北京大学医学部地址-男女朋友之间的情话

§5 随机变量的函数及其分布

一、离散型随机变量的函数
二、一维连续型随机变量的函数的分布
三、(连续型)随机向量函数的分布律
四、随机向量的变换
本章补充与注记

2
人们经常碰到随机变 量的函数.例如分子运动的动能T=
mv2
是分子运动速
2

度—— 随机变量
v
的函数；数理统计中经常用到(n)分布，相应的随机变量

2< br>=

1
2
+…+

n
2
，其中各< br>
i
相互独立，都服从N (0, 1).

2
是

1
,…,

n
的函数.
一般，若ξ是随机变量, y = g (x)是普通的实函数，则η= g(ξ)是ξ的函数.
接着产生两个问题：1) η是随机变量吗？2) 如果是，η的分布与ξ的分布有什
么关系？对于多个随机变量的函数，也存在同样的问题.
对第一个问题比较容易解决. 因为若η= g (ξ)是随机变量，就必需满足§1
的(1)式，这就不得不对函数g (x) 有所限制.
定义 设g (x)是一维实函数，

是R上的波雷尔σ-域. 若对任意B∈

，都
有
{x: g (x) ∈B}=g
1
(B) ∈

(1)
(即当g (x)的值域是波雷尔集时，其原像也是波雷尔集), 则称g(x)是一元波雷尔
函数.
实变函数论中可以证明：一切分段连续, 分段单调的函数都是波雷尔函数，
故它是十分广泛的一类函数，日常碰到的大都是这类函数.
现在我们可以来回答第一个问题：若ξ是概率空间 (Ω,

, P)上的随机变量,
f(x)是一元波雷尔函数，η= f (ξ) , 则对任意的B∈

，由这里的 (1)及§1的(1)
式可得
{ω:η(ω)∈B}={ω: f (ξ(ω))∈B}={ω:ξ(ω)∈f
1
(B) }∈

.
故η是随机变量.

类似可以定义n元波雷尔函数. 且若f (
x
1
,,x
n
)是波雷尔函数，则η=
f(

1
,,

n
)就是随机变量. 以后我们讲随机变量的函数都是指这种函数.
下面讨论第二个问题，分几步来解决.

一、离散型随机变量的函数
这种情况比较简单，仅举几个例子来说明.

10

11


例1 设ξ的分布列为
42
1
1
8
2


1
< br>
2
8

，η=2ξ-1, ζ=

, 求η,ζ各自的分
布.
解 η的可能取值为3, 1, 1, 3, 是有限个, 只须算出对应的概率. 由于
{η=3}= {ξ=1}，故P{η=3}= P{ξ=1}，类似可得其它概率. 我们得到η

311

111


的分布:

428
3


1


8

.
ζ可取的值为0,1,4,但注意到{ζ=1}={ξ=1}

{ξ =1},故P{ζ=1} =P{ξ

0

1
113
< br>

=1}+P{ξ=
1
}=
848
;ζ的分 布列为

2
1
3
8
4


1

8

.
一般，设ξ有分布列P(ξ=
x
i
) = p (
x
i
), i=1,2,…, 则η=f (ξ)有分布列
P(η=
y
j
) =
f(x)y
i

p(x
i
)
j
,
j
=1, 2,….
例2 设ξ～B (
n
1
, p), η～B (
n
2
, p), ξ,η相互独立，求ζ=ξ+η的分布.
解 ξ,η各可取值0,1,…,
n
1
和0,1,…,
n
2
, 则ζ可取值0, 1,…,
n
1
+
n
2
,
且由§4的(5)式，得
P(ζ= r) =
r

P(

k,
< br>rk)

P(

k)P(

rk)
k0
rr
=
k0

=
k 0

C
k
n
1
pq
k
n
1k
C
rk
n
2
p
rk
q
n2
rk
=
pq
r
n
1
n
2r

C
k0
r
k
n
1
rkC
n
2

=
rr
n
1
n
2
r
C
n
pq
n
12
,
这里用到了组合数的性质. 计算的结果表明: ξ+η～B (
n
1
+
n
2
, p), 这个事实
显示了二项分 布一个很重要的性质：两个独立的二项分布，当它们的第二参数相
同时，其和也服从二项分布，它的第一 参数恰为这两个二项分布第一参数的和.
这性质称为二项分布的再生性（或可加性(additive property)）.从ξ,η的概
率意义来看，这结果是非常明显的：ξ和η分别是
n1
和n
2
重贝努里试验中成功的
次数，两组试验合起来，ζ=ξ+η应该 就是
n
1
n
2
重贝努里试验中成功的次数.
本例计算过程中得到的公式
P(ζ= r) =

P(

k,

rk)

P(

k)P(
rk)
k0
rr
=
k0
(2)
是计算取非负整数值的独立随机变量和的分布的公式，称为离散卷积公式.

二、一维连续型随机变量的函数的分布
设ξ的密度函数为p (x)，我们要求出η=f (ξ)的分布函数
G
(
y
). 事实上, G(y)
=P(ηy) = P(f (ξ) y), 而D ={x:f (x) y}是一维波雷尔集，故
G(y)= P(ξ∈D) =

xD
p(x)dx
. (3) < br>至于η是不是连续型随机变量，它的密度函数是什么，在一般场合无法作出
决定，但在某些特殊而 又常见的场合，我们可以直接导出η的密度函数g(y).
1
f
定理1 若f(x)严格单调，其反函数(y)有连续导函数，则η=f (ξ)也是连
续型随机变量，其密度函数为

p(f
1
(y)) |(f
1
(y))

|,
yf(x)的值域,
y其它.
0,
g(y) =

(4)
证 不妨设f(x)严格单调增加，且∞< x <+∞时, A< f (x) 显然若yA则G(y) = 0，此时有g(y)=0；当A1

f
(y)}, 故
f
1
(y)
G(y) = P(ηy) =


p(x)dx
,
1
f
令x =(v), 得

G(y)=

A
y
p(f
1
(v))(f
1
(v))

dv
=

y

g(v)dv
,
其中g(v) 如(4)式所示；而当yB时有G(y)=1, 故g(y) = 0; 这就证得(4)式.
当y = f (x)为严格单调减少时，类似可证(4)式成立.
推论 若y = f (x) 在不相重叠的区间
I
1
,I
2
,…上逐段严格单调, 在各段的反< br>函数
h
1
(y),h
2
(y)
,…有连续导数，则η = f(ξ)是连续型随机变量，其密度为


p(h
i
(y)) |h
i

(y)|,
当y各h
i
(y)的定义域时,< br>
其它.
0,
g(y) =

. (5)
证 注意到{f (ξ) y}={ξ
合，再利用(4)式得到

E
i
(y)
i
}，其中
E
i
(y)
是
I
i
中满足f (x) y的
x
的集
P(
y)P(



E
i
(y))


ii
E
i
(y)
p(x)dx

=


i
y

p(h
i
(x))|hi

(x)|dx

p(h(x))|h

(x)|d x.

=

ii
i
y
由此即得证(5)式.
例3 设ξ～N( a,

), 求η=
k
ξ+
b
的密度函数 (k

0).
1
解

y =f(x) = kx+b满足上述定理1中的条件，
f
(y) = (y b) k, ξ的密度
2
p(x)=
1

(xa)
2

< br>

2

2

, ∞ < x <+∞, 由(4)式,
2π

exp

1

(yka b)
2

1
yb
22



 [a]2

2
2(k

)
2π|k|


,
k
g(y) =
2π

exp{}·|1 k | =exp

22
说明η～N(ka+b,
k

). 特别，若η= (ξa) b，则η～N(0,1)，这个结果早已
为我们所熟知.
2

例4 ξ～N(0, 1), 求η=的密度.
2
解 y=
x
是分段单调的，反函数：当
I
1
=(,0)时, x=
h
1
(
y
)=
y
; 当
I
2
=(0,+ )
时，x=
h
2
(y)=
y
; 值域都是y>0. 故y>0时，
2
2


(y)


1

(y)


1
1


< br>




2
2
g

(y ) =
2π
exp




2y

2y
+
2π
exp

1

1
y2
=
2πy
e
;
y0时,
g

(y)=0.
它称为

2
(1) 分布. 关于

2
分布，后面还要作较详细介绍.
例5 设ξ有连续的分布函数F(x), 求θ= F(ξ)的分布.
解 考虑θ的分布函数，因为0F(x)1, 故
x<0时, P(

x) = 0,(不可能事件); x1时,
P
(

x) =1, (必然事件);

当0x<1时，{

x}={F(ξ) x},考虑F(x)的反函数，
由于y = F(x)不一定严格增加，对同一y，可能有很多个x
与它对应, 为确定起见，对任意 0y1，定义
F
1
(y) = sup{x: F(x)作为F(x)的反函数（图2－6中，对应y
1
的是x
1
）.于是
P(

x) = P( F(ξ) x) = P(ξ F
1
(x)) = F(F
1
(x)) = x,
即

= F(ξ)服从[0, 1]上的均匀分布.
例6 （例5的反问题）若

服从 [0, 1] 上的均匀分布, F(x)满足分布函数的
三个性质,求ξ= F
1
(

)的分布.
解 ξ的分布函数为
P(

x) = P(F
1
(

) x) = P(

F(x)),
因为0F(x) 1，而

～U [0, 1]，由均匀分布函数的定义，对任意x，上式等
于F(x).
本例说明：不论F(x)是什 么函数，只要满足分布函数的三个条件，就存在随
机变量使其分布函数为F(x).

三、(连续型)随机向量函数的分布律
设 (

1
,,

n
) 为连续型随机向量，其密度为p (
x
1
,,x
n
). 又设η=f (

1
,,

n
),
则η的分布函数可由下式决定:
F

(y) = P (f (

1
,,

n
)y) =
f(x,
1

p(x
1
,x
n
)dx
1
dx
n
,x
n
)y
. (6)
下面看几种特殊情况.

1.1.η=

1


2

F

(y) =
xxy
12

p(x
1
,x
2
)dx
1
dx
2
=



dx
1

yx
1

p(x< br>1
,x
2
)dx
1
dx
2
,
作变量代换x
2
=z- x
2
，再交换积分次序，得
F

(y)=



dx
1

p(x
1
,zx
1
)dz

y
=

y

(



p(x
1
,zx
1
)dx
1
)dz
,
这说明η是连续型随机变量，其密度函数为

p

(z)



p(x,zx)dx
. (7)
特别, 当

1
与

2
相互独立，各自有 密度p
1
(x), p
2
(x)时,

1
+

2
的密度为

p

(z)



p
1
(x)p
2
(zx)dx
（或



p
1
(z x)p
2
(x)dx
'
(7)
) .
(7)
'
式称为卷积公式(convolution)，与离散卷积公式 (2) 对照，两者极为相似.
例7 ξ,η独立同分布，都服从N (0,1), 求ζ=ξ+η的分布密度.
解 用卷积公式
(7)
. 对任意zR,
p

(z)


'
1
2

2

e
x
2
2
1
2

e(zx)2
dx
2

1
=
2π2
e
z4


2
2π

e
(2xz2)< br>2
2
dx
.
1
e
z
2
4
注意到上面积分号中是N(z2 ,12)的密度， 就有
p

(z)
=
2π2
ζ=ξ+η～N (0, 2).
, 这说明
以后会用更简单的方法证明：若ξ,η相互独立，ξ～N(
a
1< br>,

1
), η～N
222
(
a
2
,

2
), 则ξ+η～N (
a
1
a
2
,

1


2
). 本例是其特殊情况. 与本节的例2对照，
2
可知正态分布对两个参数都有再生性.
例8 设ξ,η相互独立，密度函数分别如下两式，求ζ=ξ+η的密度.

ae
ax< br>,
x0,

be
bx
,
x0,
p
(x)

p

(x)

x0.x0 .
(b > 0).
0,

0,
(a > 0);
解 当且仅当x >0且z-x >0时, 即z > x >0时,
p

(x)p

(zx)
0. 因此由(7)
式，当z0时
p

(z)0
；当z >0时，

p

(z)

ae
ax
be< br>b(zx)
dxabe
bz

e
(ab)xdx
00
zz

ab
bz
(ee
az
)
ab
. 故1) a = b时,
p

(z)abze
; 2) ab时,
2.η=

1


2

F

(y)P(

1


2
 y)=


dx
2

0
yx
2
bz
p

(z)
x
1
x
2
y
p(x
1
,x
2
)dx
1
dx
2
0

p(x
1
,x
2
)dx
1
 
p(x
1
,x
2
)dx
1


dx
2



yx
2
,
令
x
1
zx
2
, 并交换积分次序，得
F
(y)

[


y
y
0< br>p(zx
2
,x
2
)x
2
dx
2


p(zx
2
,x
2
)x
2
dx
2
]dz

0




p

(z)dz

.
这说明若 (

1
,

2
) 是连续型随机向量，则η=

1


2
是连续型随机变量，其密度为

p
(z)



p(zx,x)|x|dx
. (8)
例9 ξ,η相互独立，都服从U [0, a], 求ξη的密度.
0x a,
1

,

p

(x)p

(x)

a


0,
其它.
又ξ,η相互独立，解 故只有


0xza
1

当

0xa
时，p(zx, x) =
p

(zx)p

(x)
=
a
2
0. 上述区域为图中
阴影部分.由(8)式，当z < 0时，对任何x, p(z x, x) = 0, 此时
p



(z)0
; 当0z<1时，由图
p



(z)

1
0
a
中区域I，
a
2
xdx
1
2
;
az
当1z<+∞时，为图中II,
3.次序统计量的分布
p



(z)

1
0
a
2
xd x12z
2
.
设

1
,

2
,,

n
独立同分布，分布函数都为F(x). 把

1
,

2
,,

n
每取一组值

1
(

),

2
(

),,

n(

)
(
w


)都按大小次序排列，所得随 机变量

1
*
,

2
*
,…,

n
*
称为
****




12n1
次序统计量(order statistic), 它们满足…. 因此，= min {

1
,

2
,,

n
}, < /p>


n
*
=max{

1
,

2
,,

n
}.
****




1n1n
现在来求,及(,)的分布，这在数理统计中是有用的.
1)

n
的分布函数
*
P
(

n

x
) =
P(

1
x,

2
x,,

nx
)
n
=
P
(

1
x)P(

2
x)P(

n
x)
=
[F(x) ]
. (9)
*
2)

1
的分布函数
**
*
先
考虑{

1
x}的逆事件{

1
> x},
*n
P{

1
> x}=
P(

1
x,,

n
x)
=
P(

1
x) P(

n
x)
=
[1F(x)]
,
故
P(

1
x)=1-
[1F(x)]
.
**
3) (

1
,

n
)的联合分布函数
*n
(10)
*****
F(x, y) = P(

1
x,

n
y) = P (

n
y )P(

1
> x,

n
y)
n
n
=
[F(x)]
-
P
(
i1(x

i
y)
),
因此当x < y时,
nn
F(x, y) =
[F(x)]

[F(y)F(x)]
;
当xy时,
n
F(x, y) =
[F(x)]
. (11)
如果
< br>1
,

2
,,

n
还是连续型随机向量，有 密度p(x) =F(x)，则上面各随机变量
（向量）也是连续型，可将各分布函数求导以得到密度函数.

四、随机向量的变换
设 (

1
,

2
,,

n
) 的密度为p(
x
1
,,x
n
). 现有
m
个

1
,

2
,,

n
的函数:

1
=f
1
(

1
,

2,,

n
),…,

m
=f
m
(
1
,

2
,,

n
), 则 (

1
,…,

m
) 也是随机向量，除了各

边际分布外，还要求其联合分布. 类似(6)式, 其联合分布函数为
G(
y
1
,,y
m
)=P(

1
y
1
,

,

m
y
m
)=

D

p(x,
1
,x
n
)dx
1
dx
n
.(12)
这里D是n维区域:{(
x
1
,,x
n
):
f
1
(x
1
,, x
n
)y
1
,…,
f
m
(x
1
,,x
n
)y
m
}.
定理2 如果m = n, {f
j
}有唯一的反函数组：x
i
= x
i
(
y
1
,,y
n
), i=1,…,n, 且
(x1
,
J=
(y
1
,
,x
n
)
,y
n
)
0, 则(

1
,…,

n
)是连续型随机向量. 当(
y
1
,,y
n
) (
f
1
,,f
n
)
的值
域时，其密度为

J|， (13) q(
y
1
,,y
n
) = p[x
1
(
y
1
,,y
n
),…, x
n
(
y
1
,,y
n
)
]|
其它情况 q(
y
1
,,y
n
)=0.
证 只须在(12)式中利用重积分的变量代换:
u
1
=
f
1
(x
1
,x
n
)
,…,
u
n
=
f
n
(x
1
,x
n
)
, 就有
q( u
1
,,u
n
)du
1
du
n
G(< br>y
1
,,y
n
) =




,
y
1
y
n
故q(
y
1
,,y
n
)确为(

1
,…,

n
)的联合密度.
例10 ξ,η相互 独立，都服从参数为1的指数分布，求α=ξ+η与β=



的联合密度; 并分别求出ξ+η与



的密度.
解 (

,

)的联合密度：当x > 0且y > 0时，p(x, y) =
e
(xy)
, 其它情况为0.

uxy
< br>xuv(1v)

vxy
函数组

的反函数组为

yu(1v)
，当x, y>0时, u, v>0,
J
1

2
11
(u,v)
xyu
(1v)


(x,y)
1yxy
2
=y
2
=-
u
, 故 |J| =
(1v)
2
,
由(13)式，(

,

)的联合密度为：
u2
u >0且v >0时, q(u, v ) =
eu(1v)
; 在其它情况q(u, v) = 0.

=ξ+η与

=



各自的密度为q(u, v) 的边际密度. 不难看出：
u>0时,
p

(u)ue
;
u
0时，
p

(u)
=0;
2
p(v)
(1v)

v>0时, =1;
v
0时，
p

(v)
=0,
u

并且

,

相互独立.
本 例中，自然也可以用第三段中的方法计算ξ+η与



各自的分布，但这里的方法显然更方便.
这是一个富有启发性的例子，它告诉我们：
1
o
要判断随机向量的几个函数

1
,…,

n
是否独立，可用 随机向量变换公式求得它们的联合分布，再用独立性的
各种充要条件来判断；
2
o要求随机向量的一个函数的分布，有时可适当补充几
个函数，先求它们的联合分布，而原来要求的函 数的分布可作为其边际分布.
例11 假设X是一个随机变量，令Y＝2X，那么我们可以用X的分布 函数F
X
(x)
来表示（X，Y）的联合分布函数F
XY
(x,y) .
如果y2x，那么
P(Xx，Yy)＝P(Xx)=F
X
(x);
如果y<2x, 那么
P(Xx, Yy)=P(Yy)=P(Xy2)=F
X
(y2)
因此

F(x),y2x.
F
XY
(x,y)

X

F
X
(y2),y2x.

例12 例12


，

相互 独立，并且

服从N(0,

2
),

服从(0 ,)上
的均匀分布.求

＝

＋acos

的密 度函数，其中a为常数.
解 (

，

)的联合密度为：
22

1
e
x2
,x,0y,
< br>


其他.
p(x,y)=

0,
令

＝

，那么与变换

=

+aco s

，

＝

相对应的方程组是

uxacosy,

vy.

它有唯一解

xuacosv,

yv,


并且J＝1. 这样我们得到q(u,v)=p(uacosv,v).因此，

的密度函数为