全国三本院校-中国医科大学分数线

第三章 二维随机变量及分布
第三节 历年真题
数学一：
1（87，6分） 设随机变量
X，Y
相互独立，其概率密度函数分别为

1,0x1

f
X
(x)

0 ,其他


e
y
,
f
Y
(y)


0,
y0

y0
求随机变量Z=2X+Y的概率密度函数。
2（91，6分） 设二维随机变量（
X，Y
）的概率密度为

2e
(x2y)< br>f(x,y)


0,
求随机变量Z=X+2Y的分布函数。
3（92，6分）
x0,y0

其他
设随机变量
X< br>与
Y
相互独立，X服从正态分布
N(

,

)
，Y服从[-π，
2
π]上均匀分布，试求
Z=X+Y
的概率分布 密度（计算结果用标准正态分布函数Φ表示，其中
(x)

2

0
1
2
1
x

e

t
2
2
(dt)
。
设相互独立的两个数随机变量
X
与
Y具有同一分布律，且
X
的分布律4（94，3分）
X
为
1
则随机变量
Z
=max{
X，Y
}的分布律为 。
p
1
2
设
X
和
Y
为两个随机变量，且 5（95，3分）

P{X0,Y0}
34
,P{X0}P{Y0}

77
。 则
P{max(X,Y)0}

6（98，3分） 设平面区域
D
由曲线
y
1
及直线y0,x1,xe
2
所围成
，二维随
x
机变量（
X，Y
）在区域
D< br>上服从均匀分布，则（
X，Y
）关于
X
的边缘概率密度在
x< br>=2处的值
为 。
7（99，3分） 设两个相互独立的随机变量
X和
Y
分别服从正态分布
N
（0，1）和
N
（1，1）， 则
（A）
P{XY0}
1

2
（B）
P{XY1}
1

2

（C）
P{XY0}
1

2
（D）
P{XY1}
1

2
8（99，8分） 设随机变量 X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合
分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部 分数值，试将其余数值填入表中的空白处。
Y

X
y
1


y
2

y
3




P{Xx
i
}p
•j



1
x
1

1

8


x
2

p{Yy
j
}p
•j

9（02，3分）
1

8
1

6
设
X
1
和 X
2
是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度
分别为
f1
(x)和f
2
(x)
，分布函数分别为
F
1
(x)和F
2
(x)
，则




< br>（A）
f
1
(x)f
2
(x)
必为某一随机变量的 概率密度；
（B）
f
1
(x)•f
2
(x)
必为 某一随机变量的概率密度；
（C）
F
1
(x)F
2
(x )
必为某一随机变量的分布函数；
（D）
F
1
(x)•F
2
(x)
必为某一随机变量的分布函数。
10（03，4分） 设二维随机变量（
X，Y
）的概率密度为
[ ]

6x,0xy1

f(x,y)

其他

0
则
P{XY1}
=

。
11（05，4分） 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个
数，记为Y，则P{Y=2}= .
12（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为




Y
X 0 1

0 0.4 a

1 b 0.1

已知随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则
（A）a=0.2, b=0.3 （B） a=0.4, b=0.1
（D）a=0.3, b=0.2 （D）a=0.1, b=0.4 [ ]
13（05，9分） 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

1,0x1,0y2x,

f(x,y)

0,其他

求：（I）（X，Y）的边缘 概率密度
f
X
(x),f
Y
(y);

（II）Z=2X
－
Y的概率密度
f
Z
(z).

14（06，4分）设随机变量
X
与
Y
相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则
P

max{X,Y}1

= .

1

2
,1x0


115（06，9分）随机变量x的概率密度为
f
x

x



,0x2令yx
2
,F

x,y
< br>为

4

0,其他


二维随机变量(X, Y)的分布函数.
(Ⅰ)求Y的概率密度
f
Y

y


(Ⅱ)
F




1

,4


2

数学三：
1（90，3分） 设随机变量
X
和
Y
相互独立，其概率分布为
m
P{Xm}
1
1
2
1

m
P{Ym}
1
1
2
1

1
2
1
2

则下列式子正确的是：


（A）
XY








（B）
P{XY}0

（D）
P{XY}1
（C）
P{XY}
2（90，5分）
1

2
一电子仪器由两个部件构成，以
X
和
Y< br>分别表示两个部件的寿命（单

位：千小时），已知X和Y的联合分布函数为： < br>
1e
0.5x
e
0.5y
e
0.5(x y)
F(x,y)

0,

若x,y0

其他
（1） 问
X
和
Y
是否独立？
（2） 求两个部件的寿命都超过100小时的概率。
3（92，4分） 设二维随机变量（
X，Y
）的概率密度为

e
y
,0xy

f(x,y)

其他

0,
（1） 求X的概率密度
f
X
(x);

求
P{XY1}
。
4（94，8分） 设随机变量
X
1
,X
2
,X
3
,X
4
相互独立且同分布， P(X
i
0)0.6,P(X
i
1)0.4(i1,2,3, 4)
。
求行列式
X
1
X
X
3
的概率分布。
5（95，8分）
X
2

X
4
已知随机变量（
X，Y
）的联合概率密度为

4xy,
f(x,y)


0,
若0x1,0y1
其他
求（X，Y）的联合分布函数。
6（97，3分） 设两个随机变量< br>X
与
Y
相互独立且同分布，
P
（
X
=-1— ）=
P
（
Y
=-1）
11
，
P
（
X
=1）=
P
（
Y
=1）=，则下列各式成立的是
22
1
（A）
P(XY)
（B）
P(XY)1

2
11
（C）
P(XY0)
（D）
P(XY1)

44
=
7（98，3分）
[ ]
设
F
1(x)与F
2
(x)
分别为随机变量
X
1
与
X
2
的分布函数。为使
F(x)a
1
F
1
(x) bF
2
(x)
是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取


32
,b

55
13
（C）
a,b

22
（A）
a








22
,b

33
13
（D）
a,b

22
（B）
a

8（99，3分）

< br>1
设随机变量
X
i
~



1< br>

4
0
1
2

1

< br>(i1,2),


1

4


且满足
P{X
1
X
2
0}1,则P{X
1
X
2
}等于

（A）0 （B）
1

4

X

和
（C）
Y
1

2
（D）1 [ ]
9（01，8分） 设随机变量的联合分布是正方形
G{(x,y:1x3,2y3}
上的均匀分布。试求随机变量
U|XY|的 概率密度p(u)
。
10（03，13分） 设随机变量
X
与
Y
独立，其中
X
的概率分布为

1

X~


0.3


2




0.7


而Y的概 率密度为
f
(
y
)，求随机变量
U=X+Y
的概率密度g
(
u
)。
11（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记 为X，再从1，…，X中任取一个数，
记为Y，则P{Y=2}= .
12（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y
X 0
0
1
1


a
0.1
0.4
b

若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则a =_____________, b =_____________.
13（05，13分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为

1,0x1,0y2x,

f(x,y)

0,其他.



求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度
f
X
(x),f
Y
(y);

（II）Z=2X-Y的概率密度
f
Z
(z);

（III）
P

Y



11

X

.

22

14（06，4分） 设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间
< br>0,3

上的均匀分布,则

P

max

X,Y

1

_________


数学四：
1（90，6分） 甲、乙两人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为0.2，乙 的命中
率为0.5，以
X
和
Y
分别表示甲和乙的命中次数，试求（< br>X，Y
）的联合概率分布。
22
2（93，3分） 设随机变量X与Y均服从 正态分布，
X
～
N
（μ，4），
Y
～
N
（ μ，5），
记
p
1
=
P
{
X
≤μ-4}，
p
2
=
P
{
Y
≥μ+5}，则
（A） 对任何实数μ，都有
p
1
=
p
2。

（B） 对任何实数μ，都有
p
1
=＜
p
2。

（C） 只对μ的个别值，才有
p
1
=
p
2。

对任何实数μ都有
p
1
=＞
p
2。

3（96，7分） 设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工
作时间 都服从参数为λ>0的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个
电路不能正常工作。 试求电路正常工作的时间T的概率分布。
4（97，3分） 设随机变量服从参数为（2，
p
）的二项分布，随机变量
Y
服从参数为
（3，
p
）的二项分 布，若
P
{
X
≥0}=
5（98，3分）
5
，则
P
{
Y
≥1}=
9
。 设
F
1
(x)与F
2
(x)
分别为随机变量
X
1
与
X
2
的分布函数。为使
F
(
x
)=
aF
1
(
x
)-
bF
2
(
x
)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
32
,b

55
13
（C）
a,b

22
（A）
a




22
,b

33
13
（D）
a,b

22
（B）
a
6（99，9分） 设二维随机变量（
X，Y
）在矩形G={(< br>X,Y
)}0≤
x
≤2,0≤
y
≤1上服从
均匀分布 ，试求边长为
X
和
Y
的矩形面积
S
的概率密度
f< br>(
s
)。
7（99，8分） 已知随机变量
X
1
和
X
2
的概率分布


10
X
1
~



11
< br>42


1

0

,X~
< br>
2

1

1

4

2

1




1


2

而且
P
{
X
1
X
2
=0}=1。
（1） 求
X
1
和
X
2
的联合分布：
（2） 问
X
1
和
X
2
是否独立？为什么？
8（02，3分） 设
X
1
和
X
2
是任意两个相互 独立的连续型随机变量，它们的概率密度
分别为
f
1
(x)和f
2< br>(x)
，分布函数分别为
F
1
(x)和F
2
(x)< br>。则
（A）
f
1
(x)f
2
(x)
必为 某一随机变量的概率密度。

（B）
F
1
(x)F
2
(x)
必为某一随机变量的分布函数。
（C）
F
1
(x )F
2
(x)
必为某一随机变量的分布函数。
（D）
f
1
(x)f
2
(x)
必为某一随机变量的概率密度。
9（04，13分） 设随机变量
X
在区间
(0,1)
上服从 均匀分布，在
Xx(0x1)
的
条件下，随机变量
Y
在区间< br>(0,x)
上服从均匀分布，求
(Ⅰ) 随机变量
X
和
Y
的联合概率密度；
(Ⅱ)
Y
的概率密度；
(Ⅲ) 概率
P{XY1}
．
10（05，4分） 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个
数，记为Y，则P{Y=2}= .
11（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

Y
X 0
0
1


若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则
A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.1, b=0.4
C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.4, b=0.1
12（05，13分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为
1


a
0.1
0.4
b


1,0x1,0y2x,

f(x,y)


0,其他.


求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度
f
X
(x),f
Y
(y);

（II）Z=2X-Y的概率密度
f
Z
(z);

（III）
P

Y



11

X

.

22

13（06，4分） 设随机变量
X
与
Y
相互独立，且均服从区间
[1,3]
上的均匀分布，则
P{max(x,y)1}

14（06，13分） 设二维随机变量（
X,Y
）的概率分布为

Y
X
-1
0
1

-1 0
0
b

0.1
1
0.2
0.2
c

a

0.1
0
其中
a,b,c
为常数，且
x
的数学 期望
EX0.2
，
P{x0,y0}0.5
，记
ZX Y

求：（1）
a,b,c
的值
（2）
Z
的概率分布
（3）
P{XZ}