短的现代诗-河南12366

求随机变量函数的分布的方法的探讨
摘 要：
文章主 要讨论了离散型随机变量函数的分布及连续型随机变量函数的
分布,并在此基础上讨论了不同类型随机变 量混合函数的分布.对于离散型随机
变量，本文结合例题，给出了一维离散型随机变量和二维离散型随机 变量的分布
函数的一般求法.对于连续型随机变量,本文结合函数的性质，对一维连续型随机
变 量和二维连续型随机变量进行的分析，并详细的介绍了几种常用的连续型随机
变量分布函数的计算方法. 对于混合型随机变量，在离散型和连续型随机变量的
基础上，进行跟进一步的探讨并进行了详细的说明.
关键词：
随机变量;离散型随机变量;连续型随机变量;混合函数

Distribution of Random Variables Function

G u o y a n School of Mathematics and Computer Science
Abstract：
This paper mainly discusses the function of discrete random variable
distribution and function of continuous random variable distribution, and on this basis
to discuss the different types of mixed-function distribution of random variables. For
discrete random variables, examples are given one-dimensional discrete random
variables and two-dimensional discrete random variables common method of finding
the distribution function. For continuous random variables, on the one-dimensional
continuous random variable and two-dimensional continuous random variables in the
analysis, and detail several common continuous distribution function of random
variable calculation. For the mixed random variables; we conducted further
investigation and a detailed description.

Key words：
Random Variables Discrete Type Random Variables Continuous Type

Random Variables; Mixed Functions

引言：
概率统计是研究随即现象的统计规律的一门学科，随机现象与社会实践、人类生活的密切性决定了这门学科的重要性；随即现象的普遍性决定了这门学科
应用的广泛性。随机 变量（random variable）表示随机现象（在一定条件下，
并不总是出现相同结果的现象 称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本
点）。例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话 交换台在一定时间内收到
的呼叫次数等等，都是随机变量的实例。要全面了解一个随机变量，不但要知道
它取哪些值，而且要知道它取这些值的规律，即要掌握它的概率分布。概率分布
可以由分布函数 刻画。若知道一个随机变量的分布函数，则它取任何值和它落入
某个数值区间内的概率都可以求出。有些 随机现象需要同时用多个随机变量来描
述。例如 ，子弹着点的位置需要两个坐标才能确定，它是一个二 维随机变量。
类似地，需要n个随机变量来描述的随机现象中，这n个随机变量组成n维随机
向 量 。描述随机向量的取值规律 ，用联合分布函数。随机向量中每个随机变量
的分布函数，称为边缘分 布函数。若联合分布函数等于边缘分布函数的乘积 ，
则称这些单个随机变量之间是相互独立的。作者通 过广泛的阅读与探讨，深入的
总结分析随即变量函数的分布方法，并结合自身的体会通过例题详细说明各 种随
机变量的分布函数及其求法。
1. 离散型函数的分布函数的求法
1.1一维随机变量函数的分布函数的一般求法

设

是以一个(离 散型)随机变量，
yg(x)
是一个实函数，则

g(

)
也是
一个(离散型)随机变量。
如果随机变量的函数

g(

)
是离散型，求

的分布只要逐点分析出

的全
部可能取值及取各可能值的相应概率即可。即设

有分布律
则随机变量

g(

)
的分布律为：
P(

x
k
)p
k
k,1,2,



p
k

g(x
1
)

g(x
2
)

....

p
1

p
2

....

若有若干个
g(x
2
)
的值相等，则应 将它们合并，相应的概率相加.

012345

例1：已知随机变量

的分布列为

111121





12631299

求

2

1
及

(

2)
2
的分布列.
解：

的所有取值为1，3，5，7，9，11且有

p(
1
)p(

0)
=
112
，
p(

3
)p(

1)
=16

p(

5
)p(

2)
=13，
p (

7
)p(

3)
=112

p(

9
)p(

4)
=29，
p (

11
)p(

5)
=19

1357911

因此

的分布列为

111121





12631299


的所有取值为0，1，4，9且有
p(

0
)p(

2)
=13，
p(

1
)p(

1)p (

3)
=14.
p(

4
)p(

0)p(

4)
=1136 ，
p(

9
)p(

5)
=19.

0149

因此

的分布列为

11111

.




34369

例2：已知随机变量

的分布律如下



1 2 3 4

p

0.7 0.21 0.063 0.027
求

sin


2
的分布律.

解：

的可能取值为-1，0，1，于是

p(

1)p(sin

p(

0)p(sin

2
2
1)p(

3)< br>=0.063；

0)p(

2
或
4)
=
p(

2)p(

4)

=0.21+0.027=0.237；

p(

 1)p(sin

2
1)p(

1)
=0.7.
101

从而

有分布律

～

.


0.0630.2370.7

1.2二维随机变量函数的分布函数的求法
设
(

,

)
是二维离散型随机变量，有联 合分布律
p
ij

p(

x
i
,

y
j
)
(i,j1,2,)
，设

g (

,

)
是
(

,

)
的函数，则

也
是离散型的，其可能的取值是
z
ij
=
g(x
i
,y
j
)(i,j 1,2,)
，类似于一维，我们可以写出

的分布律为：


p
k

….. g（
x
i
，
y
j
）……. i=1, 2…..
…..
p
ij
……. j=1, 2….. < br>同样，若有若干个g（
x
i
，
y
j
）的值相等，应将 它们合并为一项，把相
应的概率相加。
当

1
,

2
相互独立且只取非负整数值时，由

1
和

2
的边缘分布列来计算

=

1


2
的分 布列的公式：
由
(

k)
=
(

1
0,

2
k)

(

1
 1,

2
k1)

……
(

1k,

2
0)
,
k1,2...
及

1
,

2
相互独立，有
p(

k)
P(

1
0)P(

2
k)P(

1
1)P(

2
k1)...P(

1
k)P(

2
0)



P(

1
i)P(

2
ki)
，
k1,2...

i1
k

0,
例3： 若n个 随机变量

1< br>,

2
,....

n
相互独立且服从相同的两点分 布


q,
（p +q=1），则

1


2
......

n
～b（n，p）.
证明：用数学归纳法证明:
当n=2时，
p(

1

2
0)p(

1
0)p(

2
0)
=
q
2
,

p(

1


2
1)p(

1
1)p(< br>
2
0)p(

1
0)p(

21)
=2pq,

p(

1


2
2)p(

1
1)p(

2< br>1)
=
p
2
.
1,

0,
< br>1
+

2
的分布列为


q
2,2pq,

2

.显然

1
+
< br>2
~
b(2,p)
.


2
p

1


，
p

记

n
=

1


2
....

n
，假定

n
~
b(n,p)
.
下面证明
< br>n1
=

1


2
....

n
+

n1
~
b(n1,p)
.由

n1
=

n
+

n1
，有

(

n1
0)(

n
0,
n1
0)
，

(

n1< br>k)(

n
k,

n1
0)
< br>(

n
k1,

n1
1)
,
(k1,2...n)
,


(

n1n1)(

n
n,

n1
1)
. 又

n
与

n1
相互独立，所以

p(

n1
0)p(

n
0)p(
< br>n1
0)
=
q
n
q
,

p(

n1
k)p(

n
k)p(
< br>n1
0)p(

n
k1)p(

n1< br>1)

kknk
k1k1n(k1)
=
C
n
pqq
+
C
n
pqp

kk(n1)kk1k(n1)k
=
C
n
+
C
n

pqpq
kk(n1)k
=
C
n
,
1
pq
n1n1(n1)(n1)

p(

n1
n1)p(

n
n)p(

n 1
1)
=
p
n
p
=
p
n1
=
C
n
.
q
1
p
故

n1
=

1


2
....

n
+

n1
～
b(n1,p )
.
例4：若随机变量

1
,

2
相互 独立，分别服从参数为

1
，

2
的泊松分布，则

1


2

服从 参数为

1
+

2
的泊松分布.
证明：由

1
,

2
相互独立，有
p(

1


2
k)p(

1
 0)p(

1
k)p(

1
1)p(
1
k1)...p(

1
k)p(

10)
=

p(

1
r) p(

2
kr)
=

r0
k
k< br>
1
r
r!
e


1

2
kr
(kr)!
e


2

r0
=
e
(

1


2
)
k!

r!(kr)!
r0
k
k!

1

2
rkr
=
(

1


2
)
k
k!
e
(

1


2
)
, k=0, 1, 2…
此即

1


2
服从参数为

1
+

2
的泊松分布.
例5：已知
(

,

)
的联合分布律写成如下形式：
(

,

)

（0，0） （0，1） （0，2） （1，0） （1，1） （1，2）
0 215 315 115 615 315

P
ij
< br>求





及


< br>

的概率分布
解： i. 显然

的可能取值为0，1，2.由此可得分布律:



p
0 1 2
615 6 15 315
ii.

的可能取值为0, 1, 2, 3. 类似可得

分布律：



p
1 2 3
315 915 315
其中
p(
0)p(

0,

0)
=0.

2 连续型函数的分布的求法
2.1一维连续型随机变量函数的分布函数求法
2.1.1一般求法
设

为连续型随机变量,其密度函数为
p

(x)
,

f(

)
的分布函数为
F

(y)
，则
F

(y)
=
p(

y)
=
p
(
f(

)y)
=

F

(y)
为连续型分布,则
P

(y)
=
例6：设

服从
(
P(x)dx
如果
f(x)y

dF
n
(y)

为的分布密度。
dy

,)
上的均匀分布，求

sin

的分布函数。
22
解：
F

(y)
=
p(
< br>y)
=
p(sin

y)

当
y1
时，
F

(y)
=0.
当
y1
时，
F

(y)
=1.
当
1y1
时，
F

(y)
=
p(sin
y)
=
p(

arcsiny)

=
=
于是

的分布函数是



2
1
arc siny
1

dx
=
1

(arcsiny
2
)


arcsiny
1
.
2
0,y1


1

1


F
=
arcsiny,1y1

(y)


2


1,y1


例7：设
是服从N(0,1)分布的随机变量，试求



2
的分布函数.
解：对
y
0
,显然有
F

(y)
=
p(

y)
=0.
而当
y0
时有
F

(y)
=
p(
y)
=
p(

2
y)

=
p(y

y)
=

y

(x)dx
y

0,y0

于是

的分布函数为
F

(y)
=

y

< br>y

(x)dx,y0


2.1.2随机变量函数为单 调函数的分布函数求法
定理1 设连续型随机变量

的密度函数为
p

(x)
,
y
其反函数
f(x)
为严格单调函数,f
1
(y)
有连续的导函数,则

f(

)
也是一个连续型的随机变量,其
密度函数为

p
(f
 1
(y))|[f
1
(y)]
'
|,

y< br>

p
（
=


（1.1）

y）

其他

0,
其中

min{f(),f()}


max{f(),f()}
.
证明：不妨设
上升函数.
于是
F

(y)
=
p(

y)
=
=
f(x)
为严格单调上升函数， 这时它的反函数
f
1
(y)
也是严格单调
p(f(
)y)

1
f
1
(y)
p(

f(y))
=


p(x)dx
,
f()yf()
.
由此得

的密度函数为
11
'
,f( )yf()

p(f(y))[f(y)]


p
（
=
F

'
(y)
=



y）

其他

0,
同理可证，当
f(x)
严格 单调下降时，有
11'


p

(f(y))[ f(y)]
,f()yf()

p
（
=



y）
其他


0,
由此知(1.1)式成立，命题得证.
由定理1有如下推论:

推论1 若随机变量

有分布密度
p
< br>(x)
,

a

b
,
a
≠0则

的分布密度
yb
1
p
（y ）
=
P()


a|a|
|[
f
1证明:取
f(x)
=
axb
,则
f
1
(y)
=
yb
,
a
(y)
]
'
|
=
1
,由定理1立得.
|a|
例8：设

服从正态分布N(0,

2
),求

=
e

的密度函数. 解：因为
ye
x
单调增加,其反函数为
xlny
,于是在< br>e
x
的值域
y0
内,有
p

(y)
=
p

(lny)|(lny)
'
|
=
1
2

2
(lny)

e
2

2
1

y
(lny)
2

1

2

e
2

,y0

所以

=
e
的密度函数为
p

(y)
=

2

y


其他

0,
2.1.3随机变量函数为非单调函数的分布函数求法
定理2 设随机变量

有概率密度
p

(x)
,且 在
(a,b)
以外的区间恒为零,

f(

),函数
yf(x)
非严格单调且在
(a,b)
内有

y

,将
(a,b)
分为若
干互不相交的区间
I
1
,I
2
,I
3
,…,
yf(x)
在每个小 区间上逐段严格单调,且函
数值都充满区间
(

,

),设其反函数为
h
1
(y),h
2
(y)
…,且
h
1
(y),h
2
(y)
,…均为连
续函数,则

f(

)
是连续型随机变量,其密度函数为:
'
< br>p
[h(y)]|[h(y)]|,

y

i

i

i

P

(y)
=


0,其他


定理2的证明参见文献[1]
推论2 设随机变量

的分布密度为
p

(x)

x(,)
,函数
yf(x)
在
(,)
上为偶函数且在
(
0
,)
上严格单调,其反函数
xh(y)< br>连续可导.则

f(

)
是连续型随机变量,其分布密度为 :

'


{
p
< br>[h(y)]+
p

[- h(y)]} | [h(y)]|,α< y <β

P

(y)
=

,其他

0
其中

min{f(0),f()}
,

max{f(0),f()}
.
证明：设
f(x)
在
(
0
,)
上严格单增,在
(,
0
)上严格单减,因为
yf(x)
在
(

,

)
内取值,故当
y

时
F

(y)
=0,当
y

时,
F

(y)
=1,当

y

时

F

(y)
=
p(

y)
=
p(f(

)y)
=
p(h(y)

h(y))
=
两边对
y
求导得

的分布密度为
'


{
p

[h(y)]+
p

[- h(y)]}[h(y)],α< y <β

P

(y)
=

，其他


0

h(y)
p

(x)dx


h(y)
当
f(x)
在
(
0
,)
上严格单减,在
(,
0
)
上严格单增时,同理可得
'



p

[h(y)]+
p

[- h(y)]}[-(h(y))],α< y <β

P

(y)
=

，其他


0
综上可得
'


{
p

[h(y)]+
p

[- h(y)]} | [h(y)]|,α< y <β

P

(y)
=

,其他


0
2.2 多维连续型随机变量函数的分布函数求法
设
(

,

)
为一二维连续型随机变量,
f(x,y)
和
F(x,y)
为其联合分布密度和
联合分布函数,
g(x,y)
为一二元实函数,则

g(

,

)
为一随机变量,当

取
x
,

取
y
时,

取
z
g(x,y)
, 其密度函数为
f
(z)
,

g(

,

)
的分布函 数为
F

(z)
，则
F

(z)
=
p(

z)
=
p(g
(

,

)
z)
=
g(x,y)z

f(x,y)dxdy
如果
dF

(z)
为

的分布密度.
F

(z)
为连续型分布,则
f

(z)
= < br>dz
例9：设随机变量

1
和

2
相互独立 ，并且均服从N(0,1).



1
2

< br>2
2
，试计算


的
分布函数.
解：
F

(y)
=
p(

y)
=
p
(

1
2


2
2
y)
=
1
2

x
1
x
2
y

22
x
1
2
x
2< br>2

e
2
dxdx
12

r
2
r
2


xrcos


2

y

y


1

y

令

1

=
d

e
2
rd r
=

e
2
|
0
=
1
e
2

(y0)
.
0
x
2
rsin



2

0



在 这里我们对一些简单的函数
g(x,y)
求出随机变量

的分布并讨其规律.
2.2.1和的分布
设
(

,

)
的联 合分布密度和联合分布函数为
f(x,y)
和
F(x,y)
，




的分布函数为
y
F（P(
z)P(



z)

z）
其中积分 域如图1-1所示.

f(x,y)dxdy

xyz
O
x+y=z
x
图1-1

txy
(x,y)< br>1

令

,有
(x,t)
xx

1
0
1

1




故

F（


z）
z



f(x,tx)dxdt
.
因此,





的分布密度为

f

(z)



f(x,zx)dx
(1.2)
特别,当

和

相互独立时,有
f

(z)



f

(x) f

(zx)dx
(1.3)
(1.3)式右边之积分 我们通常称为函数
f

(x)
与
f

(y)
之卷积,记作



f
(x)*f

(y)


f

(x)f< br>
(zx)dx

由此得到如下定理:
定理3 若随机变量

,

相互独立且均为连续型随机变量,则

+

也是连续
型随机变量,并且其分布为

和

分布密度之卷积. < br>例10：设

,

是相互独立的N(0,1)随机变量，求





的分布函数.
解：
P

(z)
=
(P

*P

)(z)
=
=


P

(x)*
P

(zx)d x

2



1
2

< br>1
2


x
e
2
2

(z x)
1

2
e
2
dx

=


1
2

(x
z
)
2

z
e
2
e
4
dx

=
2

2

z
e
4
2

=

1
2


z
e
4
2< br>
1
2
e
z
(x)
2
2
1
2
2
dx

=
1
2

2
< br>z
e
4
2
1
2

.

由此可知

是一个服从N(0,2)分布的随机变量.
例11：设

1
,

2
,

3
相互独立且均服从[0 ,1]上的均匀分布,求

1
+

2
+

3
的分布密
度.
解：

1
,

2
,

3
的分布密度为


1,
f

(x)



0,
0x1
其他
( i1,2,3)

先求



1


2
的分布密度.
由式(1.3)知


f

(z)




f

1
(x)f

2
(zx)dx

z=x+1
2
z=x
1
由于,当
0x1
时,
f

(x)0

1

1
2
图 1-2

所以,当
0zx1
,即
xzx1
时,
f

(zx)0

2
因此有,在图1-2中的阴影部分 区域
f

(x)f

(zx)0

12
当
z0
或
z2
时,
f

(x)f

(zx)0
,于是有
f

(z)
0

12
当
0z1
时,
f

(x)f

(zx)1
,于是有
12




f

(z)

dxz
,
0
1
z
当
1z2
时,
f

(x)f

(zx)1
,于是有
12

f

(z)

dx2z
.
z1
综上所述可以得到

z,

f

(z)


2z,



0,

0z1
1z2

其他
图 1-3



称其为三角形分布密度,其图像如图1-3所示。
令



1


2


3
,即




3
,又

和

3< br>独立,由式(1.3)知

f

(z)


f

(x)
f

3
(zx)dx

3
2
1
1

z=x+1
z=x
而,当
0x2
时,
f

(x)0

当
0zx1
时,即
xzx1
时,
f

(zx)0

3
于是,
3
当0x2
且
xzx1
时
2
f

(x )f

(zx)0
.
如图1-4中的阴影部分.
当
z0
或
z3
时,
f

(x)f< br>
(zx)0
,故有
f

(z)0
.
3
图 1-4
当
0z1
时,
f

(z)

z
0
z
2
xdx
，
2
z
当
1z2
时,
f

(z)< br>
xdx

(2x)dxz
2
3z
，
z1
1
2
z
2
9
当
2z3
时,=
f

(z)

(2x)dx3z
.
z1
22
2
1
3

综合以上结果可以得到

z
2
0z1

2< br>,

3
2
f

(z)

z3 z,1z2


2


z
2
93z,2z3

2

2

图 1-5
其图像如果1-5所示.
例11说明三个独立的服从同一均匀分布的随机变量之和的分布密度 已近似于正
态分布密度,若独立随即变量的个数在增加,这种近似程度会更好.
综上可知若< br>
i
~N(

i
,

i
2
),i1,2
且

1
,

2
相互独立,

1
,

2
是不全为零的常
数,则有

1

1


2

2
~N(
1

1


2

2
,
1
2

1
2


2
2
2
2
)

此结论可以推广到n个随机变量的情形.
例12：设 随机变量

，

，

相互独立,且

~N (2,16),

~N(3,25),

~(1,9)
,求：
2

3

与

2

3

的分布.
解：

2

3
< br>~N(22331,1
2
162
2
253
2
9)N(7,197)
,



2
< br>3

~N(22331,1
2
162
2253
2
9)N(11,197)
,
我们不加证明地给出如下结论：
定理4若
k
个随即变量相互独立,且

i
服从
(

i,

),i1,2,k< br>,则和

1


2



k
服从
(

1


2


k
,

)
.该定理在推导数理统计常用的

2< br>分布、t分布和F分
布时很有用.
2.2.2商的分布
定理5 二维随机变 量

，

的分布密度为
f(x,y)
,则





的分布密度为

f

(z)



f(yz,y)ydy

特别,当

，

相互独立时,有



f

(z)


f

(yz)f

(y)ydy

证明



F

(z)P(

z)P

z



f(x,y)
dxd y
,积分域如图1-6



x
z
y

x

u
(x,y)
yu

令

y
, 有
y

(u,y)
01

yy

y
x
所以






F

(z)

z

'


f(yu,y) ydydu
，


O
f

(z)
F

(z)

f

(yz)f

(y )ydy

图1-6
当

，

相互独立时,有

f

(z)


f

(yz)
f

(y)ydy
, (1.4)

的密度.


例13：设

~e(

)
，

~
e
(

)
.

与

独立，求


解： 当
z0
时，
P

(z)
=0.
当
z0
时，
P

(z)
=


|y|P

(yz)*
P

(y)dy




y
=

yP
(yz)


e
dy


0

=

y

e


y
P
(yz)dy


0



yz
=

y

e


y


e
dy
0

(



z)y

=


y
e
dy


0
=



(2)
=
(

z

)
2
(

z

)
2
.
例14：设随机变量

，

相互独立,其分布密度分别为


1
，
f

(x)


2
0,

1x3
其他
(y2)

，< br>2y

e

f

(y)


其他


0,

图像分别如图1-7 a) 和b) .试求
f



(z)
.
f

(y)

1 1
O
1
a)
3 x
O
1
b)
2 x
图1-7

解:令



,由(1.4)式及
f

(x)
和
f

(y)
的分布密度可以得到

f
(yz)
f

(y)y0
的区域.


当
2y
时,
f

(y)0

当
1yz3
时,即
13
z
时,
f

(yz)0

yy
于是,当
2y
且
13
z
yy
时,
z
4
3
2
32
12
f

(yz)
f

(y)y0



如图1-8中的阴影部分,有
当
0z
1
时, f

(z)
2

3

3
z
1
1
z
2
ye
(y2)
dy

O
1
2 3 4
5
x
图1-8
=
e
2


e
2
z


1
z
(1
z
)
e
z
(3
z
)


，


3
13
1
(y2)
3< br>e
2

3
z
ye
dy
e
z(3z)
当
z
.时,
f

(z)

2
2
22
2
2z
综合以上结果可以得到

3

e
2

1


zz


e(1z)e(3z)

,


2z


3e
2
3
f



(z)


e
z
(3z),

22z


0,

< br>1
0z.
2
13
z

22
其他2.2.3
max(

1
,

2
)
的 分布

1
,

2
)
与
min(
设

1
,

2
时两个相互独立的随机变量,他们的分布函数 分别为
F

(x)
和
1
F

(x)
,
2

1
,

2
)
,
min(

1
,

2
)
令

max(
可得,

F

(y)F< br>
1
(y)F

2
(y)


1F(z)


F

(z)1

1F(z)

2

1

以上结 论可以推广到n个随即变量的情形.
设 随机变量

1
,


,,
n

相互独立的,他们的分布函数分别为
F
i
(x),(i1,2,,n)
令

max(

1
,

,

,

n
),

min(

1
,

,

,

n
)
可得,

F

(y)

F

(y)

i1
i
n

F

(z)1
< br>
1F

(z)


i

i 1
n
特别地,当

1
,

,

,

n
相互独立且具有相同的分布函数
F(x)
时有







F

(y)

F(y)


，
F

(z)1[1F(z)]
n

n
再进一 步,若

1
,

,

,

n相互独立且具有相同的分别密度函数
f(x)
,则

max(

1
,

,

,

n
)
和

min(

1
,

,

,

n
)
也都是连续随机变量,分别具有如下分

布密度函数：
f

(y)n

F(y)

n1
f(y)
, (1.5)
f

(z)n[1F(z)]
n1
f(z)
. (1.6)
例15：设

1
,

,

,

n
相互独立且同服从[0,

]上的均匀分布,求
max(

1
,

,

,

n
)
和

min(

1
,

,

,

n
)
的分布.
解 由题设知

1
,

,

,

n
的分布密度和 分布函数为：


1

,
f(x)




0,
0x

其他


0,

x

F(x)

,



1,
x0
0x


x

有(1.5)和(1.6)式得

x
n1
1

,

n(1)
f

(x)
< br>

其他

0,
0x




x
n1
1
n(),0x


f< br>
(x)





其他
0,
2.2.4用随机变量变换求分布函数
定理6 设二维连续型随机变量(

1
,

2
)的分布函数为
F
(

1
,

2
)
(x
1
,x
2
),分布密度为

f
(

,

)(x
1
,x
2
)
0,
12

0< br>,(x
1
,x
2
)D
其他


1
=
f
(

1
,

2
)
,

2
=
g
(

1
,

2
)
为二维随机变量函数,则


x
1
f
1
(y
1
,y
2
),
Ⅰ)当
f,
g有惟一的逆变换



x
2
g
1
( y
1
,y
2
),

(y
1
,y
2
)D
'
;且此变换与


y
1
f(x
1
,x
2
),


y
2
g(x
1
,x
2
),(x
1
,x
2
)D
J =
都是单值连续的,其一阶偏导数连续,记
x
1
y
2
x
2
y
2
x
1
y
1
x
2
y
1

设(

1
,

2< br>)的分布函数为
F
(

,

)
(y
1
,y
2
)
,分布密度为
p
(

,

)
(
y
1
,y
2
)
则
12 12
F

1
,

2
=
p
(

1
y
1
,

2
y
2
)< br>y
2
y
1
=
p
(f(

1
,

2
)y
1
,g(

1
,

2
)y
2
)
=
g(x
1
,x
2
)y
2

f(x,x)y
12
p
(

1
,

2
)
(x
1
,x
2< br>)dx
1
dx
2
=



 
p
(

1
,

2
)
[(f1
(y
1
,y
2
),g
1
(y
1,y
2
))]|J|dy
1
dy
2

1
于是
'

p
[(f(y,y),g(y,y))]|J |,(y,y)D
;
12

(

1
,

2
)
112112
(1.7)
p
(

1
,

2
)
(y
1
,y
2
)=

0,其他


Ⅱ)当
f,
g
的逆 变换多值时,记

x

f(
y,y
),

1
1i
12


x
2

g
1i
(
y
1
,y
2
),

i

1,2,3.
...

其中
f
1i
,
g
1i
,i

1,2...分别为逆变换的单值支,此时变换把区域D分成若干小区域
D
i
(i1,2...)
,这样D′与D的各部分区域
D
i
成一一对应,于是,由Ⅰ)类似可得

p
[f
1i
(y
1
,y
2
),g
1i
(y
1
,y
2
)]|J
i
|,(y
1
,y
2
)D
'

(

,

)


p
(

1
,

2
)
(y
1
,y
2
)
=

i
12
0,其他


xf(y,y)
,
11i12


其中
J
i
为变换


x

g(y,y)
,
1i12


2
的行列式.
i1,2,3...
推论3 设(

1
,

2< br>)为二维连续型随机变量,其分布函数为
F
度为
p
(

1
,

2
)
(

1
,

2
)
(x
1
,x
2
)
,分布密
(x1
,x
2
)
,

1

f(

1
,

2
)
,并由此惟一的解得

1
g
(

1
,

2
)
,则< br>
1
的分布密

度为
p

1
(y
1
)
=


p
(
,

)
[(g(y
1
,x
2
),x
2
)]|
12

g
|dx
2

y
1



1
f(

1
,

2
)
证明: 在定理6的Ⅰ)中令

则(
1
,

2
)的分布密度为



,


22
p
(

,

)
(
y
1
,y
2
)
=
p
(
< br>,

12
12
)
(g(y
1
,y
2
),y
2
)|
g
y
1
|

上式两边积分求出关于

1
的边缘密度即可.
例16：设随即变量

，

相互独立,且具有相同的分布密度 

x



e,
f(x)




0,
x0

x0
试求随即变量
U



与
V

(

< br>
)
的联合分布密度.
解 由

，

相互 独立,故

，

的联合分布密度为



(xy)

,x0,y0


2
e
f(x,y)


x0


0,

u xy

xuv

(u0,0v1)
由

x
， 解得

v
yu(1v)


xy

变换的雅克比行列式
x
u
J
x
v
y
u
v

yu
v
1 v
u

u

由(1.7)式可得




f(u,v)f(x(u,v),y(u,v))J




2
e
2




u vu(1v)




u
u

ue,u0,0v1

故
U



与
V

(



)
的联合分布密度为:



2
ue
< br>
u
,
f(u,v)



0,
u 0,0v1
其他

x
2
2
例17：设
(
，

)
相互独立,且有相同的分布密度
1
2

e

(x(,))
,求



2


2
的分布密度.
解:构造
G

有


z
2
 x
2
y
2
(x,y)z

xgw
J (y,z0)


22
22
(g,z)
zg


gx

yzg
则
(G,
)
的联合分布密度为
f
(g,z)
f
(g,z
2
g
2
)J
z
2

zg
2 2
e

x
2
2

其中



2


2
,现求

的边缘分布
f< br>
(z)



f
(g,z
2
g
2
)Jdg



f
(g,z2
g
2
)Jdg2


z
2

zg
22

e

x
2
2
dg
其中
g,z0
.
因为
z
2
g< br>2
0z
2
g
2
0zgz
.所以 < br>f

(z)2


z
2
2

z
2

z
2
g
2
e

x
2
2
dg
z

e

x
22
1

z
z
z
1

z
< br>1


g

2
dg
z
e

x
2
1
2
11g
dr(令r)

1
z
2
z
1

r

z

1
zarcsin(
r
)z
e
21

e

2
3.两种不同类型随机变量混合函数的分布
对于随机变量函数的分布,当前的概率统计教材只对同类型的两个随机变量

,< br>
构成的





,

max(

,

),

min(

,

)
等随机向量函数的分布进行了
介绍,而当

为离散型随 机变量,

为连续型随机变量时,上述随机向量函数没

有涉及.这里我们着重给出了



的密度函数的计算方法并举例 作了说明。
定理7 设

为离散型随机变量,分布列为
P(
x
k
)p
k
,(x
k
0,k1,2,3,)
;

为连续型随机变量,密度函数为量,密度函数为
f(y)
;
,

相互独立;

x
k
的
条件下,

的条件密度函数
f

|

(yx
k
)
.令

< br>
,则

为连续型随机变量,密度

z

函数为
f

(z)p
k
f

|


x
k

.

x

k1

k



证明:

的分布函数

z

F

(z)P(

z)P(
z)P(


x
k
,



)

x
k


zz


P(

x
k
,

)

P(

x
k
)P(



x
k
)

x
k
x
k
k1k1




P(

x
k
)

k1
z

x
k
f

|

(yx
k)dy

令
y
u
,则上式为
x
k

z
F

(z)

p
k

k 1

f

|

(
u
x
k
)du

x
k


z


k 1

p
k
f

|

(
u
x
k
)du

x
k
由连续型随机变量概率密度的定义,

的概率密度函数为
f

(z)

p
k
f

|

(
k1

u
xk
)

x
k
定理8 设

为离散型随机变量, 分布列为
P(

x
k
)p
k
,(x
k
0,k1,2,3,)
;

为连续型随机变量,密度函数为
f (y)
;

,

相互独立;在

x
k< br>的条件下,

的
条件密度函数
f

|
< br>(yx
k
)
.令





,则

为连续型随机变量,密度函数为
f

(z)
< br>p
k
f

|

(zx
k
x
k
)
.
k1



定理9 设

为离散型随机变量,分布列为
P(

x
k
) p
k
,(x
k
0,k1,2,3,)
;

为连续型随机变量,密度函数为
f(y)
;

,

相互独立
(1) 令


max
(

,

)
,则

为连续型随机变量,其分布函数为
F

(z)

p
k

k1


z


z

f
(y)dy

其中

表示

的取整函数.
z





(2) 令

m in(

,

)
,则

为连续型随机变量,其分布 函数为
z


F

(z)1(1

p
k
)

1


f
(y)dy


k1

z

其中

表示

的取整函数.
z





证明:(1)
F

(z)P(

z)P(

z,

z)

由于

,

相互独立,所以上式
F

(z)P(

z)P(

z)



p
k

k1

z

z

f
(y)dy

其中

表示

的取整函数.
z





(2)
F

(z)P(

z)1P(

z)

1P(

z,

z)

1P(

z)P(

z)

1[1P(

z)][1P(

z)]
z
1(1

p
k
)

1
< br>f
(y)dy





k
1

z

例18:离散型随机变量

的分布列为
P(

k)
1
,k1,2,3,n
;连续型随机变
n

e
y
,y0
量

的概率密度函数
f
(y)

,

与

相互独立,求
< br>

的概率密度

0
,y0

函数.
解:由定理9,且

,

相互独立,则

的概率密度函数为
11
n
f
(z)< br>
f
(kz)

f
(kz)

n
k1k1
n

1
n
kz


e,z0

n
k1



n

1
e
0
,z0


n

k1

e
z
(1
e
nz
)
,z 0

z


n(1
e
)
.


n,z0

n

4 结 语
本文通过对离散 型随机变量、连续型随机变量以及两种不同类型随机变量的
混合函数的研究，深入探讨了随机变量函数的 分布的方法。引入大量定理及其详
细证明过程，并在其基础上进行扩展，例证。对于离散型随机变量本文 讨论了其
在一维和二维情况下的分布函数，并针对多维离散型随机变量给出了两点分布和
泊松分 布的相关定理及证明。对于连续性随机变量本文分类详细讨论了其在一维
和二维情况下的分布函数。对于 一维连续型随机变量本文给出了其分布函数的一
般求法、随机变量函数为单调函数的分布函数求法和随机 变量函数为非单调函数
的分布函数求法。对于二维随机变量本文给出了随机变量和的分布函数的求法，< br>商的分布函数的求法以及最大、最小的分布的函数的求法，并给出了用随机变量
变换求分布函数的 方法。最后，本文讨论了两种不同类型的随机变量混合函数的
分布，并给出了不同情况下的分布函数的求 法。