雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密度中的应用
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雅克比行列式在连续型随机变量函数分布密
度中的应用
作者：赵微
来源：《新教育时代》2014年第12期
摘 要：为了使二维随
机变量函数概率密度计算公式得到简化，本文首先利用雅克比行列
式，应用变量变换定理给出了二维随机
变量函数概率密度的计算公式。但变量变换定理要求反
函数存在且唯一，为克服这一缺陷，文中给出了两
种方法对变量变换定理进行改进。
关键词：二维随机变量函数 概率密度
雅克比行列式 变量变换定理
一、分布函数法
用分布函
数法求随机变量是概率论的重要内容之一。通常情况下求一维随机变量的函数的
概率密度有分布函数法和
公式法。但对于二维随机变量，一般思路是先按定义求分布函数，然
后再对分布函数求导，从而得到概率
密度。
设（X，Y）为二维连续型随机变量，密度函数为f（x，y），函数g（x
，y）是一个连续
函数，Z是随机变量，有Z=g（X，Y）。一般地，若无特殊说明，总认为z=g（
x，y）在点
（x，y）处连续可微，且z关于x和y的偏导数均不为0。则从分布函数的定义出发进行
计
算，先求出分布函数
对分布函数求导，可得到Z的密度函数fz（Z）=Fz（Z）。
由于在计算过程中要在XOY平面上确定区域 与区域
的公共部分，且计算二重积分要根据曲线z=g（x，y）与D
的相对位置，分多种情况讨论
后，最后求导。因此，在理论上，对二维连续型随机变量
，虽然可以用分布函数法求得
的密
度函数，但该方法计算量大，并且当U是分段函数时，计算过程较为繁琐。
二、变量变换法
为解决分布函数法计算复杂的问题，下面利用雅克比行列式，通过积
分变换给出二维随机
变量函数的概率密度的新计算公式。
定理1
设（X，Y）为二维随机变量的概率密度为f（x，y），若函数u=g（x，y）， 满足
下列条件：
（i）存在唯一的反函数 ， ；