特征函数在概率论及数理统计中的简单应用
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特征函数在概率论及数理统计中的简单应用
作者：陈晓
来源：《科教导刊·电子版》2017年第12期
摘 要 在概率论和数理统计课程中，经常求独立随机变量和分布的问题，分布函数发较为
繁琐，是处理
这些问题的有力工具是特征函数，它能把寻求独立随机变量和分布运算转换成乘
法运算，本文阐述了特征
函数的基本概念以及特征函数的一些简单应用。
关键词 特征函数 独立性
指数分布 卡方分布
1特征函数的定义
设是一个随机变量，称， 为的特征函数。因为，所以总是存在的，即任一随机变量的特
征函数总是存在
的。特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以常
称为某分布的特征函数。
2特征函数的应用
2.1指数分布的数学期望和方差
已知随机变量服从参数的指数分布，随机变量的特征函数，，由此可得 ， 。
用特征函数求指数分布的数学期望和方差， 要比从定义计算反常积分简便不少。
2.2 利用特征函数方法证明泊松定理
证：设随机变量，则随机变量的特征函数为，又，所以
而是参数为的泊松分布的特征函数，又有特征函数的唯一性可知结论成立。
2.3在求独立随机变量和的分布上的应用
设是个相互独立的随机变量，且均服从标
准正态（0，1）分布的正态随机变量，求随机变
量由于，根据随机变量数学期望的计算公式可得相应随
机变量的特征函数为
。
由特征函数的性质可得随机变量的特征函数为。
有概率论知识可知这是的特征函数可
以看出卡方分布是伽马分布的特例，通过特征函数的
算法结果更直观，也更能揭示本质。同样地，我们可
以按照以上推导方法，可以得到正态分布