人间有真情-给远方小朋友的一封信

精品课程《高等数学》（概率统计部分） 电子教案
第15章 随机变量及其概率分布
【授课对象】理工类专科大一
【授课时数】9学时
【授课方法】讲授与提问、随堂练习相结合
【基本要求】1、了解随机变量的概念；
2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；
3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质；
4、理解分布函数的概念，并知道其性质；
5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；
6、会求简单的随机变量函数的概率分布；
7、了解二维随机变量的概念，知道二维随机变量的边缘（边际）分布、
联合分布函数等概念；
【本章重点】随机变量的概念；连续型（离散型）随机变量的密度函数（分布律）的
概念和性质 以及它们的分布函数的概念和性质；随机变量函数的概率分
布；熟记几种特殊分布的概率分布或密度函数 。
【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的
性质与 相关计算；随机变量的函数的分布的求解。
【授课内容及学时分配】
§15.1
随机变量
在第一章里，我们主要研究了随机事件及其概率，同学们可能会注意到在随机现
象中 ，有很大一部分问题与实数之间存在着某种客观的联系。例如，在产品检验问题
中，我们关心的是抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期正
在工作的车床数；在电话问题中关心的是某一 段时间内的话务量等。对于这类随机现
象，其试验结果显然可以用数值来描述，并且随着试验的结果不同 而取不同的数值。
然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。比如，在投< br>硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过
指定数“1” 代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其
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中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。
一般地，如果
A
为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生

1
联系：
1
A



0
A发生

A不发生
这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，我们都可以建立一个样
本空间和实数空 间的对应关系，使之与数值发生联系。
为了全面的研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性， 我们将随机试验
的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。
引 例
：随机试验E1：从一个装有编号为0，1，2，…，9的球的袋中任意摸一球。
则其样本空 间

={

0
，

1
，…，
< br>9
}，其中

i
“摸到编号为
i
的球”，
i
=0,1,…,9.
定义函数

：

i
i
，即

(

i
)=
i
，
i
=0，1，…，9。
这就是

和整数集{0，1，2，…，9}的一个对应 关系，此时

表示摸到球的号码。
从上例中，我们不难体会到：
①对应关系

的取值是随机的，也就是说，在试验之前，

取什么值不能确定 ，而
是由随机试验的可能结果决定的，但

的所有可能取值是事先可以预言的。
②

是定义在

上而取值在R上的函数。
同时在 上例中，我们可以用集合{

i
：

(

i
)

5}表示“摸到球的号数不大于5”这
一随机事件，因而可以计算其概率。习惯 上我们称定义在样本空间

上的单值实函数

为随机变量。这就有了如下定义 ：
定义
：设随机试验E的样本空间为
{

}
，

=

(

)是定义在

上的单值实函数，若对任意实数
x
，集合{

：

(

)

x}是随机事件，则称

=

(

) 为随机变量。
定义表明随机变量

=

(

)是 样本点

的函数，为方便起见，通常写为

，而集合
{
< br>：

(

)

x}简记为{

< br>x}。
如在上例中，摸到不大于5号球的事件可表示为{


5}， 则其概率为P{


5}=35。
随机变量的引入，使概率论的研究由个别随机事件扩大为随机变量所表征的随机
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现象的研究。 正因为随机变量可以描述各种随机事件，使我们摆脱只是孤立的去研究
一个随机事件，而通过随机变量将 各个事件联系起来，进而去研究其全部。今后，我
们主要研究随机变量和它的分布。
§15.2
随机变量的概率分布
对于随机变量来讲，我们不仅关心它取哪些值，更 关心它以多大的概率取那些值，
即研究随机变量的统计规律性—分布函数。
一、随机变量的分布函数
由前可知，若

是随机变量，则对

x

R，{


x}是随机事件，所以P{
< br>
x}有意
义。当实数a

b}=P {


b}-P{


a}
可见，只要对 一切实数x给出概率P{


x}，则任何事件{a<


b}及它们的可列交、
可列并的概率都可求得。从而P{


x}，x

R完全刻划了随机变量

的统计规律，并
决定了随机变量
的一切概率特征。
1.定义：设

是

上的随机变量，对
x

R，
称
F(x)
= P{


x}为

的分布函数。
2.性质：设
F (x)
是随机变量

的分布函数，则
F(x)
具有如下性质： ①单调非降性：即对
x
1
x
2
R
，
F( x
1
)F(x
2
)

证明：对
x
1< br>x
2
，有
{

x
1
}{
< br>x
2
}
，则
F(x
1
)P{

x
1
}P{

x
2
}F(x
2
)

②规范性：
F()limF(x)0,F()limF(x)1
，
xx
③右连续性：对
x
0
R,
有
limF(x)F(x
0
)

xx
0

（性质②，③的证明可参考其它有关的资料）
注：反之 可证明：对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则它一定是某
随机变量的分布函数。
例
1：判断下列函数是否为分布函数
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x0x0

0

0

F
1
(x)

si nx0x

2
（√）
F
2
(x)

cosx0x

（×）

1

1x

2x


由 定义可见，要计算

取值的概率可以通过其分布函数来实现。为了研究随机变量
的概率分布，我们常选择
F(x)
来代替之。
3.运算：若
abR
，

~F(x)
则有：
P{a b}F(b)F(a)
P{a}
ˆ
limF(x)F(a0)< br>xa
P{a}P{a}P{a}F(a)F(a0)
P{ a}1F(a)

P{a}1F(a0)
P{ab}F(b )F(a0)
P{ab}F(b0)F(a0)
P{ab}F(b 0)F(a)
例
2：已知

的分布函数为
x0

0

x20x1



F(x)

231x2


11122x3

x3

1
求
P{

3},P {

1},P{

12},P{2

4}
。
解：
P{

3}F(3)1
P{

 1}F(1)F(10)231216

P{

1 2}1P{

12}1F(12)11434
P{2
< br>4}P{

4}P{

2}F(40)F(2)1 1112112
例
3：设某随机变量的分布函数为
F(x)ABarctan x
，试确定A，B的值。
F()limF(x)lim(ABarctanx) A

2B0
解：由
x
x
xx
F()limF(x)lim(ABarctanx)A

2B1

得
A12,B1


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例
4：设

的分布函数为

0

F(x )

Ax
2

1

x0
0x1< br> 确定A并求
P{0.3

0.7}

x1
x1
解：由右连续性知
limF(x)1
，而F(1)A1
2
，
A1

即
F(x)x
2
,0x1

则
P{0.3

0.7}F(0.70)F(0.3)0.7
2
0.3
2
0.4

例
5：设某随机变量的分布函数为
0xa


F(x)

ABarcsin(x2)axa
（a>0）

1xa

求A，B。


0 F(a)limF(x)lim(ABarcsin(xa)ABarcsin(1)AB

xaxa
2
解：由


< br>1limF(x)F(a)ABarcsin(xa)AB
xa
2

A1

,B12

二、随机变量的分类


离散型r.v

的取值只有有限 个或可数个



r.v

数为值

连续型r.v.

可以取某一区间的任一
非 离散型r.v.




其它


三、离散型随机变量及其分布律（列）
1.
定义
：设
< br>是

上的随机变量，若

的全部可能取值为有限个或可列无限个（即< br>，则称

为离散型随机变量。

的全部可能取值可一一列举出来）< br>若

的取值为
x
i
,(i1,2,)
，把事件< br>{

x
i
}
的概率记为
P{

 x
i
}p
i
,i1,2,
，则称

x
1
,x
2
,,x
i
,


p,p, ,p,
i

12



为

的分布列。

【注】：由定义可知，若样本空间

是离散的，则定义在
上的任何单值实函数都是离
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散型随机变量。
2.离散型随机变量

的分布列满足下列性质：
(1)非负性：
p
i
0

(2)规范性：

p
i
1

i1

Proof：
p
i
是概率，即
p
i
P{

x
i
}
，故
p
i
0

由 于
x
1
,x
2
,,x
n
,
是

的一切可能取值，故有


{

x
i
}
，注意到对任意的
i1

ij
，有
{

x
i
}{

x
j
}
，
由概率的可列可加性知：
1P{}P{

{

x
i
}}

P{

x
i
}

p
i

i1
i1i1


反之，任 意一个满足以上二性质的数列
{p
i
}
，都可以作为某离散型随机变量的分布
列。
有了

的分布列以后，我们可以通过如下方式求

的分布函数：

3.离散型随机变量的分布函数：
F(x)P{x}
i:xi
x

p{x}
，若这样的
i
不存在，规定F(x)0

i
显然，
F(x)
是一个右连续、单调非降的递 阶函数，它在每个
x
i
处有跳跃，其跃度为
p
i
，当然，由
F(x)
也可以唯一确定
x
i
和
p
i
。因 此

的分布列也完全刻画了离散型随机
变量取值的规律。这样，对于离散型随机变量， 只要知道它的一切可能取值和取这些
值的概率，也就是说知道了它的分布列，也就掌握了这个离散型随机 变量的统计规律。
例
1：袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时 取出3只球，
求取出的最大号

的分布列及其分布函数并画出其图形。
解：先求

的分布列：由题知，

的可能取值为3，4，5，且
3 323
P{3}1C
5
110,P{4}C
3
2C
5
310,P{5}C
4
C
5
610，
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45

3


的分布列为：


110310610


，由
F(x)P{

x
i
}

p
i
得：
x
i
x

x3

0

1103x4

F(x)


254x5


x5
< br>1
注：离散型随机变量的分布列与其分布函数是一一对应的。
常见的离散型分布有：

0xa
1.退化分布（单点分布）：
F(x)

，
P{a}1
，
1xa


0
2.贝努里分布（两点分布）：


q
1

x1x
P{Xx}p(1p)

或
p

x0,1


n

knk
3 .二项分布：
B(k;n,p)P{

k}

k0,1,2 ,n


k


pq

4.泊松（P oisson）分布：
P{

k}
四、连续性随机变量及概率密度函数
1.
定义
：设

是随机变量，
F(x)
是它的分布 函数，若存在一个非负可积函数
p(x)
使
得对任意的
x(,)
，有
F(x)P{

x}

p(t)dt
， 则称

为连续性随机变量，称

x

k
k!e


k0,1,2,(

0)

p(x)
为

的概率密度函数或分布密度函数。
由定义显然可知，
F(x)
连续。
2.
F(x)
的几何意义：
p(x)
在几何上表示一条曲线称为分
布密度曲线，则
F(x)
的几何意义是：以分布曲线
p(x)
为顶，
以X轴为底，从

到x的一块变面积。
3.密度函数具有如下性质：
(1) 非负性：
p(x)0，xR

(2) 规范性：

p(x)dx1



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Proof：由分布函数的性质有：
1limF(x)

p(t)dt

x


注：任意一个满足以上二性质的函数，都可以作为某连续型 随机变量的密度函数。
(3) 若
p(x)
在x处是连续的，则
F'(x)p(x)

注：由该性 质，在连续点x处有
p(x)lim
F(xx)F(x)P{x

xx}
，
lim
x0x0
xx
从这里我们 看到概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似，这就是为什么称
之为概率密度的缘故。
(4)设a
，
b为任意实数，且
ab
，则
p{a
< br>b}

p(x)dx

a
b
(5)若

是连续型随机变量，则
aR,P{

a}0

事实 上，
x0,有0P{

a}P{ax

a}

而
lim
x0
ax
a
ax
p(x)dx


a
p(x)dx0P{

a}0

从此 可知：概率为0的事件不一定是不可能事件，称为几乎不可能事件；同样概率
为1的事件也不一定是必然 事件。这样，对连续性随机变量

有：
P{ab}P{ab}P{ ab}P{ab}

p(x)dx
，
a
b
P{a}P{a}


a
p(x)dx


kx(1x)0x1
例
2：设随机变量

的密度函数为p(x)

其中常数
k0
，试确
0其它

定k的值并求概率
p{

0.3}
和

的分布函数。
解：由
1

p(x)dx

kx(1x)dx k

(xx
2
)dxk6

00
11
k6

P{0.3}


0.3
p(x)dx

6x(1x)dx0.784

0.3
1
由于密度函数为

6x(1x)0x1
p( x)

其它

0

0x0

x


分布函数
F(x)


6t(1t)dt0x 1

0

1x1

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注：连续型随机变量的密度函数与其分布函数之间是一一对应的。

1
< br>常见的连续型分布有：①均匀分布：
U[a,b]
，
p(x)
ba


0
axb
其它

(xa)< br>2
2
2
；
②正态分布：
N(a,

2< br>)
，
p(x)
1
2
ex
；

e
x
③指数分布：
P()
，
p( x)


0
x0
x0
(.0)
。
以后当我们提到一个随机变量
X
的“概率分布”时指的是它的分布函数；或 者，
当
X
是离散型随机变量时指的是它的分布律，当
X
是连续型随机 变量时指的是它的概
率密度。

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§15.3 随机变量的函数及其分布
设

是一随机变量，
yg(x)
是一个 连续的实值函数，按照随机变量的定义，

g(

)
也应是一随机 变量。下面我们通过

的分布来研究随机变量

的分布。
关于该 问题的一般提法：已知

的分布，求

g(

)
的分布。
一、离散型随机变量函数的分布

x
1
,x
2
,
已知

的分布列为


p,p,

12



求

g(

)
的分布列。

由于
< br>是离散型随机变量，则

g(

)
仍是离散型随机变量，所 以分布列为

g(x
1
),g(x
2
),
< br>
p,p,
2

1
率相加。



，若其中有某些
g(x
i
)
相等，则把相等的值分别合并，并相 应地将其概

12

10
2
例
1：设

~


0.20.30.10.4


，试求< br>


1
的分布列。

解：易知

的可能取值为1，2，5，且可知
P{

1}P{

2
11}P{

2
0} P{

0}0.3
P{

2}P{

2< br>1}P{

1}P{

1}0.10.20.3< br>
P{

5}P{

2}0.4
25

1
则

~


0.30.30.4




二、连续型随机变量函数的分布
引例：已知

的密度函数为
p(x)
，求

a

b

(a0)
的密度函数
q(y)

yb

P{< br>
(yb)a}F()a0


a
因为
F< br>
(y)P{

y}P{a

by}


yb

P{

(yb)a}1F
< br>()a0
a

从而，其密度函数
yb1yb1
F'()p()


aaaa
q(y)F

'(y )

yb1yb1

F

'()p()
aaaa


a0

yb1
p()


aa
a0


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精品课程《高等数学》（概率统计部分） 电子教案
一般地有如下定理： < br>Th：设连续型随机变量

的密度函数为
p(x)
，若
yg (x)
是处处可导的函数，则

g(

)
的密度函数为：

p(g
1
(y))[g
1
(y)]'
y


q(y)

0其它

其中

infg(x),

supg(x)
，D为其定义域。
xD
xD
Proof：仅证
g(x)g'(x)0[g
1
(y)]'0



g(

)
在
(

,

)
内取值，
所以，当
y
时，
F

(y)P{

y}0
， < br>当
y

时，
F

(y)P{

y}1

当

y

时，
F
< br>(y)P{

y}P{g(

)y}P{

g
1
(y)}F

(g
1
(y))
< br>
p(g
1
(y))[g
1
(y)]


y

从而有
q(y)F'

(y)
< br>
0其它



e


x
(

0)x0
例
2：设连续型随机变量

~p(x)

，试求

e

的密度函数
q(y)
。
0x0

解：
ye
x
xlny,
dx1< br>
，由
x0ye
x
1
，则由上述定理可知
dyy

1
p(lny)

y
(1
)
(

0)
q(y)

y

0< br>
y1
y1





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精品课程《高等数学》（概率统计部分） 电子教案
§15.4 随机变量的相互独立性
独立性的概念在概率论中是非常重要也是最基本的概念， 它在概率论和数理统
计及其应用中占有很重的地位。
一、随机变量的相互独立性
1 .
定义
：设
(

,

)
是二维随机变量， 若
x,yR
有
P{

x,

y}P{

x}P{

y}
即
F(x,y)F
< br>(x)F

(y)
，
则称

与

相互独立。
2.设（ξ,η）是二维离散型随 机变量，ξ,η相互独立

对于
(

,

)
的任一可
能取值
(x
i
,y
j
)
有
p(

x
i
,

y
i
)p(

x
i
)p(

y
i
)
,即
p
ij
p
i
p
j

例
1
.设 二维随机变量
(

,

)
的联合分布列为
①求
a,b
应满足的条件；
②若

与

相互独立，求
a,b
的值。
解：①根据非负性和规范性可知：
a0,b0且ab
②因为

与
相互独立，则知
p
ij
p
i
p
j< br>
3
1
1

p
22

1

a
12
4
(
4
a)(
8
b)

故


9
11
b
ab24
24


11
24

3.设(ξ,η)是 二维连续型随机变量，则ξ,η相互独立

x,yR
，有
p(x,y) 
p

(x)p

(y)
几乎处处成立。
Proof
: “
F(x,y)

”若
p(x,y)< br>p(x)p

(y)
，则
y


xy

p(u,v)dudv


y

x

p

(u)p

(v)dvdv




x

p

(u) du

p

(v)dv
F

(x)F

(y)
ξ.η相互独立
“

”由独立的定义F(x,y)
F

(x)F

(y)



x

p

(u)du

y
 
p

(v)dv


x

y
p

(u)p

(v)dvdv

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精品课程《高等数学》（概率统计部分） 电子教案
由联合密度函数的定义知：
P

(x)P

(y)
是（ ξ,η）的联合概率密度函数。
即
p(x,y)
P

(x)p

(y)

例
2.设
(,)~F(x,y)A(B arctg)(Carctg)
；
①求常数
A,B,C
；
②

与

是否相互独立；
③求
f(x,y),f

(x),f

(y)
。

解：①由规范性知：
1F(,)A(B

2)(C
2
)A0

y
又
0F(,y) limF(x,y)A(B

2
)(Carctan
3
)

x
x
2
y
3
B

2
x
，同理
0F(x,)limF(x,y)A(Barctan2
)(C

2
)C
2

y从而
A
1

2
，
F(x,y)
1x y
(arctan)(arctan)

2
223

2
②由于
F

(x)F( x,)
1x1y
(arctan),F

(x)F(,y )(arctan)

2223
而
F(x,y)F
(x)F

(y)
，所以

与

相互独立。
③
f

(x)F


(x)
23
,f(y)F(y)


22
(4x)(9y)
6


2(4x
2
)(9y
2
)
因为

与

相互独立，所以
f(x,y)f

(x)f

(y) 
【注】：①.若

1

2

n
两两独立不能得到

1

2
②.随机变量的独立性不具有传递性；

n
相互独立；
③对于
(

,

)
而言，由
(

,

)
的分布可以确定关 于

与

的边缘分布，反之一般
不成立，只有当

与

独立时，由边缘分布能确定联合分布；
④随机变量的独立性是随机事件独立性的 扩充，我们也常利用问题的实际意义
去判断两个随机变量的独立性。
二、随机向量函数的分布
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精品课程《高等数学》（概率统计部分） 电子教案
在前面，我们讨论了一维随机变量的函数

g(

)< br>的概率分布，下面我们讨论二维
随机变量之间的函数分布：
已知
(

,

)
的分布，求




< br>,



,
1.和的分布：
①对离散型随机变量：
已知
(

,

)
的分布列为
{P
ij
}
，求





的分布。
这时

的所有可能取值为
{x
i
y
j
}
i,j=1,2,3…

的分布

P{

Zk
}P{



Z
k
}
P{

x
i
,

Z
k
x
i
}


P{

Z
k
y
j
,

y
j
}

i1


j1
若ξ，η独立，则
P{
Z
k
}

P{

x
i
}P{

Z
k
x
i
}


P{
Z
k
y
j
}P{

y
j< br>}

i
j
即找出

的所有可能取值，并注意将相同的 值进行合并，然后求出相应的概率。

1

思考
：设

~

1


2
1

1< br>
，

~

1

1
2

2
1


1

，且

与
独立，
2

求：（1）
(

,

)
的联合分布列；
（2）





的分布列；
（3）
P{



}?

②对连续型随机变量：
已知
(

,

)
是连续型随机变量，其联合密度函数为
p(x,y)
，求




的密度。
F

(z)P{

z} P{



z}


[

 
zx
xyz

P(x,y)dxdy

 zz

tyx
P(x,y)dy]dx

[

P(x,tx)dt]dx

[

P( x,tx)dx]dt

（若被积函数在积分区域上连续，则可交换积分顺序）


的密度函数为
q(z)F


(z)
P(x,zx)dx

P(zy,y)dy



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精品课程《高等数学》（概率统计部分） 电子教案
若

与

相互独立，则
q(z)

 

P

(x)P

(zx)dx



P

(zy)P

(y)dy
（卷 积公式）
即相互独立的二随机变量和的密度函数是这两个随机变量密度函数的卷积。
以下仅对连续型随机变量考虑：设
(,)~P(x,y)

2．商的分布：




F

(z) P{z}
x
z
y

p(x,y)dxdy
< br>dy


0
zy
p(x,y)dx

dy

p(x,y)dx

0
zy

q (z)F


(z)

[



0
zy
p(x,y)dx]

dy

[
p(x,y)dx)]

dy

p(zy,y)ydy
0
zy
独立情形：
q(z)

 
P

(zy)P

(y)|y|dy

3.最大
max{,}
与最小
min{,}
的分布：
当< br>
与

相互独立时，
F

(z)F
(z)F

(z),F

(z)1[1F

( z)][1F

(z)]


10x1
例
4:已知
~p
1
(x)< br>
其它

0
求

2



的密度函数。

e
y
~p
2
(x)

0
y0
且

与

相互独立 ，
y0

0x1

解：（法一）要使被积函数非零，则应有< br>
y0


2xyz


z0
z
z2x
0

F

(z)P{2



z}

p
1
(x)p
2< br>(y)dxdy


2
(

e
y
dy)dx0z2

00
2xyz

1z2x
y
(edy)dxz2



0

0

从而可得
q
r
(z)F
r
(z)
。

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精品课程《高等数学》（概率统计部分） 电子教案

120x2
（法二）令

'2

~p
1
'(x)


其它

0
易知，


与

相互独立（但

与
 
不一定相互独立），要使
p
1

(x)p
2
( zx)
非零，

zx0
则应满足条件：

，
0x2


则有

z0

0< br>


1
2

1
z
q

(z)

p
1
'(x)p
2
(zx)dx

p
2
(zx)dx


e
xz< br>dx0z2

0
2
0

2


1
2
e
xz
dx
z2


2

0
注：对于二维连续型随机变量
(

,
< br>)
来说，无论是求
(

,

)
落在某一区域 内的概率，还
是求其函数的分布，都是使用公式
P{(

,
)D}

P(x,y)dxdy
。
D

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