matlab连续型随机变量的分布
教师的职责-中南大学研究生招生
连续型随机变量的分布及其数字特征
一、基本概念
设随机变
量
X
的分布函数为
F
(
x
)，若存在非负函数
f<
br> (
x
)，使对任意实数
x
，有
F(x)P{X
≤
x}
x
f(x)dx
则称
X
为连续型随机变量，并称
f
(
x
)为
X
的概率密度，它满足以下性质：
①
f
(
x
)≥0，-∞＜
x
＜+∞; ②
=
f(x)dx
; ④
P{
x
=
a
}=0．
a
b
f(x)dx1
; ③ P{
a<
x
≤
b
}=
F
(
b
)-
F
(
a
)
二、常见的三种连续型随机变量的概率分布
常用的三种连续型随机变量的概率分布是均匀分布、指数分布和正态分布．
（1） 均匀分布
若连续型随机变量
X
的概率密度为
1
,axb;
f(x)
b
a
其它
0,
MATLAB 提供的有关均匀分布的函数如下：
unifpdf(
X
,
A
,
B
)
均匀分布的密度函数
unifcdf(
X
,
A
,
B
)
均匀分布的累积分布函数
unifinv(
P
,
A
,
B
)
均匀分布的逆累积分布函数
unirnd(
A
,
B
,
m
,
n
)
均匀分布的随机数发生器
unifstat(
A
,
B
) 均匀分布的数学期望与方差
其中
X
为随机变量，
P
为概率值，
A
，
B
为均匀分布参数，
m
和
n
为生成随机数矩阵的行
数和列数．
（2） 指数分布
如果随机变量
X
的概率密度为
exp(
x),
f(x)
0
,
x0;
x0
其中
为常数，则称
X
服从参数为
的指数分布，记作
X
～e (
)．
MATLAB 提供的有关指数分布的函数如下：
exppdf(
X
,
L
) 指数分布的密度函数
expcdf(
X
,
L
) 指数分布的累积分布函数
expinv(
P
,
L
) 指数分布的逆累积分布函数 <
br>exprnd(
X
,
L
,
m
,
n
)
产生服从指数分布的随机数
expstat(
L
)
求指数分布的数学期望与方差
其中
X
为随机变量，
L
为参数
，
P
为显著概率，
m
和
n
为随机数矩阵的行数
和列数．
绘制指数分布密度函数和累积分布函数图形的程序如下
x=-0.1:0.001:0.4;
y=exppdf(x,0.05);z=expcdf(x,0.05);
subplot(1,2,1);plot(x,y,'k');
axis([-0.1,0.4,-0.1,21]);
subplot(1,2,2);plot(x,z,'k');
axis([-0.1,0.4,-0.1,1.1]);
20
15
10
5
0
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.5
0
-0.1
1
0
0.1
0.2
0.3
指数分布的密度函数及累积分布函数图
（3）
标准正态分布
如果随机变量
X
的概率密度为：
f(x)
(x
)
2
exp
2
2
2
1
,x
,
2
其中
和
均为常数
，且
>0，则称
X
服从参数为
和
的正态分布，记作
X
～
N(
,
)．当
=0，
=1时，称
X
服从标准正态分布，记作
X
～N(0,1)．
MATLAB提供的有关正态分布的函数如下：
normpdf(
X
,
M
,
C
)
正态分布的密度函数
normcdf(
X
,
M
,
C
)
正态分布的累积分布函数
norminv(
P
,
M
,
C
)
正态分布的逆累积分布函数
normrnd(
M
,
C
,
m
,
n
)
产生服从正态分布的随机数
normstat(
M
,
C
)
求正态分布的数学期望和方差
其中
X
为随机变量，
M
为正态分布参
数
，
C
为参数
，
P
为显著概率，m
和
n
为随机矩阵
的行数和列数．
绘制标准正态分布的密度函
数及累积分布函数图和一般正态分布的密度函数及累积分布函
数图的程序如下：
2
0.4
0.2
0
-4
-2
0
2
4
1
0.5
0
-4
1
0.5
0
0
5
10
15
0
5
10
15
-2
0
2
4
0.6
0.4
0.2
0
x=-4:0.01:4;
y=normpdf(x,0,1);z=normcdf(x,0,1);
subplot(2,2,1);plot(x,y,'k');
axis([-4,4,-0.1,0.5]);
subplot(2,2,2);plot(x,z,'k');
axis([-4,4,-0.1,1.1]);
x=-4:0.01:16;
y1=normpdf(x,6,1);z1=normcdf(x,6,1);
y2=normpdf(x,6,4);z2=normcdf(x,6,4);
y3=normpdf(x,6,0.6);z3=normcdf(x,6,0.6);
s
ubplot(2,2,3);plot(x,y1,'k',x,y2,'k',x,y3,'k');
axis([-4,16,-0.1,0.8]);
subplot(2,2,4);plo
t(x,z1,'k',x,z2,'k',x,z3,'k');
axis([-4,16,-0.1,1.1]);
三、求解方法
（1）通用函数介绍.
Pdf 计算已选函数的概率密度函数,调用格式为:
Y=Pdf(name, X,A)
Y=Pdf(name, X,A,B)
Y=Pdf(name, X, A,B,C)
Name为上表中取stat后的字符，如beta、 bino 、chiz、exp等。
（2）利用专用函数.
Betapdf(X1，A1，B)
Binopaf(X,N,P)
四、例题
绘制卡方分布密度函数在n分别等于1，5，15 时的值
>> x=0:0.2:30
y1=chi2pdf(x,1)
plot(x,y1,'+')
hold on
y2=chi2pdf(x,5)
plot(x,y2,'+')
y2=chi2pdf(x,15)
plot(x,y2,'o')
axis([0,30,0,0.2])
Columns 1 through 13
0 0.2000
0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000
1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 2.2000
2.4000
Columns 14 through 26
2.6000 2.8000 3.0000 3.2000 3.4000
3.6000 3.8000
4.0000 4.2000 4.4000
4.6000 4.8000 5.0000
Columns 27
through 39
5.2000 5.4000 5.6000
5.8000 6.0000 6.2000 6.4000
6.6000
6.8000 7.0000 7.2000 7.4000 7.6000
Columns 40 through 52
7.8000 8.0000 8.2000 8.4000 8.6000
8.8000 9.0000
9.2000 9.4000 9.6000
9.8000 10.0000 10.2000
Columns 53
through 65
10.4000 10.6000 10.8000
11.0000 11.2000 11.4000 11.6000
11.8000 12.0000 12.2000 12.4000
12.6000 12.8000
Columns 66 through 78
13.0000 13.2000 13.4000 13.6000
13.8000 14.0000 14.2000
14.4000
14.6000 14.8000 15.0000 15.2000 15.4000
Columns 79 through 91
15.6000 15.8000 16.0000 16.2000
17.0000
17.2000 17.4000 17.6000 17.8000 18.0000
Columns 92 through 104
18.2000 18.4000 18.6000 18.8000
19.6000
19.8000 20.0000 20.2000 20.4000 20.6000
Columns 105 through 117
20.8000 21.0000 21.2000 21.4000
22.2000
22.4000 22.6000 22.8000 23.0000 23.2000
Columns 118 through 130
23.4000 23.6000 23.8000 24.0000
24.8000
25.0000 25.2000 25.4000 25.6000 25.8000
Columns 131 through 143
26.0000 26.2000 26.4000 26.6000
27.4000
27.6000 27.8000 28.0000 28.2000 28.4000
Columns 144 through 151
28.6000 28.8000 29.0000 29.2000
30.0000
y1 =
Columns 1 through 13
Inf 0.8072 0.5164 0.3815
0.1674 0.1417 0.1209 0.1038 0.0895
0.0776
16.4000
19.0000
21.6000
24.2000
26.8000
29.4000
0.2990
16.6000
19.2000
21.8000
24.4000
27.0000
29.6000
0.2420
16.8000
19.4000
22.0000
24.6000
27.2000
29.8000
0.1999
Columns 14 through 26
0.0674 0.0588 0.0514 0.0450 0.0395
0.0348 0.0306
0.0270 0.0238 0.0211
0.0186 0.0165 0.0146
Columns 27
through 39
0.0130 0.0115 0.0103
0.0091 0.0081 0.0072 0.0064
0.0057
0.0051 0.0046 0.0041 0.0036 0.0032
Columns 40 through 52
0.0029 0.0026 0.0023
0.0013 0.0012
0.0011 0.0009 0.0009 0.0008
Columns 53 through 65
0.0007
0.0006 0.0005
0.0003 0.0003 0.0003
0.0002 0.0002 0.0002
Columns 66
through 78
0.0002 0.0001 0.0001
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
0.0000
Columns 79 through 91
0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Columns 92 through 104
0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000
Columns 105
through 117
0.0000 0.0000
0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
Columns 118 through
130
0.0000 0.0000 0.0000
0.0021
0.0005
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0018
0.0017
0.0004 0.0004
0.0001
0.0001
0.0000 0.0000
0.0000
0.0000
0.0000 0.0000
0.0000
0.0000
0.0015
0.0004
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Columns 131 through 143
0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
Columns 144 through
151
0.0000 0.0000 0.0000
0.0000
y2 =
Columns 1
through 13
0 0.0108 0.0275
0.1094 0.1209 0.1306 0.1384 0.1444
0.1489
Columns 14 through 26
0.1519 0.1536 0.1542
0.1440 0.1402
0.1360 0.1315 0.1269 0.1220
Columns 27 through 39
0.1171
0.1121 0.1072
0.0832 0.0787 0.0744
0.0702 0.0662 0.0623
Columns 40
through 52
0.0586 0.0551 0.0517
0.0373 0.0349 0.0326 0.0304 0.0283
0.0264
Columns 53 through 65
0.0246 0.0229 0.0213
0.0148 0.0137
0.0127 0.0118 0.0109 0.0101
Columns 66 through 78
0.0094
0.0087 0.0080
0.0054 0.0050 0.0046
0.0043 0.0039 0.0036
0.0000
0.0458
0.1537
0.1022
0.0485
0.0198
0.0074
0.0000 0.0000
0.0638
0.0807
0.1523 0.1501
0.0973 0.0925
0.0455 0.0426
0.0184 0.0171
0.0069 0.0064
0.0000
0.0959
0.1473
0.0878
0.0399
0.0159
0.0059
Columns 79 through 91
0.0034
0.0031 0.0029 0.0026 0.0024 0.0022
0.0021
0.0019 0.0017 0.0016 0.0015
0.0014 0.0013
Columns 92 through 104
0.0012 0.0011 0.0010 0.0009
0.0008 0.0008 0.0007
0.0006 0.0006
0.0005 0.0005 0.0005 0.0004
Columns 105 through 117
0.0004
0.0004 0.0003
0.0002 0.0002 0.0002
0.0002 0.0001 0.0001
Columns 118
through 130
0.0001 0.0001
0.0001
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001
0.0000 0.0000
Columns 131 through
143
0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000
Columns 144 through 151
0.0000 0.0000 0.0000
0.0000
y2 =
Columns 1 through 13
0 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0002
0.0003
Columns 14 through 26
0.0004 0.0006 0.0008
0.0033 0.0041
0.0050 0.0060 0.0072 0.0085
0.0003
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.0011
0.0003 0.0002
0.0001 0.0001
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0000 0.0000
0.0015 0.0020
0.0002
0.0001
0.0000
0.0000
0.0000
0.0026
Columns 27 through 39
0.0099 0.0114 0.0131 0.0149
0.0168 0.0188 0.0209
0.0231 0.0254
0.0277 0.0302 0.0326 0.0351
Columns 40 through 52
0.0376
0.0401 0.0426 0.0451 0.0475 0.0499
0.0523
0.0546 0.0568 0.0589 0.0610
0.0629 0.0647
Columns 53 through 65
0.0665 0.0681 0.0695
0.0750 0.0757 0.0763 0.0767 0.0770
0.0772
Columns 66 through 78
0.0772 0.0772 0.0770
0.0746 0.0738
0.0730 0.0720 0.0710 0.0700
Columns 79 through 91
0.0689
0.0677 0.0665
0.0598 0.0584 0.0569
0.0555 0.0540 0.0526
Columns 92
through 104
0.0511 0.0497
0.0482
0.0411 0.0397 0.0384 0.0370
0.0357 0.0344
Columns 105 through
117
0.0332 0.0320 0.0307
0.0252 0.0241 0.0231 0.0222 0.0212
0.0203
Columns 118 through 130
0.0194 0.0186 0.0178
0.0141
0.0134 0.0128 0.0122 0.0116 0.0110
Columns 131 through 143
0.0105 0.0100 0.0095
0.0073 0.0070
0.0066 0.0063 0.0059 0.0056
0.0709
0.0767
0.0652
0.0468
0.0296
0.0170
0.0090
0.0721 0.0732
0.0763 0.0758
0.0639 0.0625
0.0453 0.0439
0.0284 0.0273
0.0162 0.0155
0.0086 0.0081
0.0742
0.0753
0.0612
0.0425
0.0262
0.0148
0.0077
Columns 144
through 151
0.0053 0.0050
0.0048 0.0045 0.0043 0.0040 0.0038
0.0036