春节联欢晚会节目单-小学生综合素质评价

2.4 随机变量的函数的分布

1、设随机变量X具有分布律：
X －

2 0
0.3

2
0.5
p
k

求
Y
0.2
2
X
和
ZcosX
的分布律及分布函数。
3
2
解：
YX
的分布律为
3
Y

－

3 0

3
0.5
p
k

分布函数为：
0.2 0.3

0y

3


0.2

y0

3

F

y




0.50y


3



1y
3

ZcosX
的分布律为：
Z

0 1
0.3
p
k

分布函数为:

0z0

F

z



0.70z1


11z

0.7
2、设随机变量X服从标准均匀分布, 试求Y=e
X
的概率密度及分布函数。
解：X服从

0,1

均匀分布，则当
y1
时

F
Y

y

p

Yy

p

e
X< br>y

P

Xlny



0(y1)




lny(1ye)


1(ye)


17

所以，Y的概率密度为

1

(1ye)f(x)F(x)



y



0(其他）
3、设随机变量X 服从标准正态分布, 试求W = |X| 的概率密度。
解：对
yo
，有
F
W

y

P

Wy

0

当
y0
时，
F
W

y

P
< br>Wy

PXyP

XyXy




P

XyPX




y
1
因X 服从标准正态分布，所以
F
W

y

2

W = |X| 的分布函数是：

1
F
W

y



2


x
2
2

y

e
< br>x
2
2
1
dx
2


y

e

x
2
2
dx


y< br>
e

1
dx
2

0

y

e

x
2
2
dxy0
y0

W = |X| 的概率密度

2

w
2
exp



(w0)

f
w
(w)

2


2


0(w 0)




Acosx|x|
4、设随机变量X 的概率密度为
f(x)

2
，试求: (1) 常数A; (2) Y = sinX 的概率密度;

其它

0
(3) P(|sinX|< 0.5)。
解：(1)因

1





f

x

dx1
，所以
2


f

x

dx


2


f

x

dx


2


2
f

x

dx
< br>
f

x

dx
2



0


Acosxdx0Asinx
2

2

2
2A
所以
A
1

2

18

arcsiny
111



cosxdxy

(2)

F
Y

y

p

Yy

p

sinXy

p

Xarcsiny






222

2

2
1

1< br>y

2

2
所以：
F
Y

y



0



1
1y 1
y1
y1


1

Y = sinX 的概率密度为:

p
Y

y



2


0
1y1
其他

(3) P

sinX0.5

P

0sinX0.5

P

0.5sinX0


P

0Y0.5

P

0.5Y0
< br>0.5


5、假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无 故障工作时间E(X)为5小时，设备
定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时 便关机，试求该设备每次开机无
故障工作的时间Y 的分布函数。
解：当
y0
时，
F

y

0

当
0y2
时，因
E(X)为5小时又
E

X< br>

故：
F

y

p
Xy


当
y2
时，
F

y
1

1

,所以


1
，
5
y
0
1
xy
1

1
e
5
d x1e
5

5
0y0


1
y< br>
0y2


Y 的分布函数为：
F
y



1e
5

1y2


19