四年级上册数学期末试卷答案-实习计划书

第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题
(共90分)
一．选择题(每题2分共20分)
1．F(X)是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ）
A.
0
F(
x
)
1
B.F(
x
)=P{X=
x
} C.F(
x
)=P{X
x
} D.F(

)=1, F(

)=0
解析： A,C,D都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B是错误的。
2．设随机变量X的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C )
X
P
0
0.1
2
0.2
4
0.3
6
0.4
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4
解析：由分布函数定义F(5)=P{X

5} =P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6
3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ）
4x 0
x1
2x
0x1

A.F(x)= B.F(x)=
1 其它 2 其它
-1 x<0 0 x<0
C.F(x)= 2x
0x1
D.F(x)= 2x
0x0.5

1 其它 1 x≥0.5
解析：由分布函数F(x)性质：0
F(x)1
，A,B,C都不满足这个性质，选D
x

1x3

4

4．设X的密度函数为f(x)= 则P{-2 0, 其它

335
A. 0 B. C. D.
848

x
2
x< br>解析：P{-2
f(x)dx
=

0dx< br>
dx
=
8
4
2
21
2
1 2
2
1
3
=，选B
8
5. 设随机变量X的取值范围是(-1,1),以下函数可作为X的概率密度的是（C）

x,1x1;
A.
f(x)
=


0,其它.


x
2
,
B.
f(x)
=


0
,
1x1;

其它.
< br>1
1x1;

C.
f(x)
=

2< br>,

其它.


0,
D.f(x)=


2,1x1;

其它.

0,
1解析：根据密度函数性质：A.有f(x)
0
的情况，错； B.D.不符合

f(x)dx1
错；
1
1111
C.

dxx|
1
1
选C
1
2222< br>1
6.设随机变量X~N(1，4)，
(1)0.8413,(0)0.5< br>，则事件{1
X3
}的概率为（D）
A.0.1385 B.0.2413
解：P{1
X3
}=F(3)-F(1)=

（
C.0.2934 D.0.3413
3111
)

()

(1)

(0)0.84130.50.341 3

22
1
7．已知随机变量X的分布函数为（ A ）
x 0

0


1
0x1


2
F(x)=

，则P

X1

=
2

1x3

3


1x3
 A．
112
B．C． D．1
6

2

3

解析：把分布函数F(x)倒推到分布律: 选A
x 0 1 3
p 12 23-12=16 1=23=13

x

8．设随机 变量
X
的概率密度为
f
(
x
)=

2x

0

0x1
1x2
，则
P
(0 .2其它
A.0.5 B.0.6 C.0.66 D.0.7
1.21.
1.2
解析：P{0.20.2
< br>f(x)dx
0.2
（2-x)dx

xdx

1
1
21
1
.2
x|
0.2
(2xx
2
)|
1
1

22
1111
=
-0.042.41.4420.5
选A
2222
9．已知连续型随机变量
X
服从区间[
a
，
b
]上的均匀分布，则概率
2ab

P

X


( B )
3

A．0 B． C．
1
3
2
3
D．1
2abba
a2ab

2ab


1

解析：
P

X
=
3
= ， 选B

3

P

aX

3
3

3

baba

2ab

2ab



P

aX

，题目故意隐蔽了X的下限a < br>3

3


注意：
P

X
10、设随机变量X在区间[2，6]上服从均匀分布，则P{2A.P{5 解析：P{24253
=0.5, 而C.P{36262
注意:X的取值 范围是[2，6]，A.B.D.都超出了范围，计算时要注意，如A.

P{5651751

， 很容易犯的错：P{5

624622
二．填空题(每题2分共20分)
1．设连续型随机变量X的分布函数为如下F(x), 则当
0x0.5
时，X的概率
密度
f(x)
为（ ）
0 x<0
F(x)= 2x,
0x0.5

1 x

0.5
解析：
f(x)=
F

(x)
：(
2x

)

=2 ；
（
0

)

=0 ；
（
1

)

=0

2 0x0.5
所以：
f(x)



0 其它
k
2．设随机变量X的分布为P{X=k}=，k=0,1，2,3,4,则P{0.5310
)
10
解析：根据所给分布律：P{0.53．设随机变量X～N(2,9)，已知标准 正态分布函数值
(1)
0.8413，为使
P{X解析： P{X(
a2a2
)(1)1a5

33
4．某人掷五次骰子，则在五次中得到点为6的次数X的分布率为P{X=i}=
i
1
i
5
5i
()()
) i=0,1,2,3,4,5 (
C
5
66
i
1
i
5
5i
()()
解析：二项分布B(5,16)：P{X=i}=
C
5
66
5.设随机变量X服从区间[0，5]上的均匀分布，则P
X3

= __35__.

解析：P

X3


P

0X3


303


此题主要注意X的取值范围:
X0

505
6．设随机变量X服 从区间

0,10

上的均匀分布，则P（X>4）=_35_．
10-43


此题主要注意X的取值范围:X
10

10-05
P{X>4}= P{
4X10}
=
7．在

0,T

内通过某交通路口的汽车数X服从泊松分布，且已知
P{X=4 }=3P{X=3}，则在

0,T

内至少有一辆汽车通过的概率为
1-e
12
．
解析：泊松分布：P{X=K}=，根据P{X=4}=3P{X =3}


4
e
4！


3

3
3!
e




1
3


12

4！3!

“至少有一辆汽车通过”用它的逆事件“没有一辆通过”的概率做方便：
12
0
12
e1-e
12
P{至少有一辆汽车通过 }=1-P{X=0}=1-
0！

0

1

2< br>8.已知随机变量X的分布函数为F(x)=


2

3


1
x0
0x1
1x3
x3
则P{2解析：P{29.已知随机变量X的概率 密度为f(x)=ce
-|x|
，-∞
| x|
0
x

x
x0x
Cedx
Ce| Ce|
0



0
解析：根据密度函数性质：

Cedx

Cedx
--
=C-0-0+C=1
2C1C12

10．设随机变量
X
的概率分布为

F
(
x
)为其分布函数，则
F
(3)=5356．
解析：
F
(3)=P{
X3}
=14+18+47=5356 （用1-356计算方便）
注意：本题（1）理解分布函数意义
F(x)P{Xx}(2)对于离散型求概率时一
定要在乎
Xx
与
Xx
的区别， 对于本题如果没有“等于”，47就不算在内
了。而连续型可以不在乎有没有“等于”，不会影响求概率 结果。
三．计算题。
1、设分别有标号1～5的五张卡片，每次任取一张，取后不放回，X 为直至取到
大于等于3的卡片为止所需要的次数，求X分布率。 （6分）
解析： P{ X=1}=35;P{X=2}=(25)(34)=310;P{X=3}=(25)(14)(33)=11 0
X
P
1
35
2
310
3
110
注意：概率之和应该为1，否则肯定是错了！
2、设离散型随机变量X的分布律为下表 （8分）
X
P
0
0.1
1
0.3
2
0.6
求：（1）X的分布函数F(X)
(2)试用所求得分布函数求P{0.53}

x0

0

0.1 x1

解析： （1）
F(x)



0.4 x2

x2

1
（2） P{0.53}
=F(3)-F(0.5)=1-0.1=0.9

3．随机变量X的密度函数为 （8分）
cx+1, 0
x2

f(x)=
0, 其它
求：（1）常数c
(2)P{1cx
2
x)
（1）

(Cx1)dx
=（
0
2
2
3 2
2
0
=2c+2=1
c0.5

2
（2） P{1
f(x)dx

(10.5x)dx(x0. 25x
2
|
1
=2-1-1+0.25=0.25
11

1
x1

2

4．设随机变量X的概率密度为
f
X
(x)

x

（10分）

x 1

0
（1）求X分布函数
F
X
(x)

1
（2）求P{
X3}

3
（3）令Y=3X,求Y概率密度
f
Y
(y)

x
（1）
x1 时
：
F
X
(x)

11
x
1
dt|1
，
x1 时
0
1
2
tx
1
t

1

-1 x1
所以：
F
X
(x)

x


x1

0
1
（2）
P{x3}
3
11
3
12

(注意积分下限从1开始，而不是13)
dx|1
1
2

x33
1
x
3

112
或直接 利用（1）的结果
P{x3}
F(3)-F(1)=
-11-1

333
11
(3)由Y=3X

X=
Y

X



33
当y3
时，
f
Y
(y)
1
1
(y)
2
3
13
()
2

； y<3时，
f
Y
(y)0

3
y

3

2
y3
所以：
f
Y
(y)

y


0 y3

5．甲在上班路上所需的时间（单位： 分）X~N（50，100）．已知上班时间为早
晨8时，他每天7时出门，试求： (10分)
（1）甲迟到的概率；
（2）某周（以五天计）甲最多迟到一次的概率． （
Φ
（1）=0.8413，
Φ
（1.96）=0.9750，
Φ
(2.5)=0.9938）
解析：（1）设X为需要时间（分）则
P{甲迟到}=P{X>60}=1-P{X<60}=1-F(60)=
1-
< br>（
60-50
）1-

（1）
=1-0.8413=0.1 587
10
(2) 设Y为天数，则Y~B(5,0.1587)
P{最多迟到一次}=P{Y=0}+P{Y=1}
0514
=
C
5

0.1587
0
0 .8413C
5
0.1587
1
0.8413
5
5 0.15870.8413
4
=0.81897 =
0.8413
6．已 知某种类型的电子元件的寿命X(单位：小时)服从指数分布，它的概率密
度为


1

x
600
,x0,


f(x )

600
e

0,x0.

某仪器装有3只 此种类型的电子元件，假设3只电子元件损坏与否相互独立，试
求在仪器使用的最初200小时内，至少 有一只电子元件损坏的概率．（10分）
解析：（1）先求每个电子元件200小时内损坏的概率 < br>200

1

600
1
0
600
200
3
edx(600)e|
0
ee1e
3
600600
xx11

P{X200}

0
(2)设Y为损坏的电子元件数量，则Y
~B(3,1e)


1
3
0

1
3
2

2
3

1
3
P{Y
1}1P{Y0}
=1-
C (1e)(e)
=
e


0
3