研修生-四川录取查询系统

2009—2010学年第二学期闽江学院考试试卷（A）
Ａ．
X
1
4

4

X
i
Ｂ．
X
1
X
4
2


(注：
(x)
是标准正态分布的分布函数)
i1
4
18%＝3%*6） 得分

Ｃ．
K
1
2
一、单项选择题（

2

(X
i
 X)
Ｄ．
S
2

1
4
2
i1
3

(X
i
X)

i1
1、在一个班级同学 中选出一个班长，一个团支书；则事件“选出的班长是男生，
二、填空题 （21%＝3%*7） 得分

选出的团支书是女生”的对立事件是（ B ）
A. “选出的班长是女生，选出的团支书是男生”；
1、某生做四题作业，设
A
i< br>表示该生第
i
题做对，则事件“他前两题都没有做对
B. “选出的班长是女生或选出的团支书是男生”；
而后两题没有都做错”可表示为 A
1
A
2
(A
3
A
4
)
.
C. “选出的班长是女生，选出的团支书是女生”； < br>2、设A,B为随机事件，A与B互不相容，
P{B}0.2
，则
P(AB) 
0.2 .
D. “选出的班长是男生，选出的团支书是男生”. < br>3、袋中有50个球，其中20个黄球、30个白球，今有2人依次随机地从袋中各
2、随机变量
X~N(3,

2
)
,且有
P{3X6}0.4,则
P{X0}
( A ).
取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为 0.4
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
4、设随机变量
X~B(12,0.5),Y~B(18,0.4),
且
X
与
Y
相互独立，则：
3、随机变量
X,Y
独 立同分布,且
P{X1}P{X1}0.5
，则有（ B）.
D(XY)
0.9
A.
P{XY}1
. B.
P{XY}0.5
.

0, x0
C.
P{XY0}0.25
D.
P{XY0}0.25
.
5、设随机变量
X
的分布函数为
F(x)


A x
2
, 0≤x≤1
,则
A
1 ；

4、设
X~P(

)
（泊松分布）且
P{X2}2 P{X1}
, 则
E(X)
( D ) .

1， x1
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
6、设
2
~

2
(n)
，则有
E(
2
)
＝ n
5、设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为
F(x), f(x)
，则下列选 项中
7、设
X
1
,X
2
,,X
n
是来自
[

2,

]
上的均匀分布总体的一个样本，则

的矩
正确的是( A )
估计量是
X1

A.
0≤F(x)≤1
B.
0≤f(x)≤1

Ｃ.
P{Xx}F(x)
Ｄ.
P{Xx}f(x)
三、计算题（一）（34%） 得分

.
1、（10%） 甲乙丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，
6 、设
X~N(

,

2
)
，其中

已知,

2
未知,
X
0.7，飞机被一人击中而被击落的概率为 0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，
1
,X
2
,X
3,X
4
为其样本. 下列各
若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.
项不是统计量的是( C )

解：设
A
i
表示i人击中飞机，i=1，2，3. B表示飞机被击落。
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显然
A
i
，i=1，2，3构成一个完备的事件组。 (2%)
且
P(A
1
)0.36;P(A
2
)0.4 1;P(A
3
)0.14
。
已知
P(B|A
1
)0.2;P(B|A
2
)0.6;P(B|A
3
)1
（4%）
由全概率公式得
P(B)=
解： （1）
P(AB)P(B |A)P(A)

P(B|A)P(A)0.360.20.410.60.21 10.458
（4%）
i1
i1
3
111


3412
111
P(B)P(BA)P(A|B)

122 6
1111
P(X1,Y1)P(AB)
，
P(X1,Y0) P(AB)P(A)P(AB)

124126
111
，
P(X0,Y1)P(AB)P(B)P(AB)
61212
2
P( X0,Y0)1P(AB)
；
3

2、（12%）设随机变量
X
的概率密度为：
f(x)ce
x
列表：
,xR

X Y
1
1
0
112
112
0
16
23
(6%)
求：（1）常数
c
；（2）
X
的分布函数；（3）
X
的值落
[1,1]
在内的概率.
解：（1）因为
所以
1



f(x)dx1
，

x
0
x



c edx

cedx

cedx2c
， c=0.5. （ 4% ）
0
|x|
(2) E(X)=14, D(X)=316, E(Y)=16, D(Y)=536
E(XY)=112, cov(X,Y)=124,
（2）
F(x)

x

x
0.5e
x
dx0.5e
x
,x0



f(x)dx

0
，（ 4% ）
x< br>xxx


0.5edx

0.5edx10.5 e,x0
0


1

X,Y




cov(X,Y)15
. (6%)


XY15
（3）
P(1X1)F(1)F( 1)1e
（ 4% ）







3、（12%）设
A,B
为随机事件，且
P(A)
四、计算题（二）（20%） 得分

4、（12%）设
X
与
Y
是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
111
,P(B|A),P(A|B)
，令
432
0x≤1,

e
y
,y0,

1,≤

f
X
(x)



f
Y
y()


0,
其它,

0,
其它,
求 随机变量
ZXY
的概率密度.

解：因为X与Y相互独立，所以（X,Y）的联合密度函数为

1，A
发生
，

1，B
发生
，
求：（1）二维随机变量
(X,Y)
的概率分
X

Y


0，A
不发生
,

0，B
不发生
,布（列表）；（2）
X
和
Y
的相关系数

XY
.
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
e
y
,0x1;y0
f(x,y)

， （2%）

0,其余

五、证明题（7%） 得分

（1） 当z<0时，
F
Z
(z)0
；
（2）
当
0 z1
时，
F
Z
(z)P(Zz)

（3）
当z>1时,
F
Z
(z)P(Zz)

1zx
00
z
0
设
X
1
,X
2
,,X
5
是来自标准正态总体
N(0,1)
的样本，证明：统计量

zx
0
e
y
dydxe
z
z1
;
e
y
dydxe
z
e
1z
1
.
6X
1
X
2
服从自由度为3的
t
分布.

222
2
X
3
X
4
X
5
解：因为
X
1
,X
2
,,X
5
是来自标准正态总 体
N(0,1)
的样本，
所以（1）
X
1
,X
2
相互独立，且
X
1
X
2
N(0,2)
，故（2）
X
3
,X
4
,X
5
相互独立，且
X
3
X
4
X
5

由于
222
(6%)
所以随机变量
ZXY
的概率密度
z0

0,


f
Z
(z)F
Z
(z)

1 e
z
,0z1
(2%)


1zz

ee,z1
x

1



e,x≥0,
5、（8%）设总体
X
服从均匀分布，其 概率密度为
f(x,

)


其中

0,
其它,

X
1
X
2

N(0,1)

2

2
(3)
（3%）
X
1
X
2
2
X
5
2


2
(3)
相互独立，

N(0,1)
与
X< br>3
2
X
4
2

(0)
未知参数，.x
1
,x
2
,,x
n
是来自总体
X
的一个样本观察值，试求未知参
数

的极大似然估计值.

由t分布的定义可知















6X
1
X
2


t(3)
（4%）
222
2
X
3
X
4
X
5




解：似然函数为
L(x
1
,x
2< br>...,x
n
;

)

i1
n

1

nx

n
e

,x
i0,i1,n
f(x
i
,

)

< br> （3%）

0,qiyu

n

对数似 然函数为
lnL(x
1
,x
2
...,x
n
;
)ln

f(x
i
,

)nln

i1
nx

x
i
0,i1,n

似然方程为
ˆ
x

解得


lnL(x
1
,x
2
...,x
n
;

)0
， (3%)


所以参数

的极大似然估计值为
x
。 (2%)

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