公式，常记为
f
X
(z)*f
Y
(z)
。因此式（1.6）
又称为独立随机变量和的分布的卷积 公式。

二、两个随机变量的商的分布

设（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），现求
Z
布函数为
X
的概率密度，Z的分
Y

F
Z
(z)P{Zz}


f(x,y)dxdy

f(x,y)dxdy
（2.1）
D
1
D
2
而

f(x,y)dx dy

0


f(x,y)dxdy
（2.2）
D
1
yz
x
对于固定的z，y，积分
< br>f(x,y)dx
作换元
u
（这里
y > 0
），得 yz

y

yzz

f(x,y)dx


yf(yu,y)du

于是


f(x,y)dxdy

z
0


yf(yu,y)dudy
D
1



z



0
yf(yu,y)dydu
类似的可得
y)dx dy
D

f(x,y)dxdy

0

< br>
yz
f(x,
2
z0






yf(yu,y)dydu
故有
F
Z
(z)

f(x,y)dxdy
D

f(x,y)dxdy
1
D
2


z0

[

0
yf(yu,y)dy


yf (yu,y)dy]du



z
[



yf(yu,y)dy]du
由概率密度定义可得
Z
X
Y
的概率密度为
f(z)


Z

yf(yz,y)dy

特别的，当X与Y相互独立时，有
f
Z
(z)

< br>
yf
X
(yz)f
Y
(y)dy

2.3）
2.4）
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
（
（