2019全国高校名单-热爱生命读后感

第三章 多维随机变量及其分布 习题1
§3.1 二维随机变量的概率分布

一、填空题

13
x
3
y
3
xy
，x0，y0
1. 设（
X,Y
）的分布函数为
F（x，y）
，则


其它

0，
（
X,Y
）的联合概率密度
f(x,y)
= ；
y
x
2设随机变量(
X,Y
)的分布函数为
F（x，y）A(Barctg）(Carctg)
, 则
A
= ,
23
B
= ,
C
= ，(
A0
)；
3. 用
(X,Y)
的联合分布函数
F( x,y)
表示概率
P(aXb,Yc)
=
F(b,c)F(a,c)
；
4.设
(X,Y)
在区域G上服从 均匀分布，G为
yx
及
yx
所围成的区域，
(X,Y)
的概
率密度为
xy

，x0, y0

Ae
5. 设 (
X,Y
) 联合密度为
f（x，y）
，则系数
A
= ；



0, 其它

2
6. 设二维随机变量(
X,Y
)的联合概率密度为
f

x,y



则
P

X Y


；

4xy,0x1,0y1
，
其它

0,

cx
2
y,x
2
y1,
7.设二维随机变量
(X,Y)
的概率密度为
f
x,y



，则c= 。
0,其它.


二、选择题
1．考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用
X
表示抛掷硬币出现正面的次数，
Y
表示抛掷骰子出
现的点数，则< br>(X,Y)
所有可能取的值为 ( )
（
A
）12对； （
B
） 6对； （
C
） 8对； （
D
） 4对.
2．设二维随机向量（X，Y）的概率密度为

1,0x1,0y1,

f(x,y)

0, 其它，

则概率
P(X0.5,Y0.6)
( )
（
A
）0.5； （
B
） 0.3； （
C
） 0.875； （
D
） 0.4.
（bF（
3. 设
F
分别为随机变量
X
1
和X
2
的分布函数, 为使
F(x)aF
是某
（（
1< br>x）
2
x）
1
x）与F
2
x）

一随机变量
X
的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取（ ）
32221313
(A) a，b; (B) a，b; (C) a，b; (D) a，b.

55332222
4. 设随机变量
X
i
的分布律为
X
i

1

1

4
0

1

2
1

1

4
P

i(1， 2)
,满足
P( X
1
X
2
0)1,则P(X
1
X
2
)
(A)
(A) 0; (B) 14; (C) 12; (D) 1.

5. 如下四个二元函数中哪个可以作为连续型随机变量的联合概率密度函数（ ）



cosx,x,0y1,
（A）
f

x,y




22

其它

0
1


cosx,x,0y,
（B）
f
< br>x,y



222


其它
< br>0
（C）
f

x,y



cosx,0x

,0y1,

其它

01

cosx,0x

,0y,

（D）f

x,y



2


其它

0
6. 设随机变量X与Y相互独立，它们的概率分布依次为
X
p
-1
12
1
12


Y
p
-1
12
1
12
则下列各式正确的是（ ）
（A）X=Y； （B）P{X=Y}=0 (C)P{X=Y}=12 (D)P{X=Y}=1.

三、计算下列各题
0x1，0y1

4xy，


1. 已知随机变量
X和Y
的联合密度为
f（x，y）
, 求
X和Y
的联合
0， 其它

分布函数
F(x,y)
。

2. 一个箱子装有1 2只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以
X和Y
分别表示第一次 和第二次取出的次品数，试写出
X和Y
的概率分布律。


2 g(x
2
y
2
)

, 0x,y


3. 给定非负函数
g(x),它满足
g(x)dx1,又设f(x,y)


x
2
y
2
,
0



0, 其它
问
f(x,y)
是否是随机变量
X和Y
的联合概率密度?说明理 由。


k

6xy

, 0x2,2y4
4. 设随机变量 (
X,Y
) 的联合密度为
（
，
fx，y）

0, 其它


求：（1）系数k； （2）
P

X1,Y3

； （3）
P

X1.5

； （4）
P

XY4

。



a(1x
2
y
2
), x
2
y
2
1
5. 设随机变量 (
X,Y
) 的联合密度为
f（x，y）
,




0, 其它
1
求 (1) 系数
a
, (2) 概率
P（X
2
Y
2
）
。
4
6. 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，

以X，Y，Z分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，
（1）求
PX1Z0
； （2）求二维随机变量

X,Y

的概率分布。



§3.2 边缘分布§3.3 条件分布§3.4 随机变量的独立性
一、填空题
1. 设平面区域D由曲线
y

1
.
X，Y）
在D上均匀分布，
及直线y0，x1，xe
2所围成
（
x
则关于
X
的边缘密度在
x2
处值 为 ；
（X，Y）
2. 若的分布律为
（X，Y）
X

Y

1
2
1
16
13
2
19


3

118


,
应满足条件是 .若
X与Y
相互独立则

= ,

= ；
3. 设随机变量X和Y相互独立，且X在区间

0,2

上服 从均匀分布，Y服从参数为1的指
数分布，则
P

XY1

；
4. 设
X
1
,X
2
, ,X
n
独立同分布，都服从
N(

,

2
)
，则（
X
1
,X
2
,,X
n
）的概 率密度函数
为 ；
5.设随机变量
X
与
Y< br>相互独立，
X:B(2,p),Y~B(3,p)
，且
P(X1)59，则

P(Y2)
，
P(XY1)
；
6. 二维离散型随机变量相互独立的充分必要条件是 。

二、选择题
1.设两随机变量
X和Y
独立同分布
P(X1) P(Y1)12,P(X1)

P(Y1)12
, 则下列各式成立的是（ ）
(A)
P(XY)12
; (B)
P(XY)1
; (C)
P(XY0)14
; (D)
P(XY1)14
.
2．设二维随机变量
(X,Y)
的联合分布为
X

Y

0
1

0
14
a

1
b
14
并且已知事件

X0

与

XY1

相互独立，则a,b的值是（）
（A）a=16,b=13; (B) a=38,b=18; （C）a=14,b=14; (D) a=15,b=310.

1

,x
2
y
2
1
3. 设二维随机变量

X,Y

的联合概率密度为
f

x,y



，则X,Y满足
其它

0,
（ ）
（A）独立同分布; （B）独立不同分布；（C）不独立同分布； （D）不独立也不同分布.

三、计算下列各题
1. 设随机变量X在1,2,3 ,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取
一个整数值，求（1）
(X ,Y)
的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。
2. 设二维随机变量
(X,Y)
的概率密度为
f(x,y)
6
, x,

2
(4x
2
)(9y
2
)

y
（1）求关于
X和Y
的边缘概率密度. （2）问
X与Y
是否独立？

2
1

xxy,0x1,0y2,
3. 设二 维随机变量
(X,Y)
的概率密度为
f

x,y




3

0,其它.

求：（1）关于X和关于 Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？（2）
P

XY1

。

kx(xy),0x2,xyx,

（1）4. 设二维随机变量
(X,Y)
的概率密度为
f(x,y)

0,其它

求常数
k
； （2） 求关于
X和Y
的边缘概率密度， （3）问
X与Y
是否独立？
5. 雷达的圆形屏幕的半径为
R
， 设目标出现点
(X,Y)
在屏幕上均匀分布，（1）求
X,Y
的边