连续型随机变量的分布与例题讲解
合肥经济职业学院-上海海事大学研究生院
连续型随机变量的分布
（一）连续型随机变量及其概率密度函数
1.定义：对于随机变量
x
X 的分布函数 F(X)
，若存在非负函数
f(x), 使对于
任意的实数 x，有
F ( x)
f (t)dt
，则称
X
为连续性随机变量，
f(x) 称为 X
的概率密度函数，简称概率密度。
注：
F(x)表示曲线下
1) f( x)≥ 0
+
x 左边
的面积，曲线下的整个面积为1。
2 .密度函数
f(x)
的性质： 注： f( x)不是概率。
2)
ò
f ( x) dx
= 1
-
1 2
x
2
3)
P{x< X ? x}
f (x) dx = F (x
2
) -
F (x
1
)
即
P{ X = x} = 0.
特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，
x
1
ò
（但 { X=x} 并不一定是不可能事件）
因此
P(a≤X
≤ b)= P(a< X
4）若 f(x)在点 x 处连续，则
分布函数性质
i) 0
≤x)F(≤1；
∞ )=1；
F (x)
f (x).
ii)F(- ∞ )=0,F(+
iv)
ⅲ)
当 x
1
≤x
2
时， F(x
1
) ≤
F(x
2
)；（单调性）
F(x)是连续函数
注： iv)
与离散型随机变量不同，
离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。
例 1
设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=A+B arctanx,
求 （ 1）系数
A， B
（ 2） P(-1
f(
x)
分析：主要是应用分布函数的性质。
解 （ 1）由 F(- ∞)=0,F(+
∞)=1得
A
B
2
B
2
0
解之，得
A
B
1
A
1
1
2
1
2
1
（ 2）由 (1)知 F(x)=
arctan x,
基 本 内 容
备 注
故得 P（ -1
=
1
+
1
=
1
p1
2
- (- ) =
p 4
p
4
2
(- ?
p
arctan1-
( +
arctan(- 1))
p
2
p
11
1
￠
(3) f(x)
= F ( x) =
1
p(1+ x
2
)
x <
+
)
例 2
设随机变量
X 的概率密度为
ì
-
3x
?
, x >
0,
试确定常数
f (x) = í
?
ke
?
+
?
0,
0
x ￡0,
k，并求其分布函数
解： 由
F(x)和 P{X>0.1}.
ò
-
f (x) dx = 1
得
0
蝌
+ ?
-?
+
f (x) dx =
f ( x)dx +
0
f (x)dx =
ò
ke
- 3x
dx =
k 3 = 1,
k = 3.
- 3x
ì
f (x) =
í
?
?
3e
?
, x
>
0,
?
0,
x
x ￡
0.
x
当
x ￡ 0
时，
F
(
x
)
0
0dt
0
当
x > 0
时，
F (x) =
蝌
-
e
ì
?
于是，
F(x) =
í
?
1
? -
-
3x
0dt +
0
3e
- 3t
dt = 1-
e
-
3 x
, x
>
0,
?
0,
x ￡0.
P{X > 0.1} = 1-
P{X ?
1}
（二）正态分布
1-
F
(1)= 1-
(1-
e
- 0.3
)
=
e
- 0.3
= 0.7408.
（ 1）设随机变量
X
的概率密度函数为
1
(x
f(x)
2
e
,
2
)
2
2
x
,
其中 ,
X ~N(
关于
x
(
,
0)
为常数，则称
2
X
为服从参数为
,
的正 态分布，记作
).
其图象为（右图）
。其中：
称为位置参数，
影响
f (x)
f (x)
的图形
对称，
的最大值及曲线的形状。分布函数为
基 本 内 容
备 注
1
F (x)
x
(t
)
2
2
1
e
2
2
dt。
性质：
1.曲线关于
x
对称，这表明对于任意
h 0
有
h}.
)
P{
-h
2.当
x
X
}
P{X
时，
f ( x)取到最大值：
f(
1
2
.
（
2）标准正态分布
特别地，当
0,
1
时，称 X 服从标准正态分布，
记为
X ~ N (0,1).
相应的概率密度函数和分布函数分别记为
(x)
1
2
x
2
e
2
，
(x)
1
2π
t
2
x
e
dt.
2
易知
( x)
1
(x)
。
(x)
即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例 3 设随机变量
X~N(0,1) ，查表计算：
(1) P(X ≤ 2.5)； (2)
P(X>2.5) ； (3) P(|X|<2.5).
解 (1) P(X ≤ 2.5)
= Φ(2.5) =0.993790
(2)
P(X>2.5) =1- P(X ≤ 2.5) =1-
Φ(2.5)
=0.006210
(3)
P(|X|<2.5)
=P(-2.5
Φ (2.5)- Φ (-2.5) =2 Φ
(2.5)-1
=2×0.993790-1 =0.987580
若
X~N( ,
2
),
则
Z
引理
X
~ N (0,1).
证
Z
的分布函数为
X -
X
P{
1
x}
2
X
(t
x
)
2
2
P{ Z x}
x}
x
P{ X
u
2
e
2
dt ，
令
t
u，
得
1
2
e du
2
( x)，
可知
Z
~ N (0,1).
基 本 内 容
备 注
2
于是，若
X ~ N(
,
2
)，
则它的分布函数
F (x)
可写成：
P{
F (x) P{ X x}
对于任意区间
X
x
}
(
x
).
(x
1
,x
2
]，
，有
P{x
1
X x
2
}
P{
x
1
X
x
2
1
}
).
(
x
2
)(
x
注：
可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概
率。
例如，设 X~N(1,4)
，则
P{0
X
1.6}
P{
0
1
X 1
2
2
1
1.6
1
}
2
(
1.6
1
0
2
2
(0.3)
0.5) 0.6179 [1(0.5)]
0.6179 1
0.6915 0.3094.
例 4
设某商店出售的白糖每包的标准全是
计 )是随机变量
,X~N(500,25), 求 :
(1) 随机抽查一包 , 其重量大于 510
克的概率
(2) 随机抽查一包 , 其重量与标准重量之差的绝对值在
概率
(3) 求常数 C,使每包的重量小于 C 的概率为
0.05。
8 克之内的
500 克 ,设每包重量
X(
以克
解 : (1)P{ X
510} 1
P{ X
510}
1
(
510
500
)
5
1
(2) P{|
X
(2)
1
0.9772
P{492
X
)
0.0228
508}
)
500 |
8}
(
508
500
5
(
492
500
5
(1.6)
(
1.6)
2
(1.6)
1
2
0.9452-1 0.8904
(
(3) 求常数 C，使之满足
P{X
即
C-500
5
) 0.05
由于 ( 1.645)
0.05, 即
C-500
5
1.645, 得 C
491.775.
3
基 本 内 容
备
注
例 5 某重点大学招收研究生 800
人，按考试成绩从高分至低分依次录取。设报考
该大学的考生共 3000
人，且考试成绩服从正态分布， 已知这些考生中成绩在 600 分
以上的有 200 人，重点线（
500 分）以下的 2075 人 , 问该大学的实录线（即录取最
低分）是多少？
分析
设学生考试成绩
X~N(
,
2
)
，首先应求出
及
2
之值，然后根
据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解
设学生成绩 X~N(
,
2
)，由题设知应有
P( X
600)
500)
200
3000
2075
3000
0.0667
P( X
0.6917
从而得
1
即
(
600
(
600
)
0.0667,
以及
(
500
(
500
)
)
0.6917
)
0.9333
600
0.6917
1.5
解之得
查表得
450
100
500
0.5
故知， X~N(
450,100
2
)
又设该大学实录线为
a，由题设知：
P( X
a)
于是可得
(
a
800
0.2667
即
1(
3000
a 450
)
0.2667
100
450
)
0.7333
100
查表得
a
450
100
0.623,
解之得 a
512.3.
即是说该大学的实录线约为
（三）
对数正态分布
512 分。
定义： 若随机变量 X 的概率密度函数为
1
2
0
(ln x
)
2
2
f ( x)
x e
2
4
基 本 内
容
备 注
的对数正态分布，记作
其中，
，
0
为常数，则称
X 服从参数为
和
X ~LN( ,
2
).
对数正态分布的分布函数为
F ( x)
x
0
1
2
(ln t
e
t
2
2
)
2
dt x 0
若
X ~LN( ,
2
),
则
ln
x
2
P{ x
1
X
x
2
}
(
ln
x
1
)(
m
)
（四） Weibull 分布
定义
：若随机变量
X 的概率密度函数为
m
( x
)
f ( x)
(x
)
m 1
e
x
x
0
0
为常数，则称
其中，
m,
,
X
服从参数为
m, ,
的 Weibull 分布，记作
X ~ W (m, ,
).
Weibull
分布的分布函数为
x
m
(t
m 1
(t
)
m
( x )
m
F (x)
)
e
dt 1 e
( x
)
m
——形状参数
——位置参数
——尺度参数
Weibull 分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
介绍了连续型随机变量的概念 ,
连续型随机变量概率密度函数的概念及其性
质 .
介绍了几种常见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布。
5