理综-简报格式范文

1,已知随机变量X的分布律如下表所示，
Y(X1)
2
求E（Y）
及D（Y）。
X
P
-1
13
0
16
1
14
2
14
解：E（Y）= D（Y）=
2，已知随机变量X与Y的联合分布律如下表所示，
（X，Y） （0，0） （0，1
P
求
Zsin
0.10

(XY)
4
（1，0） （1，1） （2，0） （2，1）
0.20 0.30 0.10 0.15 0.15
的数学期望。（0.7536） 3，随机变量X~N（1，2），Y~N（2，3），且X与Y独立，令Z=X+2Y+1
则E（Z ）= 及D（Z）= 。
4，列表述错误的是（ ）
A，E（X+Y）=E（X）+E（Y）
B，E（X）=0，则D（X）=0
C，若X与Y不相关则D（X+Y）=D（X）+D（Y）
D，若X与Y不相关则D（X-Y）=D（X）+D（Y）
5，随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D为x=0,y=0
及直线 x+y2=1所围成的区域，求XY的数学期望E（XY）和方差
D（XY）。
6，设（X，Y）在区域G={（x,y）|x≥0,x+y≤1, x-≤1}上均匀分布，
证明X与Y不独立，也不相关。

7设一次 试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=-------
时，成功次数的标准差值最大 ，其最大值为--------
答案是，5。
分析：若X满足二项分布，则D(X)=np(1-p),
1
dD(X)
=n(1-p)-np=n(1-2p)＝0，p=
2
dp
1
2
，
d
2
1
D(X)p2n0

2
2
dp
故p=
是方差最大值点，方差最大值为np（1p）p
从而标准查最大值为< br>255.


1
2
111
10025，

222
8设随 机变量X服从参数为

的泊松
分布，且已知
E

(X1) (X2)

1,则



答案是：1
分析：
E（X）

，E（X
2
)


2


E

(X1)(X2)

EX
2
3X2

2


3

21,


解得

1

9，随机变量X和Y独立分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量
U与V必然（ ）
（A）不独立 （B）独立
（C）相关系数不为零； （D）相关系数为零。
答案是：D

10，随机变量X的概率密 度函数f（x）=
1
22x1

e
x

解： 由Xf（x）
1
e
x
22x1

1
< br>1
2
x1

2


1
e（
2
1
）
2
2

可知X~N（1，
1
2
），即E(X)1，D(X)12
11,设随机变量X
1
，X
2
，X
3
且X
1
~U(0,6)X
2
~N(0,2< br>2
),
X
3
~P(3),若YX
1
2X
2
3X
3
，则D(Y)（）

答案是46

1 2,随机变量X~N（2，

2
），且P（2X4）0.3则P（X0）（ ），
解：由X~N（2,

2
),可知
X2

~ N（0，1）因而P（〈2X〈4）P（0
X22



）< br>（
2

）（0）（
2

）0.50 .3，（
2

）0.8P（X〈0）
P（
（X2）

2

）（
2

）1（2

）10.80.2
13设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E（ X+e
2x
)()

解：
4
3


e
x
由X~f（x），可知X~f(x)=

x0

0x0
可知
E（X+e
2x
)EXEe
2x
1



1
0
e
2x
e
x
dx1e
3x


3
0
1
1
3
(01)
4
3


3x
2
0x2

14,设X~f(x)

8
且Y与X同分布，A（X
）

0其它

3
与B（Y

）独立，又P （AB），
4
1
求（1）

的值，（2）
2
的 期望值
X
解

且A（X

）与B（Y
< br>）独立，可知当

0时p（A）P（X

）
1
3
2
02
3
2
f(x)dx0dxxdx 0dxx
0
1





0
8

2
8
p(B)P(Y

)

 
2

：（1）由X~

3x
2
0x2


f(x)
< br>8
且Y与X同分布，

0其它

f(y)dy1即p（A B）P（A）P（B）P（A）P（B）
3
相矛盾,因而

0即p( A)P(X

)
4
2
3

1
3< br>2
1
23
xdxodxx(8

)


8

2

88

1
p(B)p( Y

)

f(x)dy(8

3
)即p( AB)P(A)P(B)P(A)P(B)

8
11113
(8

3
)(8

3
)(8

3)(8

3
)
88884
即(8

3
)
2
16(8

3
)480即


3
4,


3
4(不合题意,舍去)
1
2
1313
2
3
(2)E
2

< br>2
f(x)dx

2
x
2
dxx
0

x
0
x
884
X
11111 与p（AB）
15,设X是随机变量且E(X)

,D(X)
2
,(

,

0)
则对于任意常数C有（）成立

2
A：E（Xc）EX
2
c
2
，
22
b：E（Xc）E（X

）
22
C ：E（Xc）E（X

）
22
D：E（Xc）E（X

）
解：选D
2
由EX

，DX

2< br>得EX
2
DX（EX）

2


2< br>2
E（Xc）E（X
2
2cXc
2
）
EX
2
2cXc
2




2c

c


2
(

c)
2
E(X

)
2
E(X
2
2X

< br>
2
)
EX
2
2EX


< br>2




2



2


2
2
显然E（Xc）E（X

）22
2
222
1。


10，16,设某一商店经 销某种商品的每周需求量X服从区间30

上的均匀分布，而进货量
为区间

10，30

中的某一整数，商店每售一单位商店可获利500元，若供大于求,则削
价处理，每处理一单位商店亏损100元，若供不应求，则从外部调挤供应，此时每
售一单位商 品获利300元。求此商品经销这种商品的每周进货量最少为多少，可使
获利的期望不少于9280元。
解：设一商店经销某种商品的每周进货量为

，且10

30< br>当10X

时，L500X100（

X）600X1 00

当

X30时，L500

300（X< br>
）300X200

。
10X


600X100

，，
即L（X）


300X2 00

，

〈x30

1

且X~f（ x）

20


0
10x30
其它


30
11
EL（X）

Lf（x）dx

（600x100

）dx

（300x200

）dx
10

2020
15
2

3 0
（15x
2
5

x）（x10

x）< br>10

2
5250350

7.5

2
令EL（X）9280，即5250350

7.5

2< br>9280
2
即20

26，取

21
3
答：此商店经商这种商品，每周进货最少为21个单位，可期望获得利不少于9280元。
思考题一：有n个编号小球，和n 个编号的箱子，现在随机投放，
要求每个箱子恰有一球。设X表示投 放中球号和箱子编号相同的
数目，求E（X）及D（X）
思考题二：设两个随机变量X，Y相 互独立，且都服从均值为0，
方差为12的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差。
思考题 三：长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设
乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻 随机地到达车站，求乘客
的平均候车时间.