夏末秋初-韩国印象

连续型随机变量的分布
（一）连续型随机变量及其概率密度函数
1.定义： 对于随机变量X的分布函数F(X)，若存在非负函数f(x),使对于
任意的实数x，有
F( x)


x

f(t)dt
，则称X为连续性随机变量 ，f(x)称为X
的概率密度函数，简称概率密度。
注：F(x)表示曲线下x左边的面积，曲线下的整个面积为1。
2 .密度函数f(x)的性质：注：f(x)不是概率。
1) f(x)≥0
2)
ò
+?
-?
f(x)dx=1

3)
P{x1
2
}
ò
x
2
x
1
f(x)dx=F(x
2
)-F(x
1
)

特别地，连续型 随机变量在某一点的概率为零，即
P{X=x}=0.
（但{X=x}并不一定是不可能事件）
因此 P(a≤X≤b)= P(a4）若f(x)在点x处连续，则
F

(x)f(x).

分布函数性质
i) 0≤F(x)≤1；
ii)F(-∞)=0,F(+∞)=1；
ⅲ) 当x
1
≤x
2
时，F(x
1
)≤F(x
2
)；（单调性）
iv) F(x)是连续函数
注：iv)与离散型随机变量不同，
离散型随机变量的分布函数有有限个或无限可列个间断点。
例1 设随机变量X的分布函数为F(x)=A+B arctanx,
求 （1）系数A，B （2）P(-1分析：主要是应用分布函数的性质。
解 （1）由F(-∞)=0,F(+∞)=1得


AB0


2
解之，得



AB1

2
（2）由(1)知F(x)=< br>1

A


2


1

B



11
arctanx,

2


基 本 内 容 备 注

故得P（-1=
1111
+arctan1-(+arctan(- 1))


2p2p
1p1p1
=-(-)=

p4p42
(3) f(x)
=
F
¢
(x)
=
1
(
-?
2
p(1+x)
x
<+?
)

-3x
ì
ï
ke, x
>
0,
例2 设随机变量X的概率密度为
f(x)=
ï
试确定常数
í
ï
ï
î
0, x
£
0,
k，并求其分布函数F(x)和P{X>0.1}.
解：由
ò
+?
-?
f(x)dx=1
得
0
?
蝌
-?
+?
f(x)dx=
k=3.

f(x)dx+
?
?
0
f(x)dx=
ò
+?0
ke
-3x
dx=k3=1,

ì
ï
3e
-3x
, x
>
0,
ï

f(x)=
í
ï
ï
î
0, x
£< br>0.
当
x£0
时，
F(x)
当
x>0
时，
F(x)=

x

0dt0

x
0< br>蝌
0dt+
-?
0
3e
-3t
dt=1-e
-3x

-3x
ì
ï
1
-
e, x
>
0,
于是，
F(x)=
ï

í
ï
ï
î
0, x
£
0.
P {X>0.1}=1-P{X?1}1-F(1)=1-(1-e
-0.3
)
=e-0.3
=0.7408.

（二）正态分布
（1）设随机变量X的概率密度函数为
(x

)
2
2< br>
2
f(x)
1
e
2


, x,

其中

,

(

0)
为常数，则称X为服从参数为

,

的正态分布，记作
。其 中：

称为位置参数，
f(x)
的图形
X~N(

,

2
).
其图象为（右图）
关于
x

对称，

影响
f(x)
的最大值及曲线的形状。分布函数为

基 本 内 容

备 注
1

F(x)

性质：
x

1
e
2


(t

)
2
2
2

dt。

1.曲线关于
x

对称，这表明对于任意
h0
有
P{

-hX

} P{

X

h}.

2.当
x

时，
f(x)取到最大值： f(

)
（2）标准正态分布
特别地，当

0,

1
时，称X服从标准正态分布，
记为
X~N(0,1).
相应的概率密度函数和分布函数分别记为
1
.

2


(x)
11
e，

(x)edt.



2

2π< br>
x

x
2
2
t
2
2
易知

(x)1

(x)
。

(x)
即标准正态分布函数，其值已制成表格，以备查用。
例3 设随机变量X~N(0,1)，查表计算：
(1) P(X≤2.5)；(2) P(X>2.5)；(3) P(|X|<2.5).
解 (1) P(X≤2.5) =Φ(2.5) =0.
(2) P(X>2.5) =1- P(X≤2.5) =1- Φ(2.5) =0.
(3) P(|X|<2.5) =P(-2.5=2×0.-1 =0.
2
引理 若
X~N(

,

),
则Z
X


~N(0,1).

证
Z
X-


的分布函数为
P{Zx}P{
X


1
2

x}P{X

< br>
x}

x

u
2
2
1
2





x

e

(t

)
2
2

2

dt ，令
t


u，
得



e
可知
Z
du

(x)，
X


~N(0,1).


基 本 内 容

备 注
2

于是，若
X~N(

,

2< br>)，
则它的分布函数
F(x)
可写成：

F(x)P{X x}P{
X



x


}< br>
(
x


).

对于任意区间
(x
1
,x
2
]
，有
，
P{x
1
Xx
2
}P{
x
1< br>


x

x



(
2
)

(
1
).


< br>
X



x
2


}

注：可以通过标准正态分布表计算任何正态分布的分布函数值或有关概
率。
例如，设X~N(1,4)，则
P{0X1.6}P{
01X11.61
}

22 2

1.61

01





(0.3)(0.5)0.6179[1(0.5)]
22


0.617910.69150.3094.

例4 设某商店出售的白糖 每包的标准全是500克,设每包重量X(以克
计)是随机变量,X~N(500,25),求:
(1) 随机抽查一包, 其重量大于510克的概率;
(2) 随机抽查一包, 其重量与标准重量之差的绝对值在8克之内的
概率;
(3) 求常数C,使每包的重量小于C的概率为0.05。
解:(1)P{X510}1P {X510}1(
510500
)
5

1(2)10.97720.0228

(2) P{|X500|8}P{492X508}

(
508500492500
)()

55
 (1.6)(1.6)2(1.6)120.9452-10.8904

(3) 求常数C，使之满足P{X(
C-500
) 0.05

5
由于 (1.645)0.05, 即
C-500
1.645,
得 C491.775.

5


3

基 本 内 容
例5 某重 点大学招收研究生800人，按考试成绩从高分至低分依次录取。
设报考该大学的考生共3000人，且 考试成绩服从正态分布，已知这些考生中成
绩在600分以上的有200人，重点线（500分）以下的 2075人,问该大学的实
录线（即录取最低分）是多少？
分析 设学生考试成绩 X~N(

,

2
) ，首先应求出

及

之值，然后根
据录取人数占总人数的比例，再应用正态分布概率公式算出实录最低分。
解 设学生成绩X~N(

,

2
)，由题设知应有
2
备 注

200

P(X600)0.0667


3000



P(X500)
2075
0.6917

3000

从而得
1

(
即
(
600


)0.0667,
(
500


)0.6917

)0.6917

600


)0.9333以及 (
500



600

1.5



查表得

解之得
500


0.5



故知，X~N(
450,100
2
)


450



100

又设该大学实录线为a，由题设知：
800a450
0.2667
即
1()0.2667

3000100
a450
于是可得()0.7333

100
a450
0.623,
解之得a512.3.
查表得
100
P(Xa)
即是说该大学的实录线约为512分。
（三） 对数正态分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为

1
(lnx< br>

)
2

2
f(x)

2

x
e
2





0



4

基 本 内 容
其中，


，


0
为常数，则称X服 从参数为


和


的对数正态分布，记作
备 注

X~LN(


,


2
).

对数正态分布的分布函数为
F(x)

x
1
2


t
0
e

(lnt


)
2
2


2
dt x0

若< br>X~LN(


,


2
),
则
P{x
1
Xx
2
}(
lnx
2



lnx


)(
1
)



（四）Weibull分布
定义：若随机变量X的概率密度函数为
(x

)

m
m1

(x

)e

x


f(x)






0 x

m
其中，
m,

,

0
为常数，则称X服从参数为
m,

,

的Weibull分布，记作
X~W(m,

,

).

Weibull分布的分布函数为
F(x)

x
m
< br>
(t

)
m1
e

(t

)
m

dt
1e

(x

)
m

(x

)

m
——形状参数

——位置参数

——尺度参数
Weibull分布概括了许多典型的分布。
本次课小结：
介绍了连续型随机变量的概念, 连续型随机变量概率密度函数的概念及其
性质.介绍了几种常 见的连续型随机变量的分布，其中最主要的是正态分布。


5