二维连续型随机变量的函数分布-最新文档
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二维连续型随机变量的函数分布
一、引言
在实际问题中
，有时需要研究二维连续型随机变量的函数分
布.例如打靶问题中，如何计算弹落点与靶心的距离的分布
.又例
如已知飞机飞行时在横坐标上的飞行速度，以及飞行时在纵坐标
的的飞行速度，那么如何
确定此时该飞机在空中飞行的合速度
呢？这些都是已知二维连续型随机变量中的联合分布或其概率
密度函数，如何去求它们相互作用下的函数分布，本文将针对所
给出函数的不同形式，运用不同的方法
来解决上述问题.
二、预备知识
定义1：设是二维随机变量，对于任意实数二元函数
称为二维随机变量的分布函数，或称为随机变量的联合分布
函数.
性质：是变量和的不减函数，即对于任意固定的，当时，；
对于任意固定的，当时，.
，对于任意固定的，对于任意固定的
对于变元和均右连续：即；
对于任意下述不等式成立
定义2：对于二维随机变量的分布函数，存在非负函数使得
对
于任意有则称是二维连续型随机变量，函数称为二维随机变量
的概率密度或称为随机变量的联合概率密度
，具有以下性质：
非负性：
规范性：
设是平面上的区域，点落在内的概率为：
若在点连续，则
定义3：设二维连续型随机变量的联合分布函数为，概率密
度为则有：
关于的边际密度为：
关于的边际密度为：
三、解题方法
下面
将分别用分布函数法、换元法、变量变换法和增补变量
法来依次解决相关的问题，对不同形式的函数采用
不同的方法可
以使解题更加简明、容易.
1.分布函数法
已知二维连
续型随机变量的概率密度函数为则二维随机变
量函数：的概率密度函数，可先求出的分布函数：
通过对分布函数求导，即可得出概率密度
例1：设随机变量相互独立，其分布函数分别为
求随机变量的分布函数.
解：由于相互独立，则的联合概率密度为： 则
由于 所以
当时
当时
当时
因此分布函数，密度函数分别为：
当二维连续型随机变量的函数为线性函数时，均可采用分布
函数法，借助图形，利用公式计算出结果.但
一般要根据函数曲
线与所规定的线性区域的相关位置来分多种情况讨论积分的上
下限，具有一定
的难度.下面将利用另一种方法，简便积分限，
求出二维连续型随机变量的和，差，积，商的函数分布.
2.换元法
以下假设：二元函数在任意点处可微且对和的偏导数均不为
零.
引理1：设二维连续型随机变量的概率密度为，若对任意实
数，函数满足下述条件：
关于存在唯一解；关于连续
则随机变量，的函数的概率密度为
引理2：设二维随机变量的概率密度为，若对任意实数，函
数满足下述条件：
关于存在唯一解；关于连续
则随机变量，的函数的概率密度由引理1可以得出
由引理1和引理2可以看出当随机变量的函数是对或单调
时，可用一个变量来替换另一个变量，把二重积
分化成只对或积
分，因此整个积分过程变的简单，下面用此方法来求二维随机变
量的和、差、积
、商的函数分布：
和的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，
则为连续型随机变量，的分布密度为
.
差的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，
则为连续型随机变量，的分布密度为
.
商的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，
则为连续型随机变量，的分布密度为.
积的分布：设二维连续型随机变量的联合密度函数为，若，
则为连续型随机变量，的分布密度为：
.
上面是当随机变量的函数是严格单调时的情况，当函数不严
格单调时，
如何去求函数的分布密度函数，我们有以下定理：
定理1：设二维连续型随机变量的密度函数为，若对任意实
数，，
若二元函数在不相叠
的区域上关于或逐段单调可微，相对应
反函数为且偏导数不为零，则为连续型随机变量，其分布密度为：
例2：打靶问题中，弹落点是一个二维标准正态分布，所以
有～，～，且相互独立，现求弹
落点与靶心的距离的分布函数.
解：当时 可知不符合题意。所以；
当时 对
或都不严格单调，但却可以把它划分为不相重合的
区间，使得对和是分段单调的.我们发现对于，当上严
格单调降
的，在严格单调升的
当，
当，
所以
当随机变量有两个函数时，分布函数法虽适用但相当的复
杂，因此我们用以下方法
，它是解决其随机变量为两个函数最常
见的方法.
3.变量变换法
定
理2：设是二维连续型随机变量，其概率密度函数为，随
机变量是的函数，并有其中是某些函数，现要计
算的联合概率密
度，如果有唯一的以表示的解即有唯一的单值反函数且有连续的
一阶偏导数且，
则二维随机变量的联合概率密度为：
上述方法能简单积分限的取法，为了能更广泛
的运用这种方
法当二维随机变量为一个函数时，恰当的增补一个新的函数，一
般令或，然后用变
量变换法求出它们的联合密度函数，再对其联
合密度关于变量求边际密度.
4.增补变量法
四、和函数密度例析
例3：设和是二维连续型随机变量，且和
相互独立，分别在
区间和上是均匀分布的（为正常数），试求和函数的密度，并讨
论其特点.
解：为正常数，设，由换元法得
因为被积函数只与和有关.故画出坐标系，再画出的非零区
域：
对积分，即平行轴穿线把分成三部分，有关点的坐标为：
即
当时，
当时，
当时，
所以
五、小结
二元连续型随机变量函数的分布求法，可以从不同的函数形
式和不同的角度出发，有的函数形式有多种解
法，我们要根据具
体情况，恰当的运用分布函数法、换元法等，在计算过程中要注
意上下积分限
的确定，做到不遗不漏.