难忘的一件事600字-山市教案

.
第四章 大数定律与中心极限定理
4.1特征函数
内容提要
1. 特征函数的定义 设X是一个随机变量,称

(t)E(e
i tX
)
为X的特征函数,
其表达式如下


e
itx
P(Xx
i
), 在离散 场合，

i

(t)E(e
itX
)


t.



e
itx
p
x
(x)dx, 在 连续场合，


由于
e
itx
cos
2
txsin
2
tx1
,所以随机变量X的特征函数

(t)< br>总是存在的.
2. 特征函数的性质
(1)

(t)

(0)1
;
(2)

(t)

(t),
其中

(t)
表示

(t)
的共 轭;
(3) 若Y=aX+b,其中a,b是常数.则

Y
(t)e
ibt

X
(at);

(4) 若X 与Y是相互独立的随机变量,则

XY
(t)

X
(t )

Y
(t);

(5) 若
E(X
l
)
存在,则

X
(t)
可
l
次求导,且对
1kl
,有

(k)
(0)i
k
E(X
k
);

(6) 一致连续性 特征函数

(t)
在
(,)
上一致连续
(7) 非负定性 特征函数

(t)
是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数
t
1
,t
2
,,t
n
和n个复数
z
1
,z
2
,z
n
,有


(t
k
t
j
)z
k
z
j
0;

k1j1
nn
(8) 逆转公式 设F(x)和

(t )
分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的
任意两个点
x
1
x
2
,有
F(x
2
)F(x
2
0)F(x
1
)F(x
1
0)
1

lim
T 
2

22
e
itx
1
e
itx2

T
it

(t)dt;

T
特 别对F(x)的任意两个连续点
x
1
x
2
,有
1
F(x
2
)F(x
1
)lim
T
2

e
itx
1
e
itx
2

T
it

(t)dt;

T
(9) 唯一性定理 随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；
.

.
(10) 若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为

(t).
如果

则



(t)dt
,
p(x)
1
2




e
itx

(t)dt

3. 常用的分布函数特征表
分布
退化分布P(X=a)=1
二项分布
几何分布
正态分布
标准正态分布
均匀分布U(a,b)
均匀分布U(-a,b)
指数分布
伽玛分布Ga(

,

)
特征函数

(t)e
ita


(t)(qpe
it
)
n
,q1p

pe

(t)
1
,q1p

qe
it
it

(t)exp

i

t

2
t


22

(t)e

( t)
t
2
2



t

< br>e
(b

a
e
)it

itbita
sinat
at

1

(t)(1
it
)





(t)(1
it


)

2
分布
泊松分布

(t)(12it)

2
n

(t)e xp


(e
it
1)


习题与解答4.1
1. 设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数.
X
P
0
0.4
1
0.3
2
0.2
3
0.1
解

x
(t)0.4 0.3e
it
0.2e
i2t
0.1e
i3t

2. 设离散变量X服从几何分布
P(Xk)(1p)
k1
p,k1,2,.

试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x).
解 记q=1-p, 则 
(t)E(e)

eq
itxitk
k1

k1
pe
it
,
ppe

(eq)
it
1qe
K1
it

it
.

.

(t)
''
'
ipe
it

1qe

it
2
,
pe
it(1qe
it
)
2
2pe
it
(1qe
it
)qe
it
,

(t)
it4
(1q e)
1p1
E(X)

'
(0)
,
ip< br>(1q)
2
1
''
p(1q)
2
2pq(1 q)1q
E(X)
2

(0)
2
,
i( 1q)
4
p
Var(X)E(X
2
)[E(X)]
2

1q1
2
q
()

22
p
pp

k1

rkr

3．设离散随机变量X服从巴 斯卡分布
P(Xk)

p(1p),


r1


kr,r1,L,
试求X的特征函数.
解 设
X
1
,X
2
,,X
r
是 相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p的几
何分布Ge(p),则由上一题知
X
j
的特征函数为
pe
it

X
j
(t),

it
1qe
其中q=1-p. 又因为
XX
1
X2
X
r
,所以X的特征函数为
pe
it
r
X
(t)


x
j
(t)()
.
it
1qe
j1
r
4．求下列分布函数的特征函数,并由特 征函数求其数学期望和方差.
a
at
a1
(1)
F
1< br>(x)

edt
(a>0); (2)
F
2
(x)

2
dt
(a>0).
2
2



ta
解 (1)因为此分布的密度函数为
p
1
(x)
所以此分布的特征函数为
a
ax
e,

x.

2
xx
aa


1
(t)
e
itx
e
ax
dx
2

2
0
0

e
0
itx
e
ax
dx

ax
(costxisintx)edx

0
aa


(costxisintx)e
ax
d x
2

2
.

.

=
a

costxe
0
ax
a
2
dx
22
.

at
2
2ta
2
2a2
(3t
2
a
2
)
'
''
''又因为

(t)
222
,


1
(0)0,


1
(t)


(0),

,
1
2
223
a
(at)(at)
'
1
112
所以
E(X)

1
'
(0)0,
Var(X)=
E(X
2
)
2

1
''
(0)
2
.

i
ia
(2) 因为此分布的密度函数为
p
2
(x)
所以此分布的特征函数为
1
,

x.

22

xa

a
e
itx
2a


2
(x)

2
dx


xa
2

a

costx
dx,

22

0
xa
又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》 第二卷第三分册或查

积分表)
costx

at
dx e.

22

2a
xa
0
2a
at
ee
at
.


2a
所以当t>0时,有

2
(t)
而当t<0时,有

2
( t)

2
(t)e
at
,
所以

2
(t)
2a

at
at
ee.
< br>
2a
又因为

2
(t)
在t=0处不可导,故此分 布(柯西积分)的数学期望不存在.
e
itx
注：

2
( x)

2
dx
也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如
2< br>

xa
a
下：t>0时,


e
itz

e
itx
a


2
( x)

2
dx2

iRes,zai

z
2
a
2




xa
2< br>

a
e
itz
e
ta
2

ilim2aie
ta

zai
zai

2ai
a

5. 设X~N(

,

2
),
试用特征函数的方法求X的3阶 及4阶中心矩.
解 因为正态分布
N(

,

2
)
的特征函数为

(t)e
i

t

22
t2
,
所以

(0)i

,

E(X)
'

'
(0)
i


,

.

.

(0)



,

E(X)< br>''22
2

''
(0)
i
2


2


2
,



3
3

3
,


(0)i

3i

,

E(X )

(0)

6

3

,
E(X)
由此得X的3阶及4阶中心矩为
''''4224
''' 32
3

'''
(0)
i
i
4
3
4

''''
(0)


4
6

2

2
3

4
.

E(XE( X))
3
E(X
3
)3E(X
2
)

3E(X)

2
0,

E(XE(X))
4
E(X
4
)4E(X
3
)

6E(X
3)

4
4E(X)

3


43

4
.

6. 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p),Y ~ b(m , p),
且 X与Y独立,则X+Y ~ b(n + m, p).
证 记q=1-p, 因为

X
(t)(pe
it
q)
n
,

Y
(t)(pe
it
q)
m
,
所以由 X与Y的独立性得

XY
(t)

X
(t)

Y
(t)(pe
it
q)
nm
,
这正是二项分布b(n + m, p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P).
7. 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X~P(

1
),Y~ P(

2
),且X
与Y独立,则X+Y~P(

1
+

2
).
证：因为

X
(t)e

1
(e
it
1)
,

Y
(t)e
2
(e
it
1)
,
所以由X与Y独立性得
(< br>


2
)e
it
1)

XY
(t)

X
(t)

Y
(t)e,

这正是泊松分布 P(

1
+

2
).的特征函数,由唯一性定理知X+Y~ P(

1
+

2
). .
8. 试用特征函 数的方法证明伽玛分布的可加性：若
X~Ga(a
1
,

),

Y~Ga(a
2
,

)
,且X与Y独立,则
X Y~Ga(a
1
a
2
,

)
.
itit
证 因为

X
(t)(1)
a1
,

Y
(t)(1)
a
2
,所以由X 与Y的独立性得



XY
(t)

X(t)

Y
(t)(1)
(aa)
,
12
it
这正是伽玛分布
Ga(a
1
a
2
,

)
的特征函数,由唯一性定理知
XY~Ga(a
1
a
2
,

)
. < br>9.试用特征函数的方法证明

2
分布的可加性：若
X~
< br>2
(n)
,
Y~

2
(m)
,且
X 与Y独立,则
XY~

2
(nm).

.

.
证 因为

X
(t)(12it)

n
2
,

Y
(t)(12it)

m
2
,所以由X与Y的独立性得

(nm)
2

XY
(t)

X
(t)

Y
(t)(1 2it)
,
这正是

2
分布

2
(n +m)的特征函数,由唯一性定理知
XY~

2
(nm).

10. 设
X
i
独立同分布,且
X
i
~Exp(< br>
),i1,2,,n
.试用特征函数的方法证明:
Y
n


X
i
~Ga(n,

)
.
i1
n
it
证 因为

X
i
(t)( 1)
1
,所以由诸
X
i
的相互独立性得
Y
n< br>的特征函数为


Y
(t)(1)
n
, < br>
n
it
这正是伽玛分布
Ga(n,

)
的 特征函数,由唯一性定理知
Y
n
~Ga(n,

)
.
11. 设连续随机变量X服从柯西分布,其密度函数如下：
p(x)
1


2
(x

)
2


, x
,
其中参数

0,


,常记为
X~Ch(

,

)
,
(1) 试证 X的特征函数为
exp

i

t

t

,且利用此结果证明柯西分布的可加
性；
(2) 当

0,
1
时,记Y=X,试证

XY
(t)

X
(t)

Y
(t)
,但是X与不独立；
(3) 若< br>X
1
,X
2
,,X
n
相互独立,且服从同一柯西分 布,试证：
1
(X
1
X
2
X
n
)

n
与X
i
同分布.
证 (1) 因为
YX

的密度函数为
p(x)

,x
,由本
22


y
1

节第4题(2)知Y 的特征函数为

Y
(t)exp



|t|

.由 此得
XY

的特征函数

X
(t)
Y

(t)exp

i

t


Y
(t)exp

i

t

t

.
下证柯西分布的可加性: 设
X
i
(i1,2)
服从参数为

i
,

i
的柯西分布,其密度
函数为 :
p
i
(x)
1


2
(x< br>
i
)
2
121


,x,i 1,2
.若
X
1
与
X
2
相互独立,则

XX
(t)

X
(t)

X
(t) exp

i


1


2
< br>t(

1


2
)t

,
2
.

.
这正是参数为

1
< br>
2
,

1


2
柯西分布的特征 函数.所以由唯一性定理知,
X
1
X
2
服从参数为
< br>1


2
,

1


2< br>的柯西分布.
(2) 当

0,

1
时有

X
(t)exp

t

,

Y
(t)exp

t

,所以


XY
(t)

2X
(t)

X< br>(2t)


exp

2t

exp

t

exp

t



X
(t)

Y
(t)
.
由于Y=X,当然X与Y不独立.
此题说明,由
< br>XY
(t)

X
(t)

Y
(t)不能推得X与Y独立.
(3) 设
X
i
都服从参数为
,

的柯西分布,则特征函数为

(t)exp

i

t

t

.
1
n
1
n
n
由相互独立性得,

X
i
的特征函数为


(tn)

exp

i

t< br>
t

,即

X
i
与
n
i1
n
i1
X
1
具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有 相同的分布.
12.设连续随机变量X的密度函数为p(x),试证：p(x)关于原点对称的充要条
件是它的特征函数是实的偶函数.
证：记X的特征函数为

X
(t )
.先证充分性,若

X
(t)
是实的偶函数,则

X
(t)

X
(t)
或

X
(t )

X
(t)
,这表明X与-X有相同的特征函数,从而X与-X
有相同的密度函数,而-X的密度函数为p(-x),所以得p(x)=p(-x),即p(x)关于原点是< br>对称的.
再证必要性.若p(x)=p(-x),则X与-X有相同的密度函数,所以X与- X有相同的
特征函数.由于-X的特征函数为

X
(t)
,所以
X
(t)

X
(t)
=

X< br>(t)
,故

X
(t)
是实
的偶函数.
1
n
13.设
X
1
,X
2
,,X
n
独立同分布,且都服从N(

,

)分布,试求
X
< br>X
i
的
n
i1
2
___
________
分布.
解：因为X
j
的特征函数为

j
(t) e
征函数为

X
(t)(

i
(tn))
n
e
i

t

___
22
i

t

2
t
2
2
,所以由诸X
i互相独立得
X
的特
___
t(2n)
这是正态分布N(

,

2
n
)的特征函数,所
1
n
以由唯 一性定理知
X

X
i
~N(

,
2
n
)
n
i1

.