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概率论与数理统计习题解答

第一章 随机事件及其概率
7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布

一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间
不超过3分钟的概率．
解：设随机变量
X
表示“乘客的候车时间”，则X
服从
[0,5]
上的均匀分布，其密度函数为
于是有
P(0 X3)

3
0

15,x[0,5]

f (x)

x[0,5]

0,
3
f(x)dx0. 6.

5

二、已知某种电子元件的使用寿命
X
(单位:h)服从指数分布，概率密度为
x

1

800

,x0;

f(x)

800
e

x0.

0,
任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h以上的概率．
解：设
A
表示 “至少有１个电子元件能使用1000h以上”；
A
1
、
A
2
、
A
3
分别表示“元件甲、乙、丙能
使用1000h以上”．则


1

800800

4
P(A
1< br>)P(A
2
)P(A
3
)P(X1000)
edxe0.287

1000
e
1000
800P(A)P(A
1
A
2
A
3
)P(A
1
)P(A
2
)P(A
3
)P(A
1
A2
)P(A
2
A
3
)P(A
1
A
3
)P(A
1
A
2
A
3
)


xx
5

30.28730.2870.2870.638

（另解）设
A
表示“至少有１个电子元件能使用1000h以上”．则
< br>1

800
P(X1000)

edxe
8 00
1000
800

xx

1000
23< br>e

5
4
0.287

从而有
P(X1000)1P(X1000)1e0.713
，进一步有 P(A)1[P(X1000)]
3
10.713
3
0.6 38


5
4

三、(1) 设随机变量
X
服从指数分布
e(

)
．证明：对于任意非负实数
s
及< br>t
，有
P(XstXs)P(Xt).

这个性质叫做指数分布的无记忆性．
1)
．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上 (2) 设电视机的使用年数
X
服从指数分布
e(0．
的概率．


x
解：（１）因为
X~e(

)
，所以
xR
，有
F(x)1e
，其中
F(x)
为
X
的分布函数．
设
AXst
，
BXt
．因为
s
及
t
都是非负实数，所以
AB
，从而
ABA
． 根据条件
概率公式，我们有
P(XstXs)P(AB)
P(AB)P( A)P(Xst)1P(Xst)


P(B)P(B)P(Xs) 1P(Xs)
1[1e


(st)
]


t


．
e


s
1[1e]
另一方面，我们有

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第一章 随机事件及其概率
P(Xt)1P(Xt)1P(Xt)1F (t)1(1e


t
)e


t
．
综上所述，故有
P(XstXs)P(Xt)
．
（２）由题设，知
X
的概率密度为

0.1e
0.1x
，x0；

f(x)

x0．

0，
设某人购买的这台旧电视 机已经使用了
s
年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用
5年以上的概 率为
P(Xs5Xs)P(X5)


5
f(x) dx0.1


5
e
0.1x
dxe
 0.1x
5
e
0.5
0.6065
．
答：该电视机还能使用5年以上的概率约为
0.6065
．
四、设随机变量
X
服从二项分布
B(3, 0.4)
，求下列随机变量函数的概率分布：
（1）
Y
1
 12X
；（2）
Y
2

X(3X)
．
2
1 2 3
解：
X
的分布律为

0
X

p

0.216


（1）
Y
1
12X
的分布律为

1
Y
1

p

0.216


（2）
Y
2


0.432

0.288

0.064

1

0.432

3

0.288

5

0.064

X(3X)
的分布律为
2
Y
2

p


即

0 1 1 0
0.216

0.432

0.288

0.064

Y
2

p


五、设随机变量
X
的概率密度为
0 1
0.28

0.72

2

,x0;

f(x)


(x
2
1)


x0.

0,
求随机变量函数
YlnX
的概率密度．
解：因为
F
Y
(y)P(Yy)P(lnXy)P(Xe)F
X
(e)

所以随机变量函数
YlnX
的概率密度为
yy

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第一章 随机事件及其概率
2e
y
f
Y
(y)F(y)F(e)ef(e)e (y)
，即
2y

(e1)
'
Y
'
X
yyyy
2e
y
f
Y
(y) (y)
．

(e
2y
1)