新加坡电子签证-督导岗位职责

目录
中文摘要........................... .................................................. .............................................. 1 < br>英文摘要........................................... .................................................. .............................. 1
一、引言......... .................................................. .................................................. .............. 2
二、随机变量及其分布................... .................................................. .............................. 2
（一）随机变量及其分布.. .................................................. ........................................... 2
1．随机变量的概念......................................... .................................................. ....... 2
2．分布函数的定义........................... .................................................. ..................... 2
3．分布函数的性质............. .................................................. ................................... 3
（二）离散型随机 变量................................................ .................................................. . 3
1．离散型随机变量及其分布的定义.......................... ............................................ 3
2．分布列的基本性质....................................... .................................................. ..... 3
3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法................. ................................. 5
（三）非离散型随机变 量................................................. .............................................. 6 < br>1．连续型随机变量及密度函数的定义.............................. .................................... 6
2．密度函数的 性质................................................ .................................................. 7
3．连续型随机变量分布函数的特征............................ .......................................... 8
4 。非离散非连续的随机变量...................................... ............................................ 8
三、既不离散也不连续的随机变量及其判别.............................. ................................. 9
（一）随机变量的判别 .................................................. ................................................. 9
（二）既不离散也不连续的随机变量的判别......................... ...................................... 9
（三）考研 中常见的非离散非连续的随机变量示例................................. ................ 11
四、结束语..................... .................................................. .............................................. 13
参考文献.......................................... .................................................. ............................. 13

既不离散也不连续的随机变量
彭惠敏
摘要< br>：通过对随机变量进行分类，借助离散型、连续型随机变量的分布函数、性
质、数字特征及其必要 条件的讨论，给出了判别既不离散也不连续的随机变量的方法，
即用离散型和连续型随机变量分布函数必 要条件的逆否命题加以判别，文中给出了大
量例证，并给出了近几年考研中遇到的此类题目，使初学者对 随机变量的分类有更为
深刻的理解。
关键词：
离散型随机变量；连续型随机变量；既不离散也不连续的随机变量；
分布函数
Neither Discrete Nor Continuous Random Variable
Peng Hui-min
Abstract: Through the study of the classification of random variables and the
discussion of the distribution function, the nature, the digital characteristics, as well as the
necessary conditions of both discrete and continuous random variable, this paper
demonstrates the means of discriminating the neither discrete nor continuous random
variable, that is, by virtue of the converse-negative proposition of the necessary conditions
of the two variables’ distribution function. A large number of examples and examination
questions of this kind appeared in the recent few years of postgraduate entrance exams are
given so as to render an in-depth understanding of the classification of the random variables
to the beginners.
Key words: discrete random variable; continuous random variable; neither discrete nor
continuous random variable; distribution function


1

一、引言
除了离散型随机变量和连续型随机变量之外 ，还有既不离散也不连续的随机变量，
有的教科书上称“由于这种情况比较复杂，一般不对这种情况加以 讨论”，所以很多教
科书上根本不提及既不离散也不连续的随机变量，以至于初学者认为只有离散型和连
续型两类随机变量，造成很大的误解。应该说，随机变量分为离散型和非离散型随机
变量，在非 离散型随机变量中有一类重要的随机变量是连续型随机变量，除此之外还
有既不离散也不连续的随机变量 。在我们所研究的随机变量中，主要有两类，这就是
离散型随机变量和连续型随机变量。
二、随机变量及其分布
（一）随机变量及其分布
1．随机变量的概念
设
E
是随机试验，它的样本空间是
{

},
如果对于每一 个


都有一个实数和
它相对应，这样就得到一个

上的 实值函数
X(

)
，称
X(

)
为随机变 量
[1]
。
随机变量按其取值情况可分为两类:离散型随机变量和非离散型随机量
[2]
。 如果随机变量
X
的所有可能取值为有限个或可列个，则称
X
为离散型随机 变量。
非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，其中
的一种 对于实际应用最重要、最广泛的称为连续型随机变量。
X
是一个随机变量，如
果存在
(,)
上的非负可积函数
f(x)
，使
X
的分布函 数
F(x)

连续型随机变量，
f(x)
是
X
的概率密度函数。
既不离散也不连续的随机变量，一 般教科书都不详细介绍。这种随机变量不常用，
概率分布不易表达，用分布列只能表示其离散的部分，用 密度函数只能表示其连续的
部分，只有通过其分布函数
F(x)P

Xx

才能将分布表达清楚，而分布函数是初学
者的难点。
2．分布函数的定义
设
X(

)
为随机变量，对任意实数
x
，称
F(x)P(X(

)x)

x

则称X
为
f(t)dt
，
为随机变量
X(

)的分布函数。
2

3．分布函数的性质
任意分布函数
F(x)
都有如下三条基本性质：
（1） 单调性
F

x

是定义在整个实轴上的单调非递减函数，即对任
（, ）
意的
x
1
x
2
，有
F(x
1)F(x
2
)
.
（2） 有界性 对任意的
x
，有
0F(x)1
，且
F()limF(x)0
,
x
F()limF(x)1
.
x
（3） 右连续性
F

x

是
x
的右连续函数，即对任 意的
x
0
，有
xx
limF(x)F(x
0
)

0

即
F(x
0
0)F(x
0
)

这三条基本性质成为判别某个函数是否成为分布函数的充要条件。
（二）离散型随机变量
1．离散型随机变量及其分布的定义
假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量。
设
X
是一个离散随机变量，如果
X
的所有可能取值是
x
1
,x
2
,,x
n
,,
则称
X
取
x
i
的概率
p
i
p

x
i

p

Xx
i

,i1,2,,n

为
X< br>的概率分布列或简称分布列，记为
X
分布列也可用如下列表方式来表示：
X

P


p
i

.
„
„
x
1

p(x
1
)
< br>
x
1


p(x
1
)
x
2

p(x
2
)

x
2
p(x
2
)
x
n

p(x
n
)





„
„
或记成
x
n
p(x
n
)
2．分布列的基本性质
i
（1）非负性
p(x
i
)0,1,2,

3

3

（2）正则性

p(x
i1

i
)1
.
以上两条基本性质是分布列必须具有的性质，也是判别某个数列是否能成为分布
列的充要条件。
由离散型随机变量
X
的分布列很容易写出
X
的分布函数
F(x)

p(x
i
)

x
i
它的图形是有限级（或无穷极）的阶梯函数。
F

x

是一个跳跃函数，它在
x
i
处有跳跃度
p(x
i
)
.可见
F

x

可以唯一决定
x
i
和
p(x
i
).

例1、设随机变量
X
的分布列为
X

P

1

0.25

2

0.5

3

0.25

试求
X
的概率分布列及
P (X0.5)
，
P(1.5X2.5）
，并写出
X
的分布函数。
解：
P(X0.5)P

X 1

0.25
，
P(1.5X2.5)P

X 2

0.5
.
x1，

0,

0.25,1x2,


F(x)


0.250.50.75,2x3,

0.250.50.251,x3.
F

x

的图形如图所示，它是一条阶梯型的曲线，在
X
可能取值-1，2，3处有右
连续的 跳跃点，其跳跃度分别为
X
在其可能取值点的概率：0.25，0.5，0.25.








y

-1 0 1 2 3
x


特别，常量
c
可看作仅取一个值的随机变量
X
，即
P(X 1)c
.这个分布常称为单


0,xc,
F(x)



1,xc.




4

点分布或退化分布，它的分布函数是

F(x)

1



0 c
x


单点分布函数图
以上例子可以得出这样一个结论：离散型随机变量的分 布函数
F

x

总是阶梯函数。
结论1 若随机变量
为离散型，那么其分布函数
F

x

为阶梯函数。
证明

为离散型随机变量

）



的分布列为



x
i


i
，
i1,2,3,
（不妨这里设
x
1
x
2
x
i
x
i1

下证（1）当
xx
1
时，
F

x

0
；
（2）当
x
i
xx
i1
，
i1,2,3,
时，
F

x

c
i
（常数），且
0 c
i
c
i1
1
.
事实上，（1）当
xx
1
时，
F

x


x
k
x
1




x< br>




0
;
k
（2）当
x
i
xx
i1
，
i1,2,3,
i
时，
F

x






x
k






x
k

.
x
k
xk1
这是

取
i
（有限）个值对应概率相加
时，
F

x

c
i

i1


其和一定存在，记为
c
i
，即
当
x
i
xx
i1
,

i1,2,3,
i
显然，
0c
i





x
k





x
k

c
i1
1.
k1k1
综上可知，

的分布函数
F

x

为阶梯函数。
3．用分布函数判别离散型随机变量的一种方法

我们还可以借助分布函数来给出离散型随机变量的判别条件。
结论2 设随机变量< br>
的分布函数为
F

x

.若
F

x

是阶梯型函数，则

为离散
型随机变量。
5

证明
F

x

是

的分布函数
F

x

是阶梯函数

F

x

一定是右连续


F

x

是有有限个或可列个间断点的分段函数不妨间断点按由小 到大
的顺序排列起来的顺序为
x
1
x
2

0,

c,

1


c,
则
F

x



2


c
i
,



xx
1
x
1xx
2
x
2
xx
3
x
i
x x
i1
x
i
x
i1


其中，
c
i
，
i1,2,3,
为常数，
0c
i
1

为

的分布列。 下证



x
i

F

x
i
0
F

x
i

，
i1,2,3,
（1）< br>F

x

是单调不减的函数




x
i

F

x
i
0

F

x
i

c
i
ci1
0

（2）
F

x
i
0< br>
F

x
i1







x
i




F

x
i
0

F

x
i



i1i1

lim

< br>
F

x
i
0

F

x



limF

x
n1

1
n
i1
n
n

综合（1）、（2）可知：




x
i

F

x

i
0
，
i1,2,3,
F

i
x
是

的分布列。
（三）非离散型随机变量 由于非离散型随机变量的情况比较复杂，它的所有可能取值不能一一列举出来，
但它总的情况可以分 为连续型随机变量和既不离散也不连续的随机变量。
1．连续型随机变量及密度函数的定义
假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间
(a,b)
，则称其为连续随机变
量。
Fx)
，如果存在实轴上的一个非负可积函数定义 设随机变量
X
的分布函数为
(
p(x)
，使得对任意实数
x
有
[1]
6

F(x)

p(t)dt


x
则称
p(x)
为
X
的概率密度函数，简称密度函数，或称密度。
2．密度函数的性质
（1）非负性
p(x)0

（2）正则性



（含有
p(x)
的可积性）。
p(x )dx1
以上两条性质是密度函数必须具备的基本性质，也是确定或判别某个函数是否成
为密 度函数的充要条件。
例：向区间
(0,a)
上任意投点，用
X
表示 点的坐标。设这个点落在
(0,a)
中任意一
个小区间的概率与这个小区间的长度成正 比，而与小区间的位置无关。求
X
得分布函
数和密度函数。
解：记
X
的分布函数为
F(x)
，则
当
x0< br>时，因为

Xx

是不可能事件，所以
F(x)P(X x)0
；
当
xa
时，因为

Xx

是必然事件，所以
F(x)P(Xx)1
；
当
0xa
时，有
F(x)P(Xx)P(0Xx)kx
，其中
k
为比例系 数。因为
1F(a)ka
，所以得
k
1
.
a
于是
X
的分布函数为
x0,

0,

x

F(x)

,0xa,


a
xa.


1,
下面求
X
的密度函数
p(x)
.
当
x0
或
xa
时，
p(x)F '(x)0
;
当
0xa
时，
p(x)F'(x)
1
，
a
而在
x0
和
xa
处，
p(x)
可取任意值， 一般就近取值为宜，这不会影响概率的
计算，因为它们是几乎处处相等的密度函数。于是
X的密度函数为

1

,0xa,

p(x)< br>
a

其他.

0,
这个分布就是区间
(0 ,a)
上的均匀分布，记为
U(0,a)
，其密度函数
p(x)
和分 布函数
的图形如下。

7

y y

11

aa

0
a

x
0
a

x


(a)

p(x)
的图形
(b)

F(x)
的图形
(0,a)
上的均匀分布
3．连续型随机变量分布函数的特征
结论3 设

为连续型随 机变量，
F(x)
是其分布函数，则
F(x)
是连续函数。
证明 ∵
(Fx)
是连续型随机变量的分布函数

由定义，存在非负可积函数
p(x)
，对
x

 ,

有
F

x





t

dt


x
又由变动积分上限函数的性质可知，
(Fx)
连续
故
(Fx)
是
R
上的连续函数。
4.非离散非连续的随机变量
除了离散型和连续型分布之外，还有既非离散又非连续的分布，见下例。

例：以下函数确是一个分布，它的图形如图所示。
x0,

0,

1x

F(x)

,0x1,
2

x1.


1,
y

1






0.5

0 1
x

既非离散又非连续的分布函数示例

8