毕业论文摘要-浙江高考成绩排名

皖西学院本科毕业论文（设计）

三维随机变量的分布与性质
< br>摘要：由所学的二维随机变量的分布和性质来研究三维随机变量的分布和性质，将概率分布
的问题 由平面扩展到空间。具体探讨了三维随机变量的分布函数、分布列、密度函数
等概念及其主要性质。
关键词：三维随机变量；分布函数；分布列；密度函数

1、三维随机变量及其联合分布函数
1.1 三维随机变量的定义
定义1：如果
X(

),Y(

),Z(

)
是定义在 同一个样本空间

={

}上的三个随
机变量，则称
(X, Y,Z)(X(

),Y(

),Z(

))
为 三维（三元）随机变量或随机向量。
1.2 联合分布函数
定义2：对任意的三个实数x,y,z
，称
F(x,y,z)P(Xx,Yy,Zz)

为三维随机变量
(X,Y,Z)
的联合分布函数。
类似二维随机变量的分布函数，有如下的性质：
x,yz,)
定理1：设
F(x,y ,z)
为三维随机变量
(X,Y,Z)
的联合分布函数
，则
F(具有以下四条基本性质：
①单调性：
F(x,y,z)
分别对
x
，
y
或
z
是单调不减的，即
当
x
1
 x
2
时，
F(x
1
,y,z)F(x
2
,y,z )
；
当
y
1
y
2
时，
F(x,y
1
,z)F(x,y
2
,z)
；
当
z
1z
2
时，
F(x,y,z
1
)F(x,y,z
2< br>)
.
②有界性：对任意的
x
，
y
，
z,有
0F(x,y,z)1
，且
F(,y,z)limF(x,y, z)0
；
F(x,,z)limF(x,y,z)0
；

x
y
F(x,y,)limF(x,y,z)0
；
F( ,,)limF(x,y,z)1
.

z
x< br>y
z
③右连续性：对每个变量都是右连续的，即
F(x0,y ,z)F(x,y,z)
；
F(x,y0,z)F(x,y,z)
；
F (x,y,z0)F(x,y,z)
.


1

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④非负性：对任意的
ab,cd,ef
，
有
P(axb,cyd,ezf)

F(b,d,f)F(a,d,f )F(b,c,f)F(b,d,e)F(a,c,f)F(a,d,e)F(b,c,e)F(a ,c,e)0
D'

A'

D

A

B

B'

C'

C

图 1.1

注：如图1.1所示，
P(axb,cyd,ezf)
表示随机变量
(X,Y,Z)
在
空间域
ABCDA'B'C'D'
内取值的概率。
1.3. 联合分布列和联合密度函数
1.3.1 三维随机变量的联合分布列
定义3：如果三维随机变量
(X,Y,Z)
只取有限个或 可列个数对(x
i
,y
j
,z
k
)，则
称
(X,Y,Z)
为三维离散型随机变量，并称
p
ijk
P(Xx
i
,Yy
j
,Zz
k
)
为
(X,Y,Z)的联合分布列。
注：三维随机变量的联合分布列具有性质
①非负性：p
ijk
0
；
②正则性：

p
ijk
1
.
i1j1k1
+++
1.3.2 三维随机变量的联合密度函数
定义4：如果存在三元非负可积函数
f(x,y,z)
，使得三维随机变量
(X,Y ,Z)
的分布函数
F(x,y,z)
可表示为
F(x,y,z)

x


yz
f(u,v,w)dwdvdu

则称
(X,Y,Z)
为三维连续随机变量，并称
f(x,y,z)
为
(X,Y,Z)
的联合密度函数。

2

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
3
F(x,y ,z)
注：在
F(x,y,z)
偏导数存在的点上有
f(x,y,z) .
xyz
且
(X,Y,Z)
的联合密度函数具有下面的基本性质：
①非负性：
f(x,y,z)0
；
②正则性：

< br>




p(x,y,z)dxdydz 1
.
2、三维随机变量的边际分布
2.1 边际分布函数
在三维随机变 量
(X,Y,Z)
的联合分布函数
F(x,y,z)
中，令
y,z 
,可得
y,z
limF(x,y,z)
=
P(Xx, Y,Z)P(Xx)
,
,,
称之为
X
的边际分布函数,记为
F
X
(x)F(x
.
)
类似的，在
F(x,y,z)
中令
x,z
,可得
Y
的边际分布函数

F
Y
(y)F(,y,)

在
F(x,y,z)
中令
x,y
,可得
Z
的边际分布函 数

F
Z
(z)F(,,z)

2.2 边际分布列和边际密度函数
2.2.1 边际分布列
在三维随机变量(X,Y,Z)
的联合分布列
p
ijk
P(Xx
i
,Yy
j
,Zz
k
)
中,对
于
j,k
求和得到

P(Xx
i
,Yy
j
,Zzk
)
=
P(Xx
i
),i1,2,
…
j 1k1

称之为
X
的边际分布列。类似地,对
i,z求和得到
Y
的边际分布列


i 1k1

P(Xx
i
,Yy
j
,Zz
k
)
=
P(Yy
j
),j1,2,
…；
称之为
Y
的边际分布列。


i1j1

P(Xx
i
,Yy
j
,Zz< br>k
)
=
P(Zz
k
),k1,2,
…

3

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称为
Z
的边际分布列。
2.2.2 边际密度函数
如果三维连续随机变量
(X,Y,Z)
的联合密度为
f(x,y,z)
,
由
F
X
(x)F(x,,)

x




f(u,v,w)dudvdw
，
d
得到
f
X
(x)


x




f(u,v,w)dudvdw
dx





f(x,y,z)dydz
；
即为三维随机变量
(X,Y,Z)
关于
X
的边际密度函数。

同样有
f
Y
(y)


f(x,y,z)dxdz
；
f
Z
(z)
 

f(x,y,z)dxdy
.
分别为三维随机变量
(X,Y ,Z)
关于
Y
（或
Z
）的边际密度函数。
2.2.3.三维随机变量的独立性
定义 5 设三维随机变量
(X,Y,Z)
的 联合分布函数为
F(x,y,z)
,如果对任意
三个实数
x,y,z
有
F(x,y,z)F
X
(x)F
Y
(y)F
Z
(z)
，
则称随机变量
X,Y,Z
相互独立。
定理2 ① 对三维离散型随机变量,如果对其任意三个实数
x,y,z
，
有
p< br>ijk
P(Xx
i
)P(Yy
j
)P(Zz
k
)
， 则
X,Y,Z
相互独立。
②对三维连续型随机变量,如果对其任意三个实数
x,y,z
，有
f(x, y,z)f
X
(x)f
Y
(y)f
Z
(z)
，则
X,Y,Z
相互独立。
注：利用联合分布与边际分布的关系及独立性的定义易证，略。
例1：设
(X,Y, Z)
是三维离散随机变量，
X,Y,Z
的边际分布列如下：
X

P

1

0

1

14 12 14

Y

0

1

P

12 12

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Z

P

1

1

13 23
如果
P(XYZ0)1
,试问:
X,Y,Z
是否独立?
解：
P(XYZ0)1P(XYZ0)0 P(X1,Y1,Z1)0
，
1111
P(X0)P(Y0)P(Z1)
.
22312
由
P(X1,Y1,Z1)P(X0)P(Y0)P(Z1)

所以，
X,Y,Z
不是相互独立的。
3、三维随机变量函数的分布
3.1 三维离散型随机变量函数的分布
设
(X,Y,Z)
为三 维离散型随机变量，则某一函数
Ug(X,Y,Z)
是一维随机
变量,当
( X,Y,Z)
取值较少时,可将
U
的取值一一列出，并可求出其分布列。
例2 设
(X,Y,Z)
的联合分布列如下所示：
X,Z

Y

X0

Z1

Z1

Z1

Z1

-1
120
420
220
120
0
120
120
120
220
1
320
320
120
0
X1

试求:
UXYZ
的分布列。
解:易见
U
的可能取值有
2,1,0,1,2
，且
P(U2)P(X0,Y1,Z1)120
；
P(U1) P(X0,Y0,Z1)P(X1,Y1,Z1)320
；
……
P(U2)P(X0,Y1,Z1)P(X1,Y0,Z1)520
.
从而，
U
的分布列为

5

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U

P

2

1

0

1

2

120

320

820

320

520


3.2.三维连续型随机变量的分布
对于三维连续型随机变量，其和的分布有如下结论：
定理3：设
(X,Y,Z)的联合密度函数为
f(x,y,z)
，则
UXYZ
的密度函
数可以表示为

f
U
(u)yz,y,z)dydz
； 或
f
U
(u)




f(u



f(x,uxz,z)dxdz
；
 
或
f
U
(u)f(x,y,uxy)dxdy
. < br>



特别地，若
X,Y,Z
相互独立，则有

f
U
(u)yz)f
Y
(y)f
Z
(z)dydz
；




f
X< br>(u

或
f
U
(u)(x),f
Y(uxz)f
Z
(z)dxdz
；




f
X

或
f
U
(u)(x)f
Y
(y)f
Z
(uxy)dx dy
.




f
X
证明： F
U
(u)P(Uu)P(XYZu)f(x,y,z)dxdydz
x

yzu


dydz
u yz
xtyzdydz
u
y,z)dt

RR


f(x,y,z)dx令
R

R

< br>f(tyz,


u

dt

f( tyz,y,z)dydz

RR
f
U
(u)
U(u)
dF
du


f(uyz,y,z)dydz< br>
RR
其他类似可以得证。
4、三维随机变量的数字特征值
4.1 三维随机变量函数的数学期望

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定理4：（1）若三维离散型随机 变量
(X,Y,Z)
的联合分布列为
p
ijk
P(Xx
i
,Yy
j
,Zz
k
)

则
Ug(X,Y,Z)
的数学期望为
E(U)

g(x
i
,y
j
,z
k
)P(Xx
i
, Yy
j
,Zz
k
)
；

ijk
（2） 若三维连续型随机变量
(X,Y,Z)
的联合密度函数为
f(x,y,z)
，
则
Ug(X,Y,Z)
的数学期望为

E(U)< br>

g(x,y,z)f(x,y,z)dxdydz
.

例3 从数字0,1,…5中任意取3个不同的数,求这三个数之和的数学期望。 3
解：设这三个数字分别为
X,Y,Z
,其取值方法有
C
620
种，
UXYZ
的分布列为
U

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P

120 120 220 320 320 320 320 220 120 120
E(U)

3
11 23333211
456789101112
2020 2020
15015

.
202
特别地，取
g(X, Y,Z)X
时,可得
X
的数学期望为

+++
离 散型；


x
i
p
ijk
,

i1j1k1

E(X)


. < br>
xf(x,y,z)dxdydz，连续型.



 
4.2 数学期望和方差的性质
性质1 设
(X,Y,Z)
是三维随机变量,则有

E(XYZ)E(X)E(Y)E(Z)
.
证明:不妨设
(X, Y,Z)
为连续随机变量，(离散随机变量可类似证明)其联合

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密度函数为
f(x,y,z)
.
若令
g(x,y,z)xyz
,则由定理4可得：


E(XYZ)



(xyz )f(x,y,z)dxdydz





x{


xf
X
f(x,y,z)dydz}dx

Y


y{

Z
f (x,y,z)dxdz}dy


z{

f(x, y,z)dxdy}dz


(x)dx

< br>yf(y)dy

zf(z)dz


E(X)E(Y)E(Z)

性质2 若三个随机变量
X,Y,Z
相互独立,则有
E(XYZ)E(X)E(Y)E(Z)
.
证明:不妨设
(X,Y,Z)
为连续随机变量,(离散随机变量可类似证明)其联合
密 度函数为
f(x,y,z)
.
若令
g(x,y,z)xyz
,则由定理2和定理4可得


E(XYZ)



xyzf
X
X
(x)f
Y
(y)f
Z
(z)dxdydz






xf(x)dx

yf
Y
(y)dy

zf
Z
(z)dz


E(X)E(Y)E(Z)
.
性质3 若三个随机变量
X,Y,Z
相互独立,则有

D(XYZ)D(X)D(Y)D(Z)

说明：利用两个随机变量独立的结论易证。
例4.已知随机变量
X,Y,Z
相互独立 ,且
XU(0,6),YN(1,3),ZExp(3),

求
UX2Y3Z
的数学期望、方差、和标准差。
1
解：
E(X2Y3Z)32132
；
3
6
2
1

D(X2Y3Z)43916
；
129

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
(X2Y3Z)var(X2Y3Z)164
.
说明：对于三维随机变量的性质问题，主要讨论了独立条件下的期望和方差
性质，这里没有作更进一步深 入的探讨。


参考文献:
1.魏宗舒，概率论与数理统计，北京，高等教育出版社，1984.
2.茆诗松，概率论与数理统计教程，北京，高等教育出版社，2004.
3.张峰,朱志峰 多维随机变量的特征函数及应用 中北大学学报 2008




9