汤姆叔叔的小屋读后感-杭州会计证

.
第三章 多维随机变量及其概率分布
【内容提要】
一、二维随机变量及其分布函数
【定义】设
XX(

),YY (

)
是定义于随机试验
E
的样本空间

上的两个 随机变量，则称
(X,Y)

为二维随机变量，称
F(x,y)P

X(

)x,Y(

)y

为其联合分布函 数，而称:
F
1
(x)P

X(

)x
及
F
2
(y)P

Y(

)y

分别为
X,Y
的边缘分布函数。
二维随机变量
(X,Y )
的联合分布函数
F(x,y)
具有如下性质:
⑴．非负性:
x,yR
，有
0F(x,y)1
；
⑵．规范性:
x,yR
，有
F(x,)F(,y)0,F(,)1
；
⑶．单调性: 当
x(或y)
固定不变时，
F(x,y)
是
y(或x)
的单增函数；
⑷．右连续性:
x,yR
，有
F(x0,y0)F(x,y)
；
⑸．相容性:
x,yR
，有
F(x,)F
1
( x),F(,y)F
2
(y)
；
⑹．特殊概率: 若
x
1
x
2
,y
1
y
2
，则
P(x
1
Xx
2
,y
1
Yy
2< br>)F(x
2
,y
2
)F(x
1
,y
2< br>)F(x
2
,y
1
)F(x
1
,y
1< br>)0
。
二、二维离散型随机变量
1．二维离散型随机变量及其概率分布律
若二维随机变量
(X,Y)
的一切可能取值为离散值
(x
i
,y
j
)R
，其中
i,j1,2,...
，且取到这些值的概率
p
(
x
i
,
y
j
)
P
(
Xx
i
,
Yy
j
)

0,
i
,
j
1,2,...
满足
1i,j
2

p(x
i
,y
j
)1
，则称
(X,Y )
为二维
离散型随机变量，而称
p(x
i
,y
j
) i,j1
为其联合概率分布律，记为:

(X,Y):p(x
i
,y
j
),i,j1,2,...
。
⑴.
X,Y
的边缘概率分布律:
X
:
p
1
(x
i
)P(Xx
i
)

p(x
i
,y
j
),Y
:
p
2
(y
j
)P(Y y
i
)

p(x
i
,y
j
)
；
1j1i
⑵.
X,Y
的条件概率分布律:
Y
Xx
i
:
p
YX
(y
j
x
i< br>)
p(x
i
,y
j
)
p
1
(x< br>i
)
,
X
Yy
j
:
p
XY
(x
i
y
j
)
p(x
i
,y
j
)
p
2
(y
j
)
；
⑶.
X与Y
的相互独立
i,j1,恒有p(x
i
,y
j
)p
1
(x
i
)p
2
(y
j
)
。
二维离散型随机变量
(X,Y)
的联合分布律及其边缘分布律也可用下表来表示:
.

.
X
x
1

x
2

Y

y
1

p(x
1
,y
1
)

y
2

p(x
1
,y
2
)

p(x
2
,y
2
)

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg


y
n

p(x
1
,y
n
)

p(x
2
,y
n
)

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

ggg

P(X)

p
1
(x
1
)

p
1
(x
2
)

p(x
2
,y
1
)

ggg

x
m

ggg

p(x
m
,y
1
)

ggg

p(x
m
,y
2
)

ggg

p(x
m
,y
n
)

ggg

p
1
(x
m
)

ggg

ggg

p
2
(y
1
)

ggg

p
2
(y
2
)

ggg

p
2
(y
n
)

ggg

P(Y)

1

设
DR为平面区域，则二维离散型随机变量
(X,Y)
的联合分布函数及其取值落在
D< br>内的概率为:
2
F(x,y)P

Xx,Yy

2．常用二维离散型分布
x
i
x,y
j
y
p(x
i
,y
j
)
，
P

(X,Y)D



p(x
i
,y
j
)
。
(x
i
,y
j
)D
⑴．三项式分布:设n1
为自然数，
0p
1
,p
2
p
1p
2
1
为常数，则三项式分布的联合分布律为：
n!p
1
i
p
2
j
(1p
1
p
2
)< br>nij

P(Xi,Yj)
，其中
0i,jijn
，
i!j!(nij)!
而其边缘分布律、条件分布律为：
n!p
1< br>i
p
2
j
(1p
1
p
2
)nij
ii
C
n
p
1
(1p
1
)
ni
，
P(Xi)

i!j!(nij)!0jni
n!p
1
i
p
2
j
(1p< br>1
p
2
)
nij
C
n
j
p
2
j
(1p
2
)
nj
，
P(Yj)

i!j!(nij)!
0inj
P(YjXi)
p
P(Xi,Yj)
j
C
n
j
i
p
12
(1p
12
)
nij
，其中
0p
12

2
1
，
1p
1
P(Xi)

P(XiYj)
p
1
P(Xi,Yj)
iinij
0p1
。
Cn
p(1p)
，其中
21
j2121
1p
2P(Yj)
⑵．二维超几何分布: 设
1n,M
1
,M
2< br>N
为自然数，则二维超几何分布的联合分布律为：

P(Xi,Yj) 
ijnij
C
M
CC
MNM
1
M
212
n
C
N
，其中
0i,jijn
；
而其边缘分布律、条件分布律为：
.

.

P( Xi)
0jni

ijnij
C
M
CCMNM
1
M
212
n
C
N
ijnij
C
M
CC
MNM
1
M
212
n
C
N

ini
C
M
C
NM
11n
C
N
jnj
C
M
C
NM
22< br>n
C
N
，

P(Yj)
0inj


，
jnijP(Xi,Yj)
C
M
2
C
NM
1
M
2

P(YjXi)
，

ni
P(X i)C
NM
1
inij
P(Xi,Yj)
C
M< br>1
C
NM
1
M
2

P(XiYj)
。

nj
P(Yj)C
NM
2
⑶．二维
Poisson
分布: 设

1
,
2
0
为常数，则二维
Poisson
分布的联合分布律为:


1
j

2
ij
(
1


2
)
e,
若
0ji

P(Xi,Yj)

j!(ij)!
,

其它

0,
而其边缘分布律、条件分布律为：

P(Xi)
0ji


1
j

2
ij
j!(ij)!
e
(

1


2
)
(

1


2
)
i
(

1


2
)
e
，
i!


P(Yj)
ji


1
j

2
ij
j!(ij)!
e
(

1


2
)

1
j
j!e


1
，

P(YjXi)

1
P(Xi,Yj)
1
，
C
i
j
p
1
j
(1p
1
)< br>ij
，其中
0p
1


1


2
P(Xi)

2
ij


2
P(Xi,Yj)
e
。
P(XiYj)
P(Yj)(ij)!
三、二维连续型随机变量
1．二维连续型随机变量及其概率密度函数
若二维随机变量
(X,Y)
的 一切可能取值充满了某一平面区域，且存在一个函数
p(x,y)0
，使其
x
y

联合分布函数可表为
F
(
x
,
y)
P

Xx
,
Yy


 

p
(
u
,
v
)
dudv
， 且

p(x,y)dxdy

1
，则

称
(X,Y)
为二维连续型随机变量，而称
p(x,y)
为其联合密度函数，记 为
(X,Y):p(x,y)
。
设
DR
为平面区域，则二 维连续型随机变量
(X,Y)
的联合分布函数、联合密度函数满足：
2
< br>2
F
F(x,y)P

Xx,Yy



p(u,v)dudv,p(x,y)
，而
(X,Y)
的取值落在< br>D
内的

xy
xy
.

.
概率为
P

(
X
,
Y
)
D

2．常用二维连续型分布

p
(
x
,
y
)
dxdy
。
D

1

S(D)
,
若
(x,y)D< br>⑴．均匀
U(D)
:
p(x,y)

，其中
0 S(D)
平面区域
D
的面积；

若
(x,y)D

0,
⑵．二维指数分布
e(r,

,

)
:二维指数分布的联合分布为:


x

y(
x

yr

xy)

,
若< br>x,y0

1eee
，
F(x,y)

其它


0,
(

x

yr

xy)


(1r

x)(1r
< br>y)re,
若
x,y0

F

，
p(x,y)

xy

0,
其它

2其中

1
,

2
0及0r1
为常数，而 其边缘分布及条件分布为:


x

x

1 e,
若
x0

e,
若
x0

，
X
:
F
1
(x)F(x,)

,p
1
(x)F
1

(x)

其它其它

0,

0,



y

y

1e,
若
x0

e,
若
y0
 
，
Y
:
F
2
(y)F(,y)
,p
2
(y)F
2

(y)

其它其它< br>

0,

0,


y(1r

x)


(1r

x)(1r

y )re,
若
x,y0

p(x,y)

Y
，
:
p
YX
(x,y)

Xx
p
1< br>(x)

0,
其它




(1 r

x)(1r

y)r

e

< br>x(1r

y)
,
若
x,y0
p(x,y)
X
。
:
p
XY
(x,y)

Yy
p
2
(y)

0,
其它

⑶．二维

分布: 其联合密度、边缘密度及条件密度分别为(其中

,
< br>,

0
均为常数)





y

1
(xy)

1
e


x
,
若
0yx

(X,Y)
:
p (x,y)

(

)(

)
,

其它

0,





x



1
e


x
,
若x0


X
:
p
1
(x)
< br>p(x,y)dy

(



)
，


若
x0

0,
.

.




1

y
ye,
若
y0


Y
:
p
2
(y)

p(x,y)dx

(

)
，


若
y0

0,




1

(xy)
(xy)e,
若
0 yx

p(x,y)
X
，
:
p
YX
( x,y)

(

)
Yy
p
2
(y )

其它

0,

(


< br>)y

1
(xy)

1
,
若
0yx




1
p(x,y)
Y
x
:
p
YX
(x,y)

(

) (

)
。
Xx
p
1
(x)

其它

0,
⑷．二维正态分布
N(

1
,

2
,r,

1
,

2
)
:二 维正态分布的联合密度为:
22
p(x,y)
1
2

1

2


x

1
2
x
1
y

2
y

2
2


1

exp

()2r()()()


，
2

2

1

2

2

2(1r)


1

1r

其中

1
,

2
,r,

1
,

2
R为常数,且r1,而

1,

2
0
，而其边缘分布及条件分布为:
X
:p
1
(x)

Y
:
p
2
(y)< br>



(x

1
)
2
1
2
p(x,y)dyexp



，即
X:N(

1
,

1
)
，
2< br>2

1

2

1


( y

2
)
2

1
2
p(x,y)dx exp



，即
Y:N(

2
,

2
)
，
2
2

2

2
2





y

r

1
(x

)

2


2211



p(x,y)1

Y
:
p
YX
(x,y)exp




，
22
Xx
2
p
1
(x)2(1r)
2
2

(1r)

2


即< br>Y


2

:
N


2< br>r
2
(x

1
),(1r
2
)

2

。
Xx


1

四、二维随机变量函数的分布
设
(X,Y)
为二维随机变量，而
f(x,y)
为连续的确定型函数。
i,j1
，则
Zf(X,Y)
的分布律为: ⑴．若
(X,Y)
为离散型随机变量，且
(X,Y):p(x
i
,y
j
)，< br>Z
:
g(z
k
)P(Zz
k
)
f(x
i
,y
j
)z
k

p(x
i
, y
j
)
；
⑵．若
(X,Y)
为连续型随机变量，且
(X,Y):p(x,y)
，则
Zf(X,Y)
的概率密度函数为:

dd


Z
:
g(z)

P(Zz)




p(x,y)dxdy

；
dzdz


f(x,y)z

.

.
⑶．若连续型随机变量
X
1
,X
2,...,X
n
独立，且具有相同的分布函数为
F(x)
，将
X
1
,X
2
,...,X
n
按其取
值由小到大的顺序重新排为
X
1
X
2
X
n
，称
X
1
,X
2
,,X
n
为
X
1
,X
2
,...,X
n
的顺序统计
量，则第
k
个顺序统计量
X
k
的分布函数为(其中
f(x)F
(x)
为
X
k
的密度，
1kn
): < br>k
X
k

:
F
k
(x)kC
n< br>
F(x)
0

u
k1
(1u)
nk
du
，特别：


min

X
k
X
1

:
F
1
(x)1
< br>1F(x)

n
1kn

。

n< br>


max

X
k

Xn
:
F
n
(x)

F(x)

1 kn

五、
m
维随机变量及其分布
【定义】设
X
k
X
k
(

),
k
1,2,...,
m
是定义于随机试验
E
的样本空间

上的
m
个随 机变量，则称
X(X
1
,X
2
,...,X
m
)

为
m
维随机变量，而称
F(x)P

X
1
x
1
,X
2
x
2
,...,X
m
x
m

为其联合

概率分布函数；
m
维 随机变量
X(X
1
,X
2
,...,X
m
)也可分离散型与连续型，也有边缘分布、条
件分布等概念。常用
n
维随机变量的分 布有:
1．
m
维多项式分布:设
m,n1
为自然数，
0 p
1
,p
2
,...,p
m
p
1
p
2
p
m
1
为常数，则
m
维
多 项式分布的联合分布律为(其中
0x
1
,x
2
,,x
m
x
1
x
2
x
m
n
为 整数)：
x
m
x
2
n!p
1
x
1
p
2
p
m
(1p
1
p
2
 p
m
)
nx
1
x
2
x
m

P(X
1
x
1
,X
2
x
2
,...,X
m
x
m
)
，
x
1
!x
2
!x
m
!(nx
1
x
2
x
m
)!
其边缘分布律、条件分布律仍为多项式分布。
2．
m
维超几何分布: 设
1m,n,M
1
,M
2
,...,M
m
M
1
M
2
Mm
N
为自然数，则
m
维超几何
分布的联合分布律为(其中0x
1
,x
2
,,x
m
x
1
x
2
x
m
n
为整数)：
12m
1

P(X
1
x
1
,X
2
x
2
,...,X
m
x
m
)C
M
C
M
2
2
C
M
m
m
CNM
C
N
，
11
M
2
Mm
xx
xnxxx
n
其边缘分布律、条件分布律仍为超几 何分布。
3．
m
维均匀分布: 设
DR
为
m
维 空间区域，且其体积
0V(D)
，则
D
内
m
维均匀 分布的
联合密度为(其中
0x
1
,x
2
,,xm
x
1
x
2
x
m
n
为整数)：
m


1V(D),
若
(x
1
,x
2
,...,x
m
)D

p(x
1
,x
2
,...,x
m
)

。
若
( x
1
,x
2
,...,x
m
)D

< br>0,

m
4．
m
维正态分布: 设

(< br>
1
,

2
,...,

m
)R
为
m
维常向量，




ij
mm
为正定矩阵，

为

的


m行列式，
m
维正态随机变量
X(X
1
,X
2
,...,X
m
)
在
x(x
1
,x
2
, ...,x
m
)R
处的联合密度为：
.

.

p(x)
1
(2

)
m2

1

exp

(x

)


1
(x

)

，正态随机变量的边缘分布、条件分布及其线性< br>
2


变换仍服从正态分布，且
X
1
,X
2
,...,X
m
相互独立

为对角阵。

【第三章作业】
1、现有10件产品，其中6件为正品，4件为次品，从中随机抽取两次产品，每次取一件，令


1,
若第一次取到正品

1,
若第二次取到正品< br>X

，
Y

，

0,
若第一 次取到次品


0,
若第二次取到次品
在放回抽样与不放回抽样下 分别求
(X,Y)
的联合分布律及边缘分布律。
解:由题意知
(X,Y)
的联合分布律及边缘分布律分别为:
放回抽样场合 不放回抽样场合
X
Y

0
1
0 1
P(X)

25

35


X
Y

0
1
0 1
P(X)

25

35

425

625

25

625

925

35

215

415

25

415

515

35

P(Y)

1


P(Y)

1

2、现有10件产品，其中5件为一级品，2件为二 级品，其余为废品，从中不放回地随机抽取3件产
品，用
X,Y
分别表示所取产品中的 一、二级产品的数目， 求
(X,Y)
的联合分布律及边缘分布律。
ij3ij 3
C
10
,其中0i,j,ij3
，故其联合
解:由题意知< br>(X,Y)
的联合分布律
P(Xi,Yj)C
5
C
2< br>C
3
分布律及边缘分布律分别如下表所示:
X
Y

0

1120

15120

30120

10120

1

6120

30120

20120

2

3120

5120

P(X)

112

0

1

2

3

512

512

112

0

0

0

.

.
P(Y)

715

715


115

1

3、已知
(X,Y)
的边 缘分布律如下，且
P(XY0)1
，求其联合分布律及
P(XY)
。
X

P(X)

1

14

0

24

1

14


Y

P(Y)

0

12

1

12

解:由题意知
(X,Y)
的联合分布律如下表所示:
X
Y

0

14

1

0

12

P(X)

14

24

14

1

0

0

14

12

1

P(Y)

0

12

1

且
P(XY)P(X0,Y0)P(X1,Y1)0
。
 (x2y)

Ae,
若
x,y0

4、设
(X ,Y)
的联合密度函数为
f(x,y)

，求常数
A
、< br>(X,Y)
的边缘密度及
其它


0,
概率
P(0X2,0Y3)，P(X2Y1)，P(XY)
。
解:由联合密度函数的性质有:
1

X
:
f
1
(x)




f(x,y)dxdy A

e
x
dx

e
2y
dyA2< br>，故
A2
,且
00



< br>
x

e,
若
x0

，
f (x,y)dy



0,
若
x0
2y
,
若
y0

2e
，
f(x,y)dx

若
y0


0,

Y
:
f
2
(y)



P(0X2,0Y3)2

P(X2Y1)2

2
0
edx

e
2y
dy(1e
2)(1e
3
)0.86252
，
0
x
3x2y1

e
(x2y)
dxdy2

d x

0
y
1(1x)2
0
e
(x2y)
dy12e
1
0.26424
，

P(X Y)2
xy
(x2y)(x2y)
edxdy2dyedx123 13
。

00
.

.
2

x

xy3,
若
0x1,0y2
5、设(X,Y)
的联合密度函数为
f(x,y)

，求
(X,Y)
的边缘密度
其它


0,
及概率
P(X0.5Y 0.5)
。
解:由题设知:
X
:
f
1
(x) 

2
0

2

3
x(3x1),若
0x1
f(x,y)dy

，

0,
其它


1
1

6
(y2),
若0y2

Y
:
f
2
(y)
f(x,y)dy

，
0

0,
其它
< br>2
P(X0.5,Y0.5)
2

0
dx
0
(3xxy)dy
5


P(X0.5Y0.5)
。
0.5
P(Y0.5)36

(y2)dy
0
0.50.5
y


e,若
0xy
6、设
(X,Y)
的联合密度为
f(x,y)< br>
，求其边缘密度及概率
P(X2,Y4)
。
其它
< br>
0,
解:由题设知:
X
:
f
1
(x)< br>




e
y
dye
x
,
若
x0


，
f(x,y)dy
x

若
x0

0,

Y:
f
2
(y)




ye
y
dxye
y
,
若
y0


，
f(x,y)dx

0

若
y0

0,

P(X2,Y4)

4
2
e dy

dx

(y2)e
y
dy(1y)ey
22
y
y4
4
2
e
2
3 e
4
0.08039
。
7、两人约定于某日的
12:00到
13:00
在指定地点会面，约定先到者最多等候
20
分钟，假设两人 行动
独立且在
12:00
到
13:00
内任一时刻到达指定地点的可 能性相同，求他们能会面的概率。
解:用
X,Y
分别表示两人到达指定地点的时间( 从
12:00
算起的分钟数)，则由题设知
(X,Y)
在平面区域


13600,
若
(x,y)D
，从
D
(x,y)0x,y60

上均匀分布，故其联合密度为
f(x,y)
若
(x,y)D


0,
而他们能会面的概率为< br>P(XY20)
xy20

f(x,y)dxdy1(
40
2
5
)
。
609
8、设
X,Y
独立，且其边缘分布为
P(X1)P(Y1)12
，求
(X,Y)
的联合分布及
P(XY)
、
P(XY1)
、
P(XY0)
。
.

.
解:由题设知
(X,Y)
的联 合分布
P(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj)14,其中i,j1
，且

P(XY)P(XY1)P(X1,Y1)P(X1,Y1)12
，

P(XY0)P(X1,Y1)P(X1,Y1)12
。
9 、设
X
1
,X
2
,X
3
,X
4
相 互独立，且其边缘分布为
P(X
i
0)0.6,P(X
i
1) 0.4,i1,2,3,4
，求行
列式
X
X
1
X3
X
2
X
4
的分布。
解:令
p(x
1
x
2
x
3
x
4
)P(X
1
 x
1
,X
2
x
2
,X
3
x
3
,X
4
x
4
)
1i4

P(X< br>i
x
i
)
，则由题设知
X
X
1
X
3
X
2
X
4
X
1
X
4X
2
X
3
有3个可能的取值
0,1
，且
P(X1)p(1110)p(0110)p(0111)0.6
2
04
2
20.604
3
0.1344
，
P(X1)p (1101)p(1001)p(1011)0.6
2
04
2
2 0.604
3
0.1344
，
P(X0)1P(X1)P(X1)0.7312
。


0,
若
XY
10、设
(X,Y)
在区域
D< br>
(x,y)0x2,0y1

上均匀分布，求随机变量
U

与


1,
若
XY

0,
若
X2Y
V

的联合分布。

< br>1,
若
X2Y
解:由题设知
(U,V)
的联合分布为: < br>若
(i,j)(0,0)

P(XY)14,

若
(i,j)(0,1)

P()0,
。
P(Ui, Vj)


P(YX2Y)14,
若
(i,j)(1, 0)

若
(i,j)(1,1)


P(X2Y)1 2,


4xy,
若
0x,y1
12、设
(X ,Y)
的联合密度为
f(x,y)

，求其边缘密度。
其它


0,
解:由题设知其边缘密度为:
.

.

X
:
f
1
(x)




1
4xydy2x,
若0x1


，
f(x,y)dy

0

其它

0,

1
4xydx2y,
若
0y1


。
f(x,y)dx

0

其它

0,

Y
:
f
2
(y)


y
1,
若
0x1

Ae,
若
y0

 
13、设
X,Y
独立，且
X
:
f
1
(x )

，求常数
A
及随
,Y
:
f
2
(y)

若
y0


0,

0,< br>其它

机变量
Z2XY
的概率密度。
解:由题设知A1
，而
Z2XY
的概率密度
g(t)
为:

d
t2x
d




f(x)f (t2x)dx

f(x)dxf(y)dy

g(t)


f
1
(x)f
2
(y)dxdy



22



1

1
dt

dt

2xyt




f
2
(t2x)dx
0
1
1
t< br>2

t2


0,
若
t0
< br>
1
t
1
f
2
(y)dy

< br>e
y
dy(1e
t
),
若
0t2
。
0
2

2

1
t
1

e
y
dy(e
2t
e
t
),若
t2
2
t2
2
g(t)

0

2

x
3
y
)
，求
4
t


14、设
(X,Y)
的联合分布函数为< br>F
(
x
,
y
)
A
(
B
arctan)(
C
arctan
⑴.常数
A,B,C
； ⑵.
(X,Y)
的联合密度及边缘密度；
.

.
⑶.
P(X3),P(Y4),P(X3,Y4)
； ⑷.判断
X,Y
是否相互独立。
解: ⑴.由联合分布函数的性质知，常数
A,B,C
满足:

0F(x, )A(C

2)

Barctan(x3)

1

A,BC



2
2


0F(,y)A(B

2)Carctan(y4)

1

x

y

F(x,y )(arctan)(arctan)
2

1F(,)A(B

2)(C

2)

2324

 ⑵.
(X,Y)
的联合密度及边缘分布、边缘密度分别为:

2
F12
f(x,y)

222
xy

(x9)(y16)


1

x3



F
1
(x)F(x,)(arctan),f
1
(x)F
1

(x)
；
2

23

(x9)


4

F(y)F(,y)
1
(

arctan
y
),f(y)F

( y)
222


24

(y
2
16)

1

3

P(X3)F(3)(arctan1 )
1


24


1

3
⑶.

P(Y4)F
2
(4)(arctan1)
；

24



P(X3,Y4)F(3 ,4)
1
2
(

arctan1)(

ar ctan1)
9


2216

⑷.由于
f(x ,y)f
1
(x)f
2
(y)
12
，故
X,Y
相互独立。
222

(x9)(y16)
0.5x0.5 y0.5(xy)

1eee,
若
x,y0

15、设
(X,Y)
的联合分布函数为
F(x,y)

，求
其它


0,
⑴.
(X,Y)
的边缘分布； ⑵.
(X,Y)
的联合密度及边缘密度；
⑶.判断
X,Y
是否相互独立； ⑷.
P(X100,Y100)
。
解: 由题设知:
⑴.
F
1
(x)F(x,)1e
0.5x
,F
2
(y )F(,y)1e
0.5y
,x,y0
；

0 .25e
⑵.
f(x,y)F
xy
0.5(xy)
,f
1
(x)F
1

(x)0.5e
0.5x
,f2
(y)F
2

(y)0.5e
0.5y
,x, y0
；
0.5(xy)
⑶.由于
f(x,y)f
1
(x)f
2
(y)0.25e
，故
X,Y
相互独立；
.

.
100
⑷.
P(X100,Y100 )

1F3.7210
44
。
1
(100)< br>
1F
2
(100)

e
16、设
X ,Y
相互独立，且
X:e(3),Y:e(4)
，求
⑴.
(X,Y)
的联合密度及边缘密度； ⑵.
P(X1,Y1)
；
⑶.
P

(X,Y)D< br>
，其中
D(x,y)3x4y3,x,y0
。
解: 由题设知:
(3x4y)
,f
1
(x)3e
3x
,f
2
(y)4e
4y
,x,y0
；
⑴.
f(x,y)12e

⑵.
P(X1,Y1)(1e)(1e)0. 93281
；
⑶.
P

(X,Y)D

34

D
f(x,y)dxdy12

dx

0
1
3
(1x)
4
0
e
(3x4y )
dy14e
3
0.80085
。
17、设
P(X0,Y0)
解: 由题设知:
34

,P(X0)P(Y0)
，求
P

max(X,Y)0

及P

min(X,Y)0

。
77

p
1
P(X0,Y0)37



p
2
P(X0,Y0)P(X0)P(X0,Y0)17
，故

p
3
P(X0,Y0)P(Y0)P(X0,Y0)17< br>


p
4
P(X0,Y0)1(p
1< br>p
2
p
3
)27

P

max(X,Y)0

p
1
p
2
p
357,P

min(X,Y)0

p
2
p3
p
4
47
。


3x,
若< br>0yx1
18、设
(X,Y)
的联合密度为
f(x,y)
，求
ZXY
的密度函数。


0,
其它
解: 由题设知
ZXY
的分布函数与密度函数分别为:

G
(< br>t
)
P
(
XYt
)

xyt
f
(
x
,
y
)
dxdy
dy


ty

f
(
x
,
y
)
dx
，
g(t)G

(t)



3

1t
2
3(ty)dy(1 t),
若
t(0,1)


0
2
f(ty,y )dy

。

0,
若
t(0,1)

.