湖北中医药大学教务处-本科毕业论文致谢词

第三节

二维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全
国年龄 在40岁以上的人群，用
X
和
Y
分别表示一个人的年龄和体重，
Z< br>表示这个人的血压，
并且已知
Z
与
X
，
Y
的 函数关系式

Zg(X,Y)
,
现希望通过
(X,Y)
的分布来确定
Z
的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函
数的分布问题.
在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:
(i)
ZXY
;
(ii)
Zmax{X,Y}
和
Zmin{X,Y}
，其中
X
与
Y
相互独立.
注：应指出的是，将两个随机变量函数 的分布问题推广到
n
个随机变量函数的分布问题
只是表述和计算的繁杂程度的提高，并 没有本质性的差异.
资料个人收集整理，勿做商业用途

教学目的 掌握两类函数关系的分布问题

教学重点 函数的和、最大值与最小值得分布问题

教学难点 函数的和、最大值与最小值得分布问题
教学内容
一、 离散型随机变量的函数的分布
设
(X,Y)
是二维离散型随机变量,
g(x,y)
是一个二元函数, 则
g(X,Y)
作为
(X,Y)
的函
数是一个随机变量, 如果
(X,Y)
的概率分布为
P{Xx
i
,Yy
j< br>}p
ij
(i,j1,2,)

设
Zg(X,Y)< br>的所有可能取值为
z
k
,k1,2,
, 则
Z
的概率分布为
P{Zz
k
}P{g(X,Y)z
k
}
g(x
i
,y
j
)z
k
P{Xx,Yy},

k1,2,,

ij

二、 连续型随机变量的函数的分布
设
(X,Y)
是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为
f(x,y)
, 求
ZXY
的概率密
度函数
f
Z
(z)
。
可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求
ZXY
的分布.
（1）
ZXY
的分布
设
ZXY
的分布函数为
F
Z
(z)


F
Z
(z)P{Zz}
xyz

f(x,y) dxdy
。
Z
的概率密度为

f
Z
(z)
或



f(zy,y)dy

1 3

f
Z
(z)




f(x,zx)dx
。
注：当
X
与
Y
相互独立，则
f
Z
(z)

f
Z< br>(z)





f
X
(zy)f
Y
(y)dy
或
f
X
(x)f
Y
(zx)dx
以上两个公式称为卷积公式。
f
X
(x)f
Y
(y)
1
2

1
2

e
x
e
2
例1 设
X
和
Y
是两个相互独立的随机变量. 它们都服从
N(0,1)
分布, 其概率密度为
2
,x,
y
2
2

,y.
求ZXY的概率密度.

类似于例1，利用卷积公式可得到下列定理。
定理1 设
X,Y
相互独立， 且
X~N(

1
,

1
2
),

2
).
正态分布，且
Z~N(

1


2
,

1
2


2
2
Y ~N(

2
,

2
).
则
ZXY< br>仍然服从
更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,
即有
定理2 若
X
i
~N(

i
,

i
2
)(i1,2,,n),
且它们相互独立，则对任意 不全为零的常数
n

n
2


a

,a

a
1
,a
2
,,a
n
，有 < br>
a
i
X
i
~N



i i

ii

.
i1i1

i1

n
例2 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为
x


xe,当x0时,
f(x)



0,其它.

如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.

三、
Mmax(X,Y)
及
Nmin(X,Y)
的分布
设随机变量
X,Y
相互独立,其分布函数分别为
F
X
(x)
和
F
Y
(y)
, 由于
Mmax(X,Y)
不大
于z等价于
X
和
Y
都不大于z, 故有
F
M
(z)P{M z}P{Xz,Yz}
P{Xz}P{Yz}F
X
(z)F
Y
(z);
类似地, 可得
Nmin(X,Y)
的分布函数
F
N
(z)P{Nz}1P{Nz}1P{Xz,Yz}

1P{Xz}P{Yz}1[1F
X
(z)][1F
Y(z)].


例3设系统
L
由两个相互独立的子系统
L
1
,L
2
联接而成，联接方式分别为串联、并联、
备用（当系统< br>L
1
损坏时，系统
L
2
开始工作），如图所示. 设
L
1
,L
2
的寿命分别为
X,Y
, 已知
它们的概率密度分别为
资料个人收集整理，勿做商业用途


e


x
,x0,


e


y
,y0,
f
X
(x)


f
Y
(y)


0,x0,0,y0,

2 3

其中
< br>0,

0
且



.
试分别就以上三种联接方式写出
L
寿命
Z
的概率密度.

XY
L
1
L
1
X
Y
L
2
L
2
L
1
X
Y


课堂练习
若
X
和
Y
独立, 具有共同的概率密度

1,0x1
f(x)


0,其它

求
ZXY
的概率密度.
课后作业
P74 3
L
2
3 3