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第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量及其分布函数
1. 随机变量
定义在样本空间

上，取值于实 数的函数，即对于每一个



，有唯一的实
数X（
）与之对应，则称X（

）为随机变量，简记为X。一般用大写英文字母X,Y,,Z等表示随机变量。

2. 分布函数
设X为随机变量，则称定义在全体实数上的函数 F(x)=P(X≤x),-≦的分布函数。显然任何随机变量都有分布函数。

3. 分布函数的性质
(1)0≤F(x) ≤1;
(2)单调不减，即对于任何实数x
1
< x
2
，有F(x
1
)≤F(x
2
)；
(3)右连续，即对任何实数x，有F(x+0)=F(x)；
(4)F(-≦)=0，F(+≦)=1.

4. 用分布函数表示相关事件的概率
设X的分布函数为F(x)，则有:
(1)P(X≤b)=F(b), P(X(2)P(a(3)P(a≤X(4)P(X=b)=F(b)-F(b-0).

二、 离散型随机变量
1. 定义
若随机变量X的所有可能值只有有限个或无穷个，则称X为离散型随机变量。
2. 分布律
设X的所有可能取值为x
1
，x
2
，…… x
n
，……则称
P(X=x
i
)=p
i
，i=1,2，…….
为X的分布律，或用下列表示X的分布律：
X
P
x
1

p
1

x
2

p
2

…
…
x
n

p
n

…
…
显然，分布律满足
（1）p
i
≥0,i=1,2,…; （2）

p
i
=1;
x
i
x
7

3. 分布函数
设X的分布律为： P(X=x
i
)= p
i
,i=1,2,…,
则X的分布函数为： F（x）=P(X≤x) =

p
(X=x
i
) ，-≦x
i
x
此时也称F(x)为离散型分布函数。
若已知X的分布函数F(x)，则易求得X的分布律：
P(X=x
i
)=F (x
i
)-F(x
i
-0),i=1,2,…
注意：离散型分布函数的间断点x
i
就是对应随机变量的取值点。

三、 连续型随机变量
1. 定义
若随机变量X的分布函数F(x)可表示成非负可积函数f(x)的下列积分形式：
F（x）=

x

f(t)dt
, -≦则称X为连续型随机变量，F(x)为连续型分布函数，f（x）为X的概率密度函数。

2. 概率密度函数的性质
（1）f(x)≥0; （2）


3. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)，密度为f(x)，则
（1）F(x)为连续函数。
（2）对于f(x)的连续点x，有F′(x)=f(x).
(3)对于任何实数c，有P(X=c)=0.
(4)P(a
f(x)dx
.
a
b


f(x)dx
=1.
满足上面两条性质的函数也一定是概率密度函数。

四、 常见的重要分布
1. 0-1分布B(1,p),其分布律为
X
P

0
1-p
1
p
2. 二项分布B（n,p）,其分布律为
P(X=k)=C
n
P
k
(1-p)
nk
, k=0,1,2,…,n. 03. 泊松分布P(

),其分布律为
k
8

P(X=k)=

k
k!
e


, k=0,1,2,…,

>0.
4. 均匀分布U(a,b),其密度函数为

1
,axb

f(x )=

ba
，
,其他


0
分布函数为为


xF（x）=


b

0
,xa
a
,axb
.
a
1
,xb

5. 指数分布E(

)，

>0, 其密度函数为


e
x

,x0
f(x)=

，

0
,其他
分布函数为

1e

< br>x
,x0
F(x)=


,其他
0

6. 正态分布N(

,

2
)，其密度函数为
1
2< br>

(x

)
2

2
2
f(x)=
分布函数为
F(x)=

x
e
, -≦
>0, -≦<

<+≦,
< br>1
2


(t

)
2

2
2

e
dt, -≦当

=0，

=1时，称为标准正态分布，记为N(0,1)，此时有密度函数为

(x)
=
分布函数为
(x)
=
x
1
2

e

x
2
2
, -≦
1
2


t
2
2

e
dt , -≦
五、 随机变量函数分布
1. 设X的分布律为 P(X= x
i
)=p
i
，i=1,2……，
9

则Y=g(X)的分布律为P(Y= y
i
)=P（g(X)=y
i
）=
2. X为连续型

P(X
g(x
i
)y
j
x
i
).
设X的密度函数为f
x
(x)，则Y的密度函数可按下列两种方法求得：
（1） 公式法：若y=g(x)严格单调，其反函数x=h(y)有一阶连续导数，则Y=g(X)也 是连
续型随机变量，且密度函数为
f
Y
(y)=


f
x
([h(y)])|h

(y)|,

y

0,其他

其中（

,

）为y=g(x)的值域.
（2） 分布函数法：先按分布函数的定义求得Y的分布函数，再通过求导得到密度函数，
即
F
Y
(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=

F
Y
(y)= F′
Y
(y).
注意：若Y=g(X)不再为连续型随机变量，则只能求 得Y的分布函数，从而只能用
分布函数求解.

3. X为一般的随机变量
设X的分布函数为F(x)，则Y的分布函数可按分布函数的定义求得：


F
Y
(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y).
g(x)y
f
X
(x)dx
.
习题
1. 设离散型随机变量X的概率分布P{X=0}=0.2，P{X=1}=0.3,P{X=2}=0.5,则P( X≤
1.5)= _______。


1

设随机变 量X～


1


3
0
1
6
1



。则X的分布函数为_______。
1


2

2.
3. 设随机变量X在[1,4 ]上服从均匀分布，现在对X进行3次独立试验，则至少有2次
观察值大于2的概率为_______。
4.


设随机变量X的分布律如下，则Y=8-X
3
的分布律为_______。
X -2 0 2
P 0.4 0.3 0.3


5. 设连续型随机变量Ω的分布函数如下，则A=_______，Ω落在（-1，0.5）内的概率
10

为_______。

0

2
F(x)=

Ax

1

,
,
,
x0
0x1

x1
6. 设某批电子元件的寿命X服从正 态分布N(μ，

2
)。若μ=160，故求P{120200}=0 .8，允许

最大为_______。
7. 设随机变量X的概率密度如下 ，以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤0.5}
出现的次数，则P{Y=2}=______ _。
f(x)=


2x,0x1

0,其它

8. 设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量Y=X
3
在（0,8）上的概率密
度f
Y
(y)为_______。
9. 设随机变量X的分布函数为F(x)，在下列概率中可表示为F(a)-F(a-0)的是
_______。
A． P{X≤a}； B. P{X}a}； C. P{X=a}； D. P{X≥a}；
10. 设随机变量X～

( x)
，而

(x)
=
1

(1x)
2< br>。则Y=2X的概率密度为_______。
11. 一批产品共10件，其中7件正品 ，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述
三种情况下，分别求直至取得正品为止所需次数X的概 率分布：
（1）每次取出的产品不再放回去；
（2）每次取出的产品仍放回去；
（3）每次取出一件产品后，总是另取一件正品放回到这批产品中。
12. 同时投掷甲、乙两颗骰子，设X表示两颗骰子点数之和，试求X的概率分布。
13. 口袋里有 5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果是黑球则这个黑球不放回而另
外放入一个白球，这样继续下去 ，直到取出的球是白球为止，求直到取到白球所需
的抽取次数X的概率分布。
14. 一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，
第二台等于0.8 ，第三台等于0.7，求在一小时内需要工人管的机床台数X的概率分
布。
15. 设袋中有标号为-1,1,1,2,2,2的6个球，从中任取一球，试求：
（1）所取得的球的标号数X的分布律；
（2）随机变量X的分布函数F(x)，并画出函数图形；
（3）求P{X≤0.5}，P{116. 在保险公司 里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个
人死亡的概率为0.002， 每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡
时家属可从保险公司里领2000元赔偿金。 求：
（1）保险公司亏本的概率；
（2）保险公司获利分别不少于10000元，20000元的概率。
11

17. 某公共汽车站从上午7时起每15分钟发一班车，即在7:0 0,7:15,7:30，…有汽车
发出，如果乘客到达此汽车站的时间X是在7:00到7:30的均 匀随机变量，试求乘
客在车站等待：
（1）不到5分钟的概率；
（2）超过10分钟的概率。
18. 设X是在[0,1]上取值的连续型随机变量，且P{X ≤0.29}=0.75，如果Y=1-X，试决
定k，使得P{X≤k}=0.25。
19. 设随机变量X服从正态分布N（108,9），
（1）求P{101.1 （2）求常数a，使P{X （3）求常数a，使P{|X-a|}a}=0.01。
20. 设随机变量X服从在（-1，1）上的均匀分布，求Y=X
2
的概率密度。
21. 设X的分布密度如下，求F(x)；

e
x
,x0
f(x)=

.
,x0
0

22.




23.
24.
已知X的分布律如下，求P{-1≤X<1}；
X
P
-1 1
13 23
设X～N(3,4),求P{-4设有一个均匀的陀螺 ，在其圆周的半圈上都标明刻度1，另外半圆上均匀地刻上区
间[0,1]上诸数字，旋转这陀螺，求它 停下时其圆周上触及桌面的刻度A的分布函数，
并问该分布是什么型的。
25. 一批 零件中有9个合格品，3个次品，安装机器时，从这批零件中任意取一个，如
果每次取出的废品不再放回 去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布。
26. 某设备由三个独立工作的元件构成， 该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率
为0.1.试求该设备在一次试验中发生故障的元件数的分 布律。



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