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第四节 随机变量函数的分布
我们常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接 得到（如测量轴承滚珠体积值Y
等），但是与它们有函数关系的另一些随机变量，其分布却是容易知道的 （如滚珠直径测量
值X）.因此，要研究随机变量之间的函数关系，从而通过这种关系由已知的随机变量 的分
布求出与其有函数关系的另一个随机变量的分布.
例2.14 设随机变量X具有表2-6所示的分布律，试求X
2
的分布律.
表2-6
X
P
k

-1 0 1 1.5 3
0.2 0.1 0.3 0.3 0.1
解 由于在X的取值范围内 ，事件“X=0”，“X=1.5”，“X=3”分别与事件“X
2
=0”，
“X2
=2.25”，“X
2
=9”等价，所以
P{X
2
=0}=P{X=0}=0.1，
P{X
2
=2.25}=P{X=1.5}=0.3，
P{X
2
=9}=P{X=3}=0.1.
事件“X
2
= 1”是两个互斥事件“X=-1”及“X=1”的和，其概率为这两事件概率和，即
P{X
2
=1}=P{X=-1}+P{X=+1}=0.2+0.3=0.5.
于是得X
2
的分布律如表2-7所示.
表2-7
X
2

p
0 1 2.25 9
0.1 0.5 0.3 0.1
例2.15 设连续型随机变量X具有概率密度f
X
（x），-∞＜x＜+∞，求Y =g（X）=X
2
的
概率密度.
解 先求Y的分布函数F
Y（y），由于Y=g（X）=X
2
≥0，故当y≤0时事件“Y≤y”的
概率为0 ，即F
Y
（y）=P{Y≤y}=0，当y＞0时，有
F
Y
（y）=P{Y≤y}=P{X
2
≤y}=P{-y≤X≤y}
=

y
y
f
X
(x)dx
.
将F
Y
（y）关于y求导，即得Y的概率密度为

1
f< br>X

f
Y
(y)=

2y

0,


y

f

y


,
X
y0,

y0.
例如，当X~N（0，1），其 概率密度为（2.15）式，则Y=X
2
的概率密度为
y

1

1

y
2
e
2
,y0,
f
Y
（y）=

2π

y0.

0 ,
此时称Y服从自由度为1的
2
分布.
上例中关键的一步在于将事件“Y ≤y”由其等价事件“-y≤X≤y”代替，即将事件“Y
≤y”转换为有关X的范围所表示的等价事件 ，下面我们仅对Y=g（X），其中g（x）为严格
单调函数，写出一般结论.

1

定理2.2 设随机变量X具有概率密度f
X
（x），-∞＜x＜+ ∞，又设函数g（x）处处可
导且g′(x)＞0(或g′（x）＜0），则Y=g（X）是连续型随机 变量，其概率密度为
f
Y
（y）=


f
X[h(y)]h

(y),

x


0, 其他.
（2.18）
其中

=min（g（-∞），g（+∞）），β =max（g（-∞），g（+∞）），h（y）是g（x）的反函数.
我们只证g′(x)＞0的情 况.由于g′(x)＞0，故g(x)在（-∞,+∞）上严格单调递增，它
的反函数h（y）存在，且 在（

，β）严格单调递增且可导.我们先求Y的分布函数F
Y
（y），并通过对F
Y
（y）求导求出f
Y
（y）.
由于Y=g（X）在（

，β）上取值，故
当y≤

时，F
Y
（y）=P{Y≤y}=0；
当y≥β时，F
Y
（y）=P{Y≤y}=1；
当

＜y＜β时，
F
Y
（y）=P{Y≤y}=P{g（X）≤y}=P{X≤h（y）}=
于是得概率密度

h(x)

f
X
(x)dx
.
< br>f
X
[h(y)]h

(y),

x

,
f
Y
（y）=


其他.

0,
对于g′(x)＜0的情况可以同样证明，即
f
Y
（y）=

将上面两种情况合并得

fX[ h(y)][h

(y)],

x

,
其他.

0,
fX(h(y))h

(y),
x

,
f
Y
（y）=


其他.

0,
注：若f(x)在［a，b］之外为零，则只需假设在(a，b)上恒有g′( x)＞0(或恒有g′(x)
＜0)，此时

=min{g（a），g（b）}，β=max{g（a），g（b）}.
例2.16 设随机变量X~N（μ，σ
2
）.试证明X的线性函数Y=aX+b（ a≠0）也服从正
态分布.
证 设X的概率密度
f
X
（x） =
1
e
2
π

(x

)
22

2
,
-∞＜x＜+∞.
再令y=g（x）=ax+b，得g（x）的反函数
x=h(y)=
yb
.
a
所以h′(y)=1a.
由（2.18）式Y=g（X）=aX+b的概率密度为
f
Y
（y）=1

yb

f
X

， -∞＜y＜+∞，
a

a


2

即
f
Y
（y）=
即有
Y=aX+b~N（aμ+b，（aσ）
2
）.
例2.17 由统计物理学知分子运动速度的绝对值X服从麦克斯韦（Maxwell）分布，其
概率密度为
1
a

2
π
e

[y(ba
)]
2
2(a

)
2
，-∞＜y＜+∞，

4x
2

x
2

e
a
,x0,
f（x）=

3
a
π

0,x0,

其中a＞0为常数，求分子动能Y=
解 已知y=g(x)=
2
1
mX
2
（m为分子质量）的概率密度.
2
1
2
mx
,f(x)只在区间（0，+∞）上非零且g′(x)在此区间恒单调递增，< br>2
2y

2

42y
ma

e,y 0,

323

(y)

ma
π
< br>0,y0.

由（2.18）式，得Y的概率密度为



3