中秋节感想-见习期个人总结

第 五 次课 2学时
本次教学重点：
离散型随机变量与分布列，分布函数及其基本性质，常见的几种离散型分布
本次教学难点：
随机变量的分布函数
本次教学内容：
第二章 随机变量及其分布函数
第一节 随机变量的直观意义与定义
一、随机变量概念的引入
为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，
即把随机试验的结果与实数对应起来.
1. 在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 如在“n重贝努里试验中，事件A出
现k次” 这一事件的概率，若记ξ=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，
事件A出现k 次”这一事件可以简记为（ξ=k）,从而有
kknk
P(ξ=k)=
C
n
pq
q=1-p
并且ξ的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，……n
2. 在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.
例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定
若试验结果出现正面, 令η=1, 从而{试验结果出现正面}=（η=1）；
若试验结果出现反面, 令η=0, 从而{试验结果出现反面}=（η=0）。
为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。
一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系

在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量ξ，η，这两个变量取什么值，在每次试验之
前是不确定的， 因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种
量为随机变量。从上面例子可 以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁
得多了。
在上述前两个例子中， 对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例
子中，这种对应关系是人为地建立起来， 由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过

是随机试验的结果（即样本点）和实数 之间的一一对应关系
二、随机变量的定义
定义 设

,F,P

是一概率空间，对于

,

(

)
是一个取实值得函数；若对于任一

:

(

)x
是一随机事件，亦即


:

(

)x

F
，则称

(

)
为随机变量 . 实数
x,


:

(

)x

记为
{

x}
为书写方便，

(

)
简写为

，事件

通常用希腊字母
,,
或大写字母X,Y,Z等表示随机变量
随机变量与高等数学中函数的比较:
(1) 它们都是实值函数, 只不过在函数概念中，f(x)的自变量x为实数，而随机变量的概念
中，随机变 量ξ（ω）的自变量为样本点ω，因为对每个试验结果ω都有函数ξ（ω）与之对应，
所以ξ（ω）的定 义域是样本空间，值域是实数域。但随机变量在试验前只知道它可能取值的
范围,而不能预先肯定它将取 哪个值;
(2) 因试验结果的出现具有一定的概率,故随机变量取每个值和每个确定范围内的值也有
一定的概率. 例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数为随机变量，的可能取值为0，
1，2… …
例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时
间为随机变量,的可能取值为。
例3：考察某一地区全年的温度的变化情况，则某一地区的温度为随机变量，的可能取值
为 。
例4：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用
一个二维坐标（）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。
三．随机变量的分类
从 随机变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则该随机变量
为离散型随机变量， 不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量，若随机变量的取值是连
续的，称为连续型随机变量，它是 非离散型随机变量的特殊情形。
从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量，
（一）一维随机变量及分布列
1．定义

定义2：定义在样本空间< br>
上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量
()
称
为一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量。
讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面 ：一是随机变量的所有可能取值；更主要的
的是搞清楚随机变量取这些可能值的概率。
例5： 设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，则取到的黑球数为随机变量

,

的可能取值为0，1，2。
311
C
3
C
2
C
3
C
3
2
163

P(0)
3,P(1),P(2)
33
10
C
5
10< br>C
5
C
5
10
习惯上，把它们写成


2、分布律
如果离散型随机变

可能取值为
a
i
(i1,2,)
相应的
a
i
取值的概率
P

a
i
< br>p
i
称

0 1 2

为随机变量

的分布列，也称为分布律，简称分布。
也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量

的分布律：




或
例6：在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率p，令

=5次试验中
事件A出现的次数。则
k=0,1,2,3,4,5
于是

的分布列为

3、分布列的性质
0 1 2 3 4 5

由概率的性质可知，任一离散型随机变量
的分布列

p
i

都具有下述性质：
非负性：1）
p
i
0,i1,2,3

规范性：2）

p
i
i
1

反 过来，任意一个具有以上性质的数列

p
i

都可以看成某一个随机 变量的分布列。
分布列不仅明确地给出了
{a
i
}
的概率，而 且对于任意的实数aab
}发生的
概率均可由分布列算出，因为{
ab
}

于是由概率的可列可加性有 P{
ab
}

aa
i
b


a


i
ii

P

a



p
iIiI
, 其中

由此可知，取各种值的概率都 可以由它的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成
是，分布列全面地描述离散型随机变量。 
2

例7：设随机变量

的分布列为：
P

i

c

,i1,2,3
,求常数c的值。

3

解：
由分布列的性质
i
22
2
2
3
37
p1
即
c[()() ()]1,c

i
33338
i
例8：一个口袋中有n只球 ，其中m只白球，无放回地连续地取球，每次取一球，直到取到
黑球时为止，设此时取出了
< br>个白球，求

的分布列。
解：

的可能取值为0，1，2，3……m
P

i



注意：

i

表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球，

4、几种常用分布
1）、 退化分布
设

的分布列为P(

=a)=1 (a为常数)，则称

服从退化分布；
2）、 两点分布
设

的分布列为


1
p
0
q
称

服从两点分布或0—1分布或贝努里分布。
3）.二项分布
a.设随机变量

的分布列为
[]
kknk
P(ξ=k)=
C
n
pq
q=1-p k=0.1.2…n
显然 1） k=0.1.2….n
2)
称随机变量

服从二项分布认为

～b(k;n，p)

大家可以发现二点分布是二项分布在n=1的情形。
b.二项分布的分布形态

若X~B

n，p

，则


n1
pkP

Xk

1

P

Xk1

kq

由此可知，二项分布的分布
kk


q1p

P(Xk)C
n
p(1p)
nk
,k0,1,2n
先 是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少．这个使得
kk
P(Xk)C
n
p(1p)
nk
,k0,1,2n

达到其最大值的k
0
称为该二项分布的最可能次数．

易得：


例9 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中 率均为0.44，试求300次射击最
可能命中几次？其相应的概率是多少？
解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验．令

则由题意


则可能命中次数是132, 概率为：
132

P(X132)C
300
(0.44)
132
(0.56)
168
0.04636
如果

n1

p不是整数，则k
0



n1

p

；
如果

n1

p是整数，则k
0


n1

p或

n1

p 1；
X：300射击中命中目标的次数．
X~B

300，0.44

．
由于

3001

0.44132.44，它 不是整数

4）.几何分布
在贝努里试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，
设试验进行到第

次才出现成功。

的分布列为

P(k)pq
k1
k=1.2…
pq
k1
（ k=1.2…）是几何级数

pq
k1
的一般项。因此称它为几何分布记为

～g(k;p)。
k
几何分布的特性---无记忆性









P{Xm nXm}P{Xn}
P{Xmn}
P{Xm}
p(1p)
m
P{XmnXm}
P{Xm}
km1

(1p )

k1
P{Xmn}(1p)
mn
,P{Xn} (1p)
n
P{XmnXm}(1p)
n
P{Xn}

所谓无记忆性，是指几何分布对过去的m次“失败”信息在后面的计算中被遗忘了
5）.普哇松（Poisson）分布
观察电信局在单位时间内收到的呼唤次数，某 公共汽车站在单位时间内来站乘车的乘客数
等。可用相应的变量

表示，实践表明
的统计规律近似地为
P

k

k=0.1.2…
其中

>0是某个常数，易验证
1）P（
k
）>0 k=0.1.2…
2）==1

k

e
k=0.1.2…（

>0） 也就是说，若

的分布列为
P{ k}
k!
称

服从参数为

的普哇松（Poisson ）分布，记为

～p(k;

)
在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson 分布来描述。从而使得Poisson分布对于
概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明Poisson分布在理论上也具有特殊重要的地位。
下面介绍Poisson分布与二项分布之间的关系
Th2.1（Poisson定理）在n 重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为
p
n
（与试验
总数n有关）。若当
n
时
np
n

（

>0常数）。则有
k=0.1.2…
这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算
kknk
b(k;n,p)=
C
n
p(1p)
，当n和k都比较大时。计算 量比较大，若此时np不太大（即p较

k


k
< br>e
其中
np
，而要计算
e
用的Poisson分小）那么 由Poisson定理就有b(k;n,p)
k!k!
布表可查。

例10.已知某中疾病的发病率为11000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超
过5的概率为多大？
解：设该单位患这种疾病的人数为

.则

～
b(5000,11000)


其中b(k;5000,11000)=

5

计算量较大。这 时如果直接计算
P

由于n很大。P较小。而np=5不很大。可以利用Poisso n
5
k
5
定理
P


5
< br>1P


5

1

e

k0
k!
5
5
k
5
查Poisson分布表得

e
k0
k!
5


5

10.06160.384
于是
P

例11．由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分
布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？
解：设该商店每月销售某种商品

件，月底的进货为a件
则当

a

时就不会脱销。因而按题意要求为

又
查Poisson分布表得

于是这家商 店只要在月底进货某种商品15件（假定上月没有存货）就可以以95%的把握
保证这种商品在下个月不 会脱销。
二、分布函数及其基本性质
我们研究了离散型随机变量，在那里随机变量只取有 限个或可列个值，这当然有很大的

局限性。在许多随机现象中出现的一些变量，如“测量 某地的气温”，“某型号显象管的寿命”“某
省高考体检时每个考生的身高、体重”等，它们的取值是可 以充满某个区间或区域的（也就不
会只取有限个或可列个值），对于这样的随机变量，如何描述它们的统 计规律呢？
我们首先引入分布函数的概念。
（一）、分布函数的概念
1、定义：设

为一随机变量，令
F(x)P(

(

)x),x(,)

称
F(x)
是随机变量

的概率分布函数，简称为分布函数或分布。
分布函数实质上就是事件


x

的概率。
2、分布函数的性质
由概率的性质可知：
1）非负性：
x(,),0F(x)1

F（x
2
）
2）单调性： 若
x
1
x
2
则
F（x
1
）
< br>F（x
2
）F（x
1
）
3）若
x
1x
2
,则P（x
1


x
2
）< br>
P(

x
2
)P(

x
1
)


(

x
2
)(

x
1
)
进一步
P(x
1

< br>x
2
)F(x
2
)F(x
1
)
4）极限性：
x
limF（x）F（）0，limF(x)F() 1
x

证：因为
0F(x)1且F（x）单调
，所以 < br>x
x
limF(x)limF(m)
m
n
limF(x)limF(n)

都存在，又由概率的完全可加性有
< br>


1P(

(

)) P

U(n

(w)n1)

P(n

(

)n1)

n

n
limP(i

(

)i1)limF(n)limF(m )
n
im
m
nm
n

所以必有

n
limF(n)1,limF(m)0
m
即
5）左连续性：
F(x0)F(x)

x
limF(x)1,limF(x)0
x

证： 因为
F(x)
是单调有界函数，其任一点的左极限
F(x0)
必存在，为证 明其左连续性，只
要对某一列单调上升的数列
x
1
x
2
x
n
,x
n
x(n)
证明：
n

limF(x
n
)F(x)
成立即可。这时，有




F(x)F(x
1
)P(x
1


(

)x)P

U(x
n

< br>(

)x
n1
)

P(x
n


(

)x
n1
)

n1
n1


F(x
n1
)F(x
n< br>)

lim

F(x
n1
)F(x
1
)

limF(x
n1
)F(x
1
)
n1
nn


由此可得
F(x).limF(xn1
)F(x0)
n

2）、4）、5）是分布函数的三个基 本性质，反过来还可以证明，任一个满足这三个性质的函数，
一定可以作为某个随机变量的分布函数。因 此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数。
知道了随机变量

的分布函数F(x)
，不仅掌握了


x

的概率，而且还可以 计算下述
概率：
P(

x)1P(

x)1F(x)

P(

x)F(x0)

P(

x)1F(x0)

P(

x)F(x0)F(x)


P( x
1


x
2
)F(x
2
0)F (x
1
)

P(x
1


x
2
)F(x
2
)F(x
1
0)

< br>P(x
1


x
2
)F(x
2
0)F(x
1
0)

由此可以看出，上述这些事件的概率都可以由F(x)
算出来，因此
F(x)
全面地描述了随
机变量

的统计规律。既然分布函数能够全面地描述一般的随机变量的统计规律，因而分布函

数 这个概念比分布列更重要。不过，对离散型随机变量来说，用的较多的还是分布列，那是
因为它比较方便 的缘故。

三、离散型随机变量的分布函数
设

为一个离散型随机变量，它的分布列为


p
i
则

的分布函数为

a
1

a
2

p
1

p
2

a
i
x
a
k
p
k





F(x)P(

(

)x)P(
(

)a
i
)
对离散型随机变量，用得较多的还是 分布列。
例1若

服从退化分布，即有
P(

a)1
，则

的分布函数为

1,xa
F(x)


0,xa

例2若

服从两点分布


p
i
求

的分布函数F（x）。

1 0
P q
P（

x）0
解： 当
x0时，F（x）
P（

x）P（

0）q
当
0x1
时，
F（x）
当
x1
时，
F(x) P(

x)P(

0)P(

1)1

例3 设

的分布列为


p
i
求

的分布函数
F(x)
。

0 1 2
0.3 0.4 0.3
P（

x）0
解： 当
x0时，F（x）

P（

x）P（

0）0.3
当
0 x1
时，
F（x）
P（

x）P（

 0）P（

1）0.30.40.7
当
1x2
时，
F（x）
当
x2,F(x)P(

x)P(< br>
0)P(

1)P(

2)1

于是

0,x0

0.3,0x1

F( x)


0.7,1x2


1,x2

可以看到，
F(x)
是一阶梯状的左连续函数，在
xa
k
(k0,1,2)
处有跳跃，其跃度为

在
a
k
处的概 率。
例4、设

是参数为

的普哇松分布的随机变量，即
P(

k)

k
k!
e


,k0,1,2,

求

的分布函数。
解：
F(x )P(

x)

P(

k)

kxkx

k
k!
e



由此，< br>F(x)
是一阶梯状的左连续函数，在
xk(k0,1,2)
处有跳跃， 其跃度为

在
k
处
的概率。
F(k0)F(k)P (

k)

k
k!
e


, k0,1,2,

例5、等可能的向区间

a,b

上 投掷质点，求质点坐标

的分布函数。
解：设
x
为任一实数，当< br>xa
时，显然有
F(x)P(

x)P(

)0

当
axb
时，由几何概型可知
F(x)P(

x)P(

a)P(a

x)0
当< br>xb时，有F(x)P(

x)P()1

从而
xaxa

baba

xa
< br>0,

xa

F(x)

,axb

ba
xb


1,

例6、设随机变量
的分布函数为
F(x)ABarctanx,
求1）常数
A,B
；2）
P(0

1)
。
x

解：1）由极限性
于是

F()0
F()1
得

AB
AB

2
1
0
从 而解

2

A
B
1
2
1
< br>
F(x)
11
arctanx,x
2


11111
arctan1arctan0
2

2

4

P(0

1)F(1)F(0)
2）例6．设随机变量

的分布函数为
x0

0,
< br>F(x)

Ax
2
,0x1

1,x1
，
求：1）常数A；2）

落在[-1，12]上的概率。
解：1）
F(x)在x1处
左连续
F（10）lim

F(x)lim

Ax
2
AF(1)

1

1
，
故
A1

于是

0,x0

F(x)

x
2
,0x1
< br>1,x1


111
P(1

)F()F(1)
224
2）
由例5，例6可知求分布函数中的待定常数，主要是利用分布函数的极限性及左连续性。

作业布置：P165 T1，5
第 六 次 课 2学时
本次教学重点：
连续型随机变量及其密度函数函数的分布，连续型随机变量常见的几种分布，
本次教学难点：
已知密度函数求随机变量的分布函数
本次教学内容：
第二章 随机变量及其分布
第一节 随机变量的直观意义与定义
（三）、连续型随机变量及其密度函数
1、定义
定义 如果对随机变量
X
的分布函数
F(x)
,存在非负可积函数
f(x)
,使得对于任意 实数
x
有

F(x)P{Xx}

x

f(t)dt.

则称
X
为连续型随机变量, 称
f(x)
为
X
的概率密度函数,简称为概率密度或密度函数.
2、密度函数的性质
由分布函数的性质，可验证任一连续型随机变量的密度函数
f(x)
必具备下列性质：
1).非负性：

2).规范性：
x(,),f(x) 0.



f(x)dx1.
反之，如果一个函数具有上述性 质，那么该函数一定可以作为某连续型随机变量的密度
函数.
密度函数除了具有上述两条特征性质外，还有如下一些重要性质：
3）连续型随机变量的分布 函数
F(x)
在R上连续，且在
f(x)
的连续点处，有
F

(x)f(x)
。
对连续型随机变量，分布函数和密度函数可以相互确定，因此密 度函数也完全刻画了连
续型随机变量的分布规律。
4）设

为连续型随机 变量，则对任意实数
x
，有
P

x

F
x

F

x0

0

这表明连续型随机变量取单点值的概率为0，这与离散型随机变量有本质的区别，顺便指出

P


x

0
并不意味着

< br>x

是不可能事件。
5）对任意
x
1
x
2
，则
P（x
1< br>

x
2
）P（x
1


x
2
）P（x
1


x
2
）P（x< br>1


x
2
）

F（x
2）F（x
1
）

p(x)dx
x
1
x2

这一个结果从几何上来讲，

落在区间
(x
1,x
2
)
中的概率恰好等于在区间
(x
1
,x
2
)
上曲线
yp(x)
形成的曲边梯形的面积。同时也可以发现，整个曲线
yp(x)
与
x
轴所围成的图形
面积为1。
例1设随机变量

的密度函数为
p(x)
c
,x
1x
2

试求1）常数
c
；2)

的分布函数；3）
P(0

1)
。
c1< br>dx1,c
c0,

p(x)dx1


1x
2


解：1）由密度函数的性质可知 即


p(x)
于是密度函数为
xx
1
,x
2

(1x)

2）
F(x)

p(t)dt


1111
x
dtarctantarctanx



(1t
2
)

2

P(0

1)F(1 )F(0)
3）
1

arctan1
1
4

例2：设随机变量

的密度函数为
x0

0,
p(x)



x

.0
ce, x0


试求1）常数
c
；2）分布函数
F(x)< br>；3）
P(

1)
。
解：1）由密度函数的性质
c0




p (x)dx1,


0
1


x
ce


x
dx1,ce



1 c

0

于是



e

x
,x0
p(x)


0,x0< br>
2）当
当
x0,F(x)

P(t)dt 0

x0

x

x
0
x0,F (x)

P(t)dt

0dx


e

t
dt1e


x

x0

0,
F(x)



x
1e,x 0


于是


P(

1 )1p(

1)1F(1)e
3）
例3设连续型随机变量的分布函数为
xa

0,

x a

F(x)

,axb
ba

xb< br>

1,
求它的密度函数
p(x)
。
'
F
解：因为
(x)p(x)

，

1
,axb

p(x)

ba

其它
0,
所以
二、几种常用分布
1、均匀分布
设随机变量

的密度函数为

1
,x

a,b


p(x)

ba

x

a,b


0,

则称

服从区间[a,b]
上的均匀分布，记作

~U
[a,b]
。
向区间
[a,b]
上均匀投点，则随机点的坐标

服从
[a,b]< br>上的均匀分布。在实际问题中，
还有很多均匀分布的例子，例如乘客在公共汽车站的候车时间，近 似计算中的舍入误差等。
设随机变量

~U
[a,b]
，则对任意 满足

c,d



a,b

，则有 < /p>

P(c

d)

d
c
1dc
dx
baba

这表明，

落在
[a,b]
内任一小区间
[c,d]
上取值的概率与该小区间的长度成正比，而与小区
间
[c,d]
的位置无关，这就是均匀分布的概率意义，实际上均匀分布描述了几何概型的随机试
验。
2、指数分布
我们下面以“母鸡下蛋”问题为例来说明许多“等待时间”是服从指数分布的。
在单位时间内母鸡下蛋数可以用普哇松分布来描述，即
P(

(

))k)

k
k!
e


,k0, 1,2,

并且还知道其中的参数

为单位时间内下蛋数的平均值。如果现 在考察的不是单位时间，而是
[0,t]
，那么这个平均值应该与时间
t
成正 比，也就是
t
，又因为普哇松分布具有可加性，所
以在
[0,t]
这段时间内，下蛋数应该服从
(

t)
k


t
P(

t
(

))k)e,k0,1,2,
k!

这是一个参数为
t
的普哇松分布。
设母鸡在任意的[t
0
,t
0
t]
的时间间隔内下蛋个数服从
(< br>
t)
k


t
P(

t
(

))k)e,k0,1,2,
k!

问两次下蛋之间的“等待时间”

服从怎样的分布函数？
解：设前一次下蛋 时刻为0，因为

不可能为负，所以当
t0
时，显然有
P(

t)0

而当
t0
时，因为在等待时间内不下蛋
(

t)(

t
(

)0)
所以有
还因为


P(

t)P(

t
(

)0)e


t

1
(
t)

(

t)
n

n1
由概率的下连续性即得


(t)
11
n
P(

t)P{

(

t)}lim P(

t)lim[1e]1e


t
n
nn
n
n1


1

从而描述

的分布函数为

1 e


t
F(t)P(

t)


0
t0
t0

若随机变量

的密度函数
p(x)
为


e


x
,x0
p(x)

(
< br>.0)

0,x0

则称

服从参数为

的指数分布，记作
~E()
。
指数分布是一种应用广泛的连续型分布 。我们已经看到，许多“等待时间”是服从这个分
布的，一些没有明显“衰老”机理的元器件（如半导体 元件）的寿命也可以用指数分布来描述，
所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域有着广泛的应用。
电话问题中的通话时间可以认为服从指数分布。
例4、假定打一次电话所用的时间

（单位：分）服从参数


1
的指数分布，试求在排队
10
打电话的人中，后一个人等待前一个人的时间（1）超过10分钟；（2）10分钟到20分钟之间的概率。
解：由题设知

~E


1

，故所求概率为
10

1）
P(

1 0)


10
1

10
edxe
 1
0.368
10

20
x
2）
P(10
20)

10
1

10
x
ed xe
1
e
2
0.233
10

1
3、正态分布
若随机变量

的密度函数为

p(x)
1
2

e
_
(x

)
2
2

2
,x,

0
< br>2
2
称

服从参数为
,
的正态分布，记为
~N(,)
。
正态分布是概率论中最重要的一个分布，高斯在研究误差理论时曾用它 来刻划误差，所
以在很多著作中也称为高斯分布。经验表明许多实际问题中的变量，如测量误差、射击时 弹
着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的分子速度、某地区成年男子的身高等都可以认为
服 从正态分布。进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的
影响，那么这个 变量一般是一个正态变量，其理论依据是第五章中的定理5.4.3。
正态分布的密度曲线呈倒钟形，

称为位置参数，

称为形状参数。
由数学分析知识可知

从而

0
e


2
2
d



2

x

t
2
2


1
2


e

(x

)
2
2

2
dxt




1
2

e

dt1

当

0,

1
时，正 态分布
N(0,1)
称为标准正态分布，其密度函数为

(

)
分布函数
1
2

e

x
2
2
,x


(x)

x
1
2


e

t
2
2
dt,x
1
2

()0,

()1,

(0),

(x)1

(x)

对于

(

)
可以查正态分布表。 < br>设

~N(0,1)
即
P(x
1


x
2
)

(x
2
)

(x
1
)
。
一般地设

~N(

,
)
，则
2





~N(0,1)

。
b

)

(
a

)

2

~N(

,

)
， 则从而，若< br>P(a

b)

(


P(< br>
1)P(

2)P(

3)
例5、设

~N(0,1)
求1）；2）；3）
解：
P(

 1)P(1

1)

(1)

(1)2< br>
(1)10.6826
P(

2)P(2
< br>2)

(2)

(2)2

(2)1 0.9545

P(

3)2

(3)10.9973

2

~N(

,

)
，求
P(





),P(



2< br>
),P(



3

)
。 例6、设
解：
P(





)P( 1



1)2

(1)10.6826

P(



2

)P(2 



2)2

(2)10.9545





3)2

(3)10.997 3


这个概率与

无关。可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[





3



,





3



]
区间内
P(



3

) P(3
这在统计学上称作“3

准则”（三倍标准差原则）一般地
P(



k

)P(k

4、

—分布
设随机变量

的密度函数为



k)2

(k)1





1

x
xe,x0

p(x)

(

)
,

0,

0

0,x0

为两个常数，其中
特别的当



(

)

x

1
e
x
dx
0

，

0
， 称

服从参数为
(

,

)
的

—分布。
n1
,
时，随机变量

的密度函数为 22

nx
1

1
x
2
e< br>2
,x0

n

p(

)
< br>2
2
(
n
)
2


x0

0,

称服从自由度为
n
的

—分布，记作< br>
~
(n)
。这是数理统计中的一个重要分布。特别地，
22
当
1
时，
(1,)
就为参数为

的指数分布。
在概率论中引入随机变量和分布函数这两个概念，就好象在随机现象和数学分析之间架
起了一座 桥梁，数学分析这个强有力的工具才有可能进入随机现象的研究领域中来。由此可
以体会到随机变量和分 布函数这两个概念的地位及作用。
作业布置：P166 T4，20
第 七 次课 3学时

本次教学重点：
二维分布函数及其性质
本次教学难点：
求连续型随机变量的边缘分布
本次课教学内容：
第二节 多维随机变量及其分布函数
一、二维分布函数及其性质
定义1 设

,

是定义在同一个概率空

,F,P

上的两个随机变量 ，则称
(

,

)
为二维随机
变量或二维随机向量 .
一般地，我们称n个随机变量的整体




1
,

2
,

n

为n维随机变量或随机向量.
定义2: 设为二维随机变量
(

,

)
，对任意 实数x,y，二元函数

F(x,y)P(

x,

y)
x,y
称为随机变量
(

,

)
的分布函数或称随机变量

和

的联合分布函数
P

(

s)
注：
F

(

x

,

y

)





x

,




y

)
就是随机变量(X,Y)落入区域:
(

t

,

t



x

,

s



y
的概率


y
y
(x,y)
y
2
(x
2
, y
2
)
y
1
x
x
x
1
x
2

由概率的加法，可得随机点(X,Y)落入矩形区域:


x

1



x



x

2

,

y

1



y



y

2


的概率为



联合分布函数的性质:
（1）
0F(x,y)1,
且
对任意固定的
y,
F(,y)0,

对任意固定的
x,F(x,)0,

F(,)0,F(,)1;

P

x
1
xx
2
,y
1
yy
2

F( x
2
,y
2
)F(x
2
,y
1
)F( x
1
,y
2
)F(x
1
,y
1
)
(2)
F(x,y)
关于
x
和
y
均为单调非减函数, 即
对任意固定的
y,
当
x
2
x
1
, F(x
2
,y)F(x
1
,y),

对任意固定的
x,
当
y
2
y
1
,F( x,y
2
)F(x,y
1
);

(3)
F(x,y)
关于
x
和
y
均为左连续, 即
F(x,y)F(x0,y),F(x,y)F(x,y0).

（4）对任 意四个实数
x
1
x
2
,y
1
y
2，有

[]
P

x
1
xx
2< br>,y
1
yy
2

F(x
2
,y
2
)F(x
2
,y
1
)F(x
1
,y
2
)F(x
1
,y
1
)


例1、 设
(

,

)
的联合分布函数为
F(x,y)A (Barctan)(Carctan)

求：1）常数
A,B,C
；2 ）边际分布函数
F

(x),F

(y)
。
解：1）由
x
2
y
3

F(,) 1,F(x,)F(,y)0


A(B)(C)1

22

x


A(arctanB)(C)0

22


y

A(B)(Carctan)0< br>
23

解得
A
2）

1
< br>2
,BC

2
,于是F(x,y)
1

x

y
(arctan)(arctan)

2
22 3

2
x1
arctan

22

1y 1
F

(y)F(,y)arctan

32
F

(x)F(x,)

二维离散型随机变量及其概率分布
1、 定义
定义3 若二维随机变量
(

,

)
只取有限个或可数个值, 则称
(

,

)
为二维离散型随机变量.
结论：
(

,

)
为二维离散型随机变量当且仅当

,

均为离散型随机变量.
定义4设
(

,< br>
)
是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为
(a
i
, b
j
)
，i,j=1,2…
i,j=1，2…, （4.1）
注意 =。
1
称 （4.1）为二维随机变量
(

,

)
的联合分布列。
与一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布用下面表格
形式表示






2. 联合分布


的性质

容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：
1）非负性：
2）规范性：
i,j=1,2…

3)
3．边际分布（边缘分布）

设
(

,

)
为二维离散型随机变量，它们的每一个分量
,
的分布称为
(

,

)
关于
,
的边< br>际分布，记为
若
(

,

)
的联合分布为
与
i,j
。
… ，则
(

,
)
关于

的边沿概率分布（分布律）为



P(Xx
i
)p
i•


p
ij
, i1,2,
j
(

,

)
关于
Y 的边沿概率分布（分布律）为


P(Yy
i
)p< br>•j


p
ij
,
i
j1,2,
由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合
分布（反例 在下面举）。
例2. 设把三个相同的球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中 ，记落入第1号中球的个
数为

，落入第2号盒子中球的个数为

， 求
(

,

)
的联合分布列及
,
的边 际分布列。
解：
,
的可能取值为0.1.2.3（首先确定
(

,

)
的所有可能取值（ i,j））然后利用ch1知识计
算概率
当i+j>3时
。
=

所以（）的联合分布列

0
1
2
3















例3. 把3个白 球和3个红球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号的盒
子中的白球个数为，落入 第2号盒子中的红球的个数为，求（
分布列。
解：（）的可能取值为（i,j=0.1.2.3）显然有
）的联合分布列和边际
, i=0.1.2.3



0 1 2 3

0
1
2
3











比较例1和例2可以发现 两者有完全相同的边际分布列，而联合分布列却不同，由此可知边际
分布列不能唯一确定联合分布列，也 就是说二维随机变量的性质并不能由它的两的分量的个别
性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系， 由此也就说明了研究多维随机变量的作用。
二维连续型随机变量及其密度函数
1、定义
定义1 ：设
(

,

)
为一个二维随机变量，< br>F(x,y)
为其联合分布函数，若存在函数
p(x,y)
，
使对任意 的
(x,y)
，有
F(x,y)

x


y
p(u,v)dudv

则称
(

,

)
为二维连续型随机变量，
F(x,y)
为一个连续型的联合分布函数，< br>p(x,y)
为
F(x,y)
的联合概率密度函数或简称为密度。
2、联合密度函数的性质
由联合分布函数的性质，有
1）非负性：
p(x,y)0
；
2）规范性：

 

p(x,y)dxdy1
；
反过来，具有上述两个性质的二元函数必定可以作为某个二维连续型随机变量的密度函数。
3 ）若
p(x,y)
在点
(x,y)
连续，
F(x,y)
是相 应的分布函数，则有

2
F(x,y)
p(x,y)

xy
4)若
G
是平面上的某一区域，则

P((

,

)G)

p(x,y)dxdy
< br>G
这表明
(

,

)
取值落在平面上任一区 域
G
内的概率，可以通过密度函数
p(x,y)
在
G
上的二 重
积分求得。
3、边缘密度函数
设二维连续型随机变量
(
,

)
的联合密度函数为
p(x,y)
，则

的边际分布函数为
F

(x)F(x,)

x
< br>
p(u,y)dy

du
。
p(u,y)dudy< br>







< br>
x
这表明

也是连续型随机变量，其边际密度函数为
p

(x)

p(x,y)dy



类似地
p

(y)

p(x,y)dx



由此可以看出，边际密度由联合密度唯一确定。
例4 设
(

,

)
的联合密度函数为

ce
(2x2y)
,x0,y0

p(x,y) 

其它

0,
求：1）常数
c
；
2）分布函数
F(x,y)
；
3）边际密度函数
4）
F
(x),F

(y)
及相应的边际密度；
。
< br>x,y

xy1,x0,y0

P((

,

)G),其中G

c0
解：1）由联合密度的性质


解得
c
=4，于是

p(x,y)dxdy1,


0


0
ce
(2x2y)
dxdxy1

4e
(2x2y)< br>,x0,y0

p(x,y)

0,其它

2）
F（x,y)

xy

p(x,y)dxdy

xy
(2u2v)

dudv(1e
2x
)(1e
2y
),x0,y0


0
< br>0
4e




其它

0,

1e
2x
,x0

1e
2y
,y 0
3）
F

(x)F(x,y)


,F

(y)


0,x0

0,y0

2e2x
,x0

2e
2y
,y0

p< br>
(x)

,p

(y)

0,x0 0,y0

4）
P((

,

)G)< br>
p(x,y)dxdy

dy

G
0
11y
0
4e
(2x2y)
dx

2e
 2y
(1e
2(1y)
dy13e
2
4
01
、两种常用分布
1） 均匀分布
设
G
是平面上的一个有界区域，其面积为
A
，令

1

,(x,y)G

p(x,y)
A


0,其它
则
p(x,y)
是一个密度函数，以< br>p(x,y)
为密度函数的二维联合分布称为区域
G
上的均匀分布。
若
(

,

)
服从区域
G
上的均匀分布，则
G
中的任一（有面积）的子区域
D
，有
p((

,

)D)

p(x,y)dxdy

DD
S
1
dxdy
D

AA
其中
S
D
是D的面积。
上式表明二维随机变量落入区 域
D
内的概率与
D
的面积成正比，而与其在
G
中
的位置与形状无关，这正是第一章中提过的在平面区域
G
中等可能投点试验，
由此可知“均匀”分布的含义就是“等可能”的意思。特别的若
G

(x,y)a xb,cyd

,则(

,

)
服从G
上的均匀分布，其联合密度函数为
1

,axb,cyd
p(x,y)

(ba)(dc)


0,其它

相应的边际密度


1

1

,xa,b,y

c,d

< br>
p

(x)

ba
,p

( y)

dc

x

a,b

y

c,d


0,

0,
由此说明，矩形 区域上的均匀分布其边际密度是一维的均匀分布。
2）二维正态分布
设二维随机变量
(

,

)
的联合密度函数为 < br>p(x,y)
1
2

1

2
1

2

e

(x

1
)
2< br>(x

1
)(y

2
)(y

2
)
2

2



22

1

2
2(1

2
)

2


1


1

22
(< br>
,

)~N(

,

,

,

(

,

)
1212
,

)
， 则称服从二维正态分布，记为
其中


1
,

2
,

1
0,

2
0,

1
为参数。
习惯上称
(

,

)
为二维正态变量，由
(

,

)
的 联合分布可以求得边际密度函数分别为
p

(x)
p

(y)
1
2

1
1
2

2
e

(x

1
)
2
2
2
1
,x

e

(y

2
)
2
2
2

2
,y
22
N (

,

,

,

,

)
的两个边际分布都是一维正态分布，
1212
由此说明二维正态分布分别为
2
N(

1
,

1
2
),N(

2
,

2
)
，如果

1


2
，则这两个二维正态分布
22
N(

1
,< br>
2
,

1
2
,

2
,< br>
1
),N(

1
,

2
,

1
2
,

2
,

2
)
是不相同的。
但由上面可以知道它们有完全相同的边际分布，由此例也说明了边际分布不能唯一地确
定它们的联合分布，此外即使两个边际分布都是正态分布的二维随机变量，它们的联合分布
还可 以不是二维正态分布。
例5、设
(

,

)
的联合密度函数为
p(x,y)
1
e
2


x
2
y2
2
(1sinxsiny),x,y
，
求边际密度函数。
解：

1

2

2
p

(x)

p(x,y)dy

ee( 1sinxsiny)dy

2


x
2< br>y
2


同理
1
e

2


x
2

2
e
y
2
2
dy

e
x
2


2

e
y
2

2
sinxsinydy
1
2

e
x
2

2

p

(y)
1
2

e

y
2
2

即
,
都是标准正态分布的随机变量，但
(

,

)
却不是二维正态变量。
作业布置：P15（1），18

第 八 次课 3学时

本次教学重点：
相互独立随机变量的性质，随机变量函数的分布
本次教学难点：
卷积公式，随机变量函数的分布
本次课教学内容：
第三节 相互独立随机变量 < br>定义1、设
(

,

)
的联合分布函数为
F (x,y),

,

的边际分布函数为
F

(x) ,F

(y)
，若对任意
的
(x,y)
有
F( x,y)F

(x)F

(y)
成立，则称随机变量是相互独立 的。
对离散型随机变量：设随机变量

的可能取值为 ,

的可能取值为
有： ，易验证：随机变量

与

相互独立

如果对任意的

两个随机变量

与

相互独立，也就意味

与

的取值之间互不影响，随机变量的独
立性可以推广到多个离散型随机变量的场合。
设 是n个离散型随机变量，
， 如果对任意的一组
的可能取值为 ，
， 恒有
成立

则称是相互独立的。
例1：在n重贝努里试验中，令

则
容易验证有
所以 是相互独立的随机变量。
的可能取值为1或0，对 或 0 （

）
成立，
由随机变量独立性的定义，要证明两个随机变量是相互独立的，则要证明对(
取值，都有 。
) 的所有
若其中有一对值不满足这个条件，则

与

不独立。
对连续型随机变量：如果
(
< br>,

)
是二维连续型随机变量，则
,
都是连续型随机变量 ，它们的
密度函数分别为
p

(x),p

(y)
，这时容易验证：

与

相互独立
p(x,y)p

(x)p

(y)
。
由此可知，要判断连续型随机变量是否独立， 只需要验证
p

(x),p

(y)
是否为
(
,

)
的联
合密度函数。
例2、设
(
,

)
服从
G(x,y)x
2
y
2
1

上的均匀分布。试问它们是否相互独立？若
G
为
矩形区域

a,b



c,d

呢？
解：
(

,

)
的联合密度函数为
< br>1
22

,xy1
p(x,y)



0,x
2
y
2
1


2

1x
2
121x


dx,x

1,1

p

(x)

p(x,y)dy


1x
2



0,x
< br>1,1




2
2

1 y,y

1,1

p

(y)



y

1,1



0,
 p

(x).p

(y)p(x,y)
所以
,
不相互独立。
22
(

,

)~N(

,

,

,

,

)
，则,
相互独立


0
。
1212
例3若
随机变量的独立性还可以推广到多个随机变量的情形。
定义 2、设
n
维随机变量
(

1
,

2


n
)
的联合分布函数为
F(x
1
,x
2
,x
n
)
，
F

1
(x
1
),F

2
(x
2
),F

n
(x
n
)
为它们的边际分布函数，若
x
i
R,i1 ,2,n
，有
F(x
1
,x
2
x
n
)F

1
(x
1
)F

n
(x
n
)

则称是相互独立的随机变量。
若
(

1
,

2
,

n
)
为
n
维连续型随机变量，则

1
,

2


n
相互独立的充要条件为
p(x
1
,x
2
x
n)p

1
(x
1
)p

n
(x< br>n
)
其中
p(x
1
,x
2
x
n< br>)为(

1
,

2


n
)
的联合密度函数，
p

i
(x
i
)为

i
(i1,2,n)
的边际密度函数。
第四节 随机变量的函数及其分布
在概率统计问题中，常需要考虑随机变量函数或其变换。特别在数理统计中更为重要。
例: 由统计物理知道：气体分子运动速度的绝对值

服从马克斯威尔分布，其密度函数为

4x
2

x
2


f
t
(x)


3

e,x0

0,x0
求分子运动动能


2
(

0)

1
m

2
所服从的分布（m表示分子的质量）
2
一、离散型随机变量函数的分布
一维随机变量函数的分布列
设g(x)是定义在随机变量

的一切可能取值a的集合上的函数，这样随机变量
< br>，当

取
值a时，它取值 y=g(a) 称

为随机变量

的函数，记为

=g(

)
设

为离散型随机变量，则

= g(

)也为离散型随机变量。

若

的分布列为 ，现求

=f(

) 的分布列。
1.若随机变量

取不同的值
a
i
时，随机变量函数

=g(

) 也取不同的值
i=1.2.…。则

的分布列为
例1：设

的分布列为

P
i


求

=2

+1 的分布列。
解：

的可能取值为1,3,5,7,9,11, 它们互不相同，
则

的分布列为

0 1 2 3 4 5
。


Pi
1 3 5 7 9 11

2、若

取不同的< br>a
i
时，而函数的取值

中有相等的，则应把那些相等的值分别合并， 并根
据概率的可加性把对应的概率相加，就得到

的分布列。
例2：设

的分布列为

Pi

求

=(

-2）
2
的分布列。
解：

的可能取值为0，1，4，9 它们有相同的。
则

的分布列为





0 1 2 3 4 5


Pi
0 1 4 9

二维离散型随机变量函数的分布列
设
(

,
)
是一个二维离散型变量，f(x,y,)是实变量 x和y的单值函数，这时
是一个离散型随机变量。
设
令
的可能取值为：
(ｉ,j,k=1.2.…)

仍
则有＝
例3：设
,
个独立的随机变量，它们分别服从参数为

1
和

2
的Poisson分布求
的分布列。
解：由

与

的独立性可知

＝
＝
＝
此例说明了Poisson分布对加法具有封闭性。
ｋ＝０.１.２…
类似地可以证明二项分布也是一个可加性分布，即若 ，是两个独立的随机变量，且
，则。
例4：设
,
为独立分布的离散型随机变量，其分布列为：
ｎ＝１.２.…
求
解：
的分布列

＝
二、连续型随机变量函数分布
一个随机变量函数的分布
ｋ＝２.３…
定理2.4.1 设

为连续型随机变量，
p(x)
为其密度函数，又
yf(x)
严格单调，其 反函数
h(y)
具有连续导数，则

f(

)
也 是一个连续型随机变量，且其密度函数为
'


p

h( y)

h(y),

y


其它
< br>(y)


0,

其中

＝min

f(),f()



max

f(),f()

证明：略

~N(

,

2
),证明


例5 设



~N(0,1)

。
f(x )
证：
x


为严格单调函数，且反函数
h(y)< br>
y



(y)p(h(y))h
'
(y)
1
2

.e

y
2
2


1
2

e

y
2
2
~N(0,1)

22
2
N(a

b,a

)
。

~N(

,

)

＝a

 b
一般地，若，则也服从正态分布
定理2.4.1在使用时的确很方便，但它要求的条件“函数
yf(x)
严格单调且反函数连续
可微”很强，在很多场合下往往不能满足。事实上 这个条件可以减弱为“
yf(x)
逐段单调，
反函数连续可微”。这时，密度公式应 作相应的修改。一般地，我们都是先求其分布函数，然
后再求其密度函数。
例6 设

~N(0,1),
试求

＝

的密度函数。
解：当
0　
时，显然有
当
y0时，有

2
F（

y)P(

y)0

F< br>
(y)P(

y)P(

2
y)P( y

y)F

(y)F

(y)

1y
y
2


1

1

22
ye,y0
e
2
,y0



1

p

(y)

2

y< br>

2
2


0,y0

y 0


0,
上述密度函数为

(n)
分布的密度函 数
nn
1

1
22
xe,x0

n

p(x)

2
2
(n)




0,x0
2


变量。
N(0,1)
n1
在时的特例，也就是说变量的平方是自由度为1的
2
两 个随机变量函数的分布
若

f(

,

)而
(

,

)
的联合密度函数为
p(x,y)
，则同上面一样讨论可得到
F

(

)p(
< br>z)
1、 和的分布
f(x,y)z

p(x,y)dxdy

若





而
(

,

)
的联合密度函数为
p(x,y)
，则
F

(z)p(

z)
xyz

p(x,y)dxdy

< br>
dx

zx

p(x,y)dy或

dy


zy

p(x,y)dx

当

与

相互独立时，有
p(x,y)p

(x )p

(y)
，
F

(z)

dx

zx

p

(x)p

(y)dyuxy

dx

p

(x)p

(ux)du


z
z

< br>

p

(x)p

(ux)du
dx







因此

的密度函数为
p

(z)

p

(x)p

(zx)dx



也可写为
p

(z)

p

(zy)p

(y )dy



由上式给出的运算称为卷积，通常记为
p

p

*p

。
例7、设

与

相互独立且都服从
N(0,1)
，证明





~N(0,2)

证：由卷积公式
p

(z)



p

(x)p
(zx)dx

t
2

x
z1
e2
22


1
2


y
2
4
e

x
2
2
1
2

e

(zx)
2
2
dx


1
e
2


z
2
4


e
z
(x)
2
2
dx


< br>
e

t
2
2
dt
1
2

e

y
2
4

故

~N(0,2)

一般说，若

i
( i1,2,,n)
是
n
个相互独立的服从
N(

i,

)
分布的随机变量，则
nn
2
i


i1
n
i
仍然是一个服从正态分布
N(

,

)
的随机变量，并且参数


实有时也称为正态分布具有 可加性。
2


,

i
i1
2



i
2
，这个事
i1
在前面已经证明了普 阿松分布具有可加性，这里也说明了正态分布具有可加性，其实还
有其它一些分布，如
分布也具有可加性，即若

~(

1
,

),

~(

2
,

),则





~(

1


2,

)
（大家自己证明），由此可知，
n1

分布对它 的第一个参数

具有可加性。由于
(,)
为参数为n的

2
分布，因此

2
分布
22
也具有可加性。
如果

1
,

2
,,

n
是
n
个相互独立的随机变量，每一个都服从
N(0,1)
，由例2可知每一
2
22
22
个

i
(i1,2,,n)
都服从< br>
(1)
分布，且

1
,

2
仍然 相互独立，这时由


分布的
,,

n
2
可加性并利用归纳法可知




i1
n
2< br>i
是服从自由度为
n
的


分布，即
n个相互独立的
2
N(0,1)
的平方和是一个参数为
n
的

2

分布，习惯上独立变量的个数称为“自由度”。
2、 商的分布
设
(

,

)
是二维连续型随机变量，密度函数为
p(x,y)
，现在来讨论



的分布。
< br>F

(z)
x
z
y
zy

p(x,y)dxdy

p(x,y)dxdy

p(x,y)d xdy
x
z
y
y0
x
z
y
y0< br>0
zy


(

p(x,y)dx)dy

dy

o(x,y)dx
00
z0
x yu



yp(yu,y)dy

du
y


p(yu,y)dy

du



y

0




于是

密度函数为
p

(z)


0
yp(zy,y)dy

yp(zy,y)dy


2
0

yp(zy,y)dy


例8、设

与

相互独立，分别服从自由度为
n
及
m
的


分布的随机变量，试求


< br>n
m
的密度函数。
解：

n
的密度函数为 nnx
1

n
(nx)
2
e
2
, x0

n

p

(x)

2
2
(
n
)

n
2



0,x0

m
的密度函数为
mmx
1

m
(mx)
2
e
2
,x0

m

p

(x)

2
2
(
m
)

m
2



0,x0

于是



n
的密度函数为
m

p
(z)

xp(zx,x)dx

0
x
nn
2()
2
n
2
(nxz)
nnzx
1
22
e.
m
m
2()
2
m
2
( mx)
m
1
2
e

mx
2
dx

mn
n
1
()
nm
2
z
2
n
2
m
2
mn
mn
()()
(nzm)
2
22
上式的密度函数的分布称为参数为
n,m
的
F
-分布，记作
F(n,m)
。它是数理统计中最常
用的分布之一。
在上例 中，已知

,

相互独立，在计算中用到的却是
互独立很快可以推出

n
,

m
相互独立，当然由

,

相

n
,

m
相互独立。
引理2. 4.1、若随机变量

与

相互独立，又
f(x),g(x)
是两个连续或逐段连续的函数，则
f(

)

与
g(

)
相互独立。
例5、设

~N(0,1),

~

(n),

,

相互独立，求

2


的密度函数。
n
(
解：
p

(z)
n1
)
n1
2
_
y2
(1)
2

n
n
n

()2
这个密度函数称为自由度为
n
的
t
-分布。
作业布置：
P165 T2,3,21,25(1)(6)