东北师范大学附属中学-活动计划书范文

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第三章 多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量
一、二维随机变量的分布函数
设E是一个随机试验, 它的样本空间是S. 设X、Y是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个向量
(X, Y)称为二维随机向量或二维随机变量.
一般地, (X, Y)的性质不仅与X有关, 与Y有关, 而且还依赖于X、Y的相互关系, 因此必须把(X, Y)作为
一个整体来研究.
首先引入(X, Y)的分布函数的概念.
定义 设(X, Y)为二维随机变量, 对于任意实数x、y, 二元函数
F(x, y) = P{(X  x)∩(Y  y)}= P{X  x, Y  y}
称为二维随机变量(X, Y)的分布函数, 或称为随机变量X和y的联合分布函数.

分布函数F(x, y)表示事件(X  x)与事件(Y  y)同时发生的概率. 如果把(X, Y)看成平面上具有随机坐标(X,
Y)的点, 则分布函数F(x, y)在(x, y)处的函数值就是随机点(X, Y)落在平面上的以(x, y)为顶点而位于该点左下
方的无限矩形内的概率..
由上面的几何解释, 容易得到随机点(X, Y)落在矩形区域{x
1
< X  x
2
, y
1
< Y  y
2
}的概率为
P{x
1
< X  x
2
, y
1
< Y  y
2
} = F(x
2
, y
2
)  F(x
2
, y
1
)  F(x
1
, y
2
) + F(x
1
, y
1
)
与二元函数类似, 二元分布函数F(x, y)也具有如下一些性质:
1 F(x, y)是变量x和y的单调不减函数, 即当x
1
< x
2
时, F(x
1
, y)  F(x
2
, y); 当y
1
< y
2
时, F(x, y
1
)  F(x, y
2
).
2 0  F(x, y)  1, 且F(, y) = 0, F(x, ) = 0, F(,) = 0, F(+,+) = 1.（凡含的概率分布为0）
3 F(x, y)关于x和y都是右连续的, 即F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y).
4 对任意的(x
1
, y
1
)、(x
2
, y
2
), x
1
< x
2
, y
1
< y
2
, 有F(x
2
, y
2
)  F(x
2
, y
1
)  F(x
1
, y
2
) + F(x
1
, y
1
)  0.
注: 二元分布函数具有性质1~ 4, 其逆也成立(2中0  F(x, y)  1可去), 即若二元实值函数F(x, y)(x 
R, y  R)满足1~ 4, 则F(x, y)必是某二维随机变量的(X, Y)的分布函数. 其中4是必不可少的, 即它不能由
1~ 3推出(除去0  F(x, y)  1).
二、二维离散型随机变量
如果二维随机变量(X, Y)的所有可能取的值是有限对或可列无限多对, 则称(X, Y)是二维离散型随机变量.
设二维离散型随机变量(X, Y)所有可能取的值为(x
i
, y
j
) (i , j= 1, 2, 3, …).
记P{X = x
i
, Y = y
j
} = p
ij
(i , j= 1, 2, 3, …)则由概率定义有 p
ij
 0;
(1)

p
i1j1

ij
1
.
我们称P{X = x
i
, Y = y
j
} = p
ij
(i , j= 1, 2, 3, …)为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律(概率分布)或随机
变量X和Y的联合分布律, (X, Y)的分布律也可用表格表示. 其分布函数为
F(x,y)
这里
x
i
xy
j
y

P{Xx,Yy}
=

p
ij
x< br>i
xy
j
y
ij

x
i
xy
j
y

表示对一切x
i
 x, y
j
 y的那些指标i、j求和.
例1 一个口袋中有三个球, 依次标有1、2、2, 从中任取一个, 不放回袋中, 再任取一个. 设每次取球时,
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各球被取到的可能性相等, 以X、Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字, 求X、Y的联合分布律与
分布函数..
解: (X, Y)的可能取值为(1, 2)、(2, 1)、(2, 2). P{X = 1, Y = 2}= P{X = 1}P{Y = 2 X = 1}=
同理, 有 P{X = 2, Y = 1}= , P{X = 2, Y = 2}=.
即(X, Y)的分布律如右表所示.
当x < 1, 或y < 1时, F{x, y} = 0; 当1  x < 2, 1  y <2时, F{x, y} = 0;
当1  x < 2, y  2时, F{x, y} =
p
11
p
12

当x  2, y  2时, F{x, y} = 1.
121

.
323
1
3
1
3
11
; 当x  2, 1  y <2时, F{x, y} =
p
11
p
21

;
33


1x2,
0,x1或y1或



1y2,


1

1x2,

x2,
或
所以, (X, Y)的分布函数为
F(x,y)

,


y21y 2,
3


x2,y2.

1,


三、二维连续型随机变量
设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F{x, y}, 若存在非负函数f (x, y), 使对任意的x、y有
F(x,y)


yx

f(u,v)dudv
，
则称(X, Y)为连续型的二维随机变量, f (x, y)称为二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度, 或称随机变量X、Y的
联合概率密度.
概率密度f (x, y)具有以下性质:
1 f (x, y)  0;
2



f(x,y)dxdyF(,)1


2
F(x,y)
f(x,y)
3 若f (x, y)在点(x, y)处连续, 则有
xy
4 设G是xOy平面上的一个区域, 则点(X, Y)落在G内的概率为
P{(X,Y)G}

f(x,y)dxdy
(2)
G

2Ae
(xy)
,x0,y0,
例2 设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为
f(x,y)


0,其它.

求: (1) 系数A; (2) 分布函数F(x, y); (3) 概率P{(X, Y)D}, 其中D: x  0, y  0, x + y  1.
解: (1) 由




f(x,y)dxdy1
, 得
A
1
.
2
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(2)
F(x,y)


y


(xy)
edxdy
=




x

0
0
y
xy
e
(xy)
dxdy,x 0,y0,

(1e)(1e),x0,y0,
=


0
0,其它.

0,其它,
x
(3)
P{(X, Y)}

D
f(x,y)dxdy

0
1
dx
1x
e
x
e
y
dxdy1
2
.
e

2
xy

x,0x1,0y2,例3 设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为
f(x,y)

, 求P{Y  X}.
3

其它,

0,
解: P{Y  X}=
yx

f(x,y)dxdy

0
1< br>dx
2
x
(x
2

xy
17
)dy 
.
324
以上关于二维随机变量的讨论, 不难推广到n(n > 2)维随机变量的情形. 一般地, 设E是一个随机试验,
它的样本空间为S, 设X
1
、X
2
、…、X
n
是定义在S上的随机变量, 则由它们构成的一个n维向量(X
1
, X
2
, …, X
n
)
称为n维随机向量或n维随机变量.
对任意n个实数x
1
、x
2
、…、x
n
, n元函数F(x
1
, x
2
, …, x
n
) = P{X
1
 x
1
, X
2
 x
2
, …, X
n
 x
n
}称为n维随机变
量(X
1
, X
2
, …, X
n
)的分布函数或随机变量(X
1
, X
2
, …, X
n
)的联合分布函数, 它具有与二元分布函数类似的性质.
第二节 边 缘 分 布
设(X, Y)是二维随机变量, 其分布函数为F(x, y), 事件{X  x}即为{ X  x, Y < +}, 从而由(X, Y)的分布函
数可定出X的分布函数, 记为F
X
(x).
F
X
(x) = P{X  x} = P{ X  x, Y < +} = F(x, +)=
limF(x,y)
.
y
我们称F
X
(x)为关于X的边缘分布函数. 类似的可定义关于Y的边缘分布函数为
F
Y
(y) = P{Y  y} = P{X < +, Y  y}= F(+, y) =
limF(x,y)
.
x
一、离散型
设(X, Y)为二维离散型随机变量, 其分布律为P{X = x
i
, Y = y
j
} = p
ij
(i , j= 1, 2, 3, …), 则
F
X
(x)F(x,)
< br>x
i
xj1

p
ij

ij
,
F
Y
(y)F(,y)

y
i
yi 1

p
ij

ij
.
从而X与Y的分布律分别为
P{Xx
i
}


p
j1
, i = 1, 2, …;
P{Yy
j
}


p
i1
ij
, j = 1, 2, …;
记
p
i

P{Xx
i
}

p
j1
ij
, i = 1, 2, …;
p
j

P{Yy
j
}< br>
p
i1
, j = 1, 2, ….
分别称p
i 
和p
 j
为(X, Y)关于X与Y的边缘分布律.
注: 1 边缘分布律具有一维分布律的一般性质.
2 联合分布律唯一决定边缘分布律, 反之不然.
二、连续型
设二维连续型随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y), 由
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F
X
(x)F(x,) 


x
[


f(x,y)dy]dx
;
F
Y
(y)F(,y)


y
[


f(x,y)dx]dy
.
知X与Y都是连续型随机变量. 它们的概率密度分别为
f
X
(x)


f(x,y)dy
;
f
Y
(y )



f(x,y)dx
.
称f
X
(x)与f
Y
(y)分别为(X, Y)关于X与Y的边缘概率密度.
例2 设D是平面上的有界区域, 其面积为A, 若二维随机变量(X, Y)的概率密度为

1

,(x,y)D,

f(x,y)
< br>A

其它,

0,
则称(X, Y)在D上服从均匀分布.
现(X, Y)在以原点为中心、1为半径的圆域上服从均匀分布, 求边缘概率密度.
解: 由




f(x,y)dxdy1
, 得A =

.
当x < 1时,
f
X
(x)< br>


f(x,y)dy


1x
2
1x
2
1

dy
2

1x
2
; 当x  1时, f
X
(x) = 0, 即

2
1x
2
,

f
X
(x)



0,


2
1y
2
,
< br> 同理可得,
f
Y
(y)



x1.0,

x1,y1,
y1.

例3 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
f(x,y)
1
2
1

2
1

2


( x

1
)
2
(x

1
)(y

2
)(y

2
)
2



1

exp

2





222

1

2

2



1



2(1

)



x



y 


.

其中

1
、

2
、

1
、

2
、

都是常数, 且

1
> 0,

2
> 0, 1 <

< 1. 我们称(X, Y)为服从参数为

1
、

2
、

1
、

2
、

的二维正态分布, 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.

(x

1
)
2
(x

1
)(y

2
)(y

2
)
2

2


解: 令m =

22


2
12
1

(y

2
)
2
2

2



2
2

(x

1< br>)(y

2
)

1

2
2


2
(x

1
)
2
(x

1
)
2

1
2

1
2

(x

1
)
2

1
2
2

y

2
x

1

2
(x

1
)
.




(1

)
2


1
21
所以,
f
X
(x)



f(x,y)dy
=



1
2

1

2
1

2

m
2(1

2
)
edy

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
1
2

1

2
1
2

(x

1
)
2
2
2

1
e


y

2
x

1






2

1

2(1

)

2
1

2
edy
.
令
t

y
2
x

1

2

, 则


dy1



2
dt
, 从而,

2


21

1


1

所以,
f
X
(x)

y

2
x

1





< br>2


1

2(1

)
2
1

2
edy



1

2


2
e

t
2
2
dt2

2
1

2
.
1
2

2

(y

2
)
2
2< br>2

2
1
2

1

(x

1
)
2
2
2

1
e
(
x
). 同理可得,
f
Y
(y)e
(
y
).
2
)
. 表明,
X~N(

1
,

1
2
)
,
Y~N(

2
,

2
此例说明, 二维正态随机变量(X, Y)中的X、Y都服从正态分布, 并且与参数

无关. 所以对 于确定的

1
、

2
、

1
、< br>
2
而取不同的

, 对应了不同的二维正态分布, 但是其中每个随机变量都分别服从相同的正态分布. 因
此, 仅由关于X和Y的边缘概率密度(分布), 一般不能确定X和Y的联合概率密度(分布).



第四节 相互独立的随机变量

我们知道, 两事件A、B相互独立的充要条件是
由此我们引进随机变量相互独立的定义.
定义 设F(x, y)及F
X
(x)、F
Y
(y)分别是二维随机变量(X, Y)的分布函数及边缘分布函数, 若对于所有的x、
y, 有 P{X  x, Y  y} = P{X  x} P{Y  y}, 即F(x, y) = F
X
(x)F
Y
(y) (1)
则称随机变量X和Y是相互独立的.
可见, 在随机变量X和Y相互独立的情况下, 由关于X和Y的边缘分布函数就唯一地确定(X, Y)的联合分
布函数, 而且还可推得
P(AB) = P(A)P(B)
P{YyXx}
lim
F(xx,y)F(x,y)

x0
F(xx,)F(x,)
lim
P{Y  y}.
P{Yy,Xx}
P{Xx}
lim
P{Yy,xX xx}
x0
P{xXxx}
F
X
(xx)F< br>Y
(y)F
X
(x)F
Y
(y)[F(xx)FX
(x)]F
Y
(y)
lim
X
= F
Y
(y) =
x0
F(xx)F()F(x)F()
x 0
F(xx)F(x)
XYXYXX
这就是说在X和Y相互独立的情况下条件 分布与边缘分布相同, 即条件分布化成了无条件分布.
一、离散型
设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律为
(X, Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为
P{X = x
i
, Y = y
j
} = p
ij
(i , j= 1, 2, 3, …),
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p
i

P{Xx
i
}

p
j1

ij
, i = 1, 2, …;
p
j

P{Yy
j
}

p
i1

ij
, j = 1, 2, ….
则X和Y相互独立的充要条件是
P{X = x
i
, Y = y
j
} = P{X = x
i
} P{Y = y
j
}, 即p
ij
=
p
i
p
j

二、连续型
设二维连续型随机变量(X, Y)的联合概率密度为f (x, y), 关于X和Y的边缘概率密度为f
X
(x)和f
Y
(y), 则X
和Y相互独立的充要条件是等式 f (x, y) = f
X
(x) f
Y
(y) (3)
几乎处处成立.
例3 设(X, Y)服从二维正态分布, 即其联合概率密度为
(2)
f(x,y)1
2

1

2
1

2


(x

1
)
2
(x

1< br>)(y

2
)(y

2
)
2



1

exp

2





222

1

2
2




1



2(1 

)



x



y


.

证明: X和Y相互独立的充要条件是

= 0.

e
(xy)
,x0,y0,
例4 若(X, Y)的联合概率密度为
f(x,y)

则X和Y相互独立.
0,其它,< br>

e
x
,x0,

e
y
, y0,
证: 显然
f
X
(x)


f
Y
(y)

故有f (x, y) = f
X
(x) f
Y
(y). 从而X和Y相互独立.

0,其它,

0,其它,
例5 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在[0, 0.2]上服从均匀分布, Y的概率密度为

5e
5y
,y0,
f
Y
(x)


0,其它,

试求: (1) X与Y的联合概率密度; (2) P{Y  X}.

5,0x0.2,
解: (1) 由已知条件, 得
f
X
(x)

从而得X与Y的联合概率密度为
0, 其它,


25e
5y
,0x0.2,y0
f(x ,y)


0,其它.

(2) P{Y  X}= P{Y  X}

xy0

f(x,y)dxdy
,积分区域如图, 化成二次积分后得
x
0
P{YX}




0
0.2

f(x,y)dy

dxe
1< br>0.3679
.

以上关于二维随机变量的一些概念, 很容易推广到n维随机变量的情形.
设n维随机变量(X
1
, X
2
, …, X
n
)的联合分布函数为F(x
1
, x
2
, …, x
n
), 若存在非负函数f (x
1
, x
2
, …, x
n
), 使得
对于任意实数x
1
、x
2
、…、x
n
, 有
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F(x
1
, x
2
, …, x
n
) =


x
n
x
n1



x
1

f (x
1
,x
2
,,x
n
)dx
1
dx< br>2
dx
n
,
则称f (x
1
, x
2
, …, x
n
)为n维随机变量(X
1
, X
2
, …, X
n
)的联合概率密度.
称
F< br>X
1
(x
1
)F(x
1
,,,)
,
F
X
1
,X
2
(x
1
,x
2
)F(x
1
,x
2
,,,)
, …为关于X
1
, (X
1
, X
2
), …的边缘分
布函数,
f
X
1
(x
1
)








f( x
1
,x
2
,,x
n
)dx
2
dx3
dx
n
,
f
X
1
,X
2
(x
1
,x
2
)



 




f(x
1
,x
2
,,x
n
)dx
3
dx
4
dx
n
, …
为关于X
1
, (X
1
, X
2
), …的边缘概率密度.
若对于所有的x
1
、x
2
、…、x
n
, 有F(x
1
, x
2
, …, x
n
)

F
X
1
(x
1
)F
X
2
(x
2< br>)

F
X
n
(x
n
)
, 则称X
1
, X
2
, …, X
n
是相
互独立的, 对离散型即连续型随机变量, 也有类似的结论.
若对于所有的x
1
、x
2
、…、x
m
; y
1
、y
2
、…、y
n
, 有
F(x
1
, x
2
, …, x
m
; y
1
, y
2
, …, y
n
) = F
1
(x
1
, x
2
, …, x
m
) F
2
(y
1
, y
2
, …, y
n
)
其中F
1
、F
2
和F依次为(X
1
, X
2
, …, X
m
)、(Y
1
, Y
2
, …, Y
n
)和(X
1
, X
2
, …, X
m
; Y
1
, Y
2
, …, Y
n
)的分布函数, 则称随机
变量(X
1
, X
2
, …, X
m
)和(Y
1
, Y
2
, …, Y
n
)是相互独立的.
定理 设随机变量(X
1
, X
2
, …, X
m
)和(Y
1
, Y
2
, …, Y
n
)相互独立, 则X
i
(i = 1, 2, …, m)与Y
j
(j = 1, 2, …, n)相互
独立. 又若h、g是连续函数, 则h(X
1
, X
2
, …, X
m
)和g(Y
1
, Y
2
, …, Y
n
)也相互独立.
第三节、条件分布

离散型：在已知
X=x
i
的条件下，Y取值的条件分布为
P(Yy
j
|Xx< br>i
)

在已知
Y=y
j
的条件下，X取值的条件分 布为
P(Xx
i
|Yy
j
)

连续型：在已 知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
f(x|y)
p
ij
p
i 
p
ij
p
j

；
,

f(x,y)
；
f
Y
(y)
f(x,y)
f
X
(x)
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为
f(y|x)

例3.9： 设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中

D{(x,y):|xy|1,|xy|1},
求X的边缘密度
f
X
(x)
和X的边缘密度
f
Y
(y)

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y= x+1

y= -x-1

y=- x+1

x+y= x-1

1

,D
解：
f(x,y)

2


0,其 他.

f
X
(x)




x1
1


x1
2
dyx1,1x0;


－x1
1
f(x,y)dy


dy1x,0x1;

x1
2


0,其他.


例3.10 设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布
P(

)
，每个顾客 购买某种商品的
概率为
p
，并且每个顾客是否购买某种商品相互独立，求进入商店的顾 客购买该种商品的人数Y的分
布列。
解：X的分布为
P(Xm)
布的是二项分布，
即
P(YkXm)C
m
p(1p)
从而由全概率公式有
P( Yk)
kkmk

m
e


m!
, m0,1,2,
，由题意知，在
Xm
的条件下，Y的条件分
,k0,1 ,2,,m.

Xm)

mk

P(Xm)P(Y k



mk


m
e


m!
Cp(1p)

mk
k
m
k mk
1
k



m
pe

(1p)
mk
k!
mk
(mk)!

1
k

k

1
pe


(1p)mk
p
k
e



k

k!k!(mk)!
mk
(mk)!
mk
(

p)
k


p
e,k0,1,2,
即Y服从泊松分布
P(

p)
。 ＝
k!


数
f(xy)
.


(1p)

m k

1
k

k

(1p)
pe

e

k!
例3.11 设
(X,Y)
服从
G (x,y):x
2
y
2
1
上的均匀分布，求给定
Y y
条件下X的条件密度函

2

1y
2
1
1
22
,xy1;
dx1y
2
,1y 1;


1y
2
解：
p(x,y)


，p
Y
(y)



0 ,其他.

0,其他.

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
,1y
2
x1y
2
;
p(x, y)

p(xy)

21y
2

p
Y
(y)


0,其他.
注：在给定Y的具体某个取值时，X的条件 分布也是均匀分布。


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