基于分布函数的数学期望与方差的简洁求法
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基于分布函数的数学期望与方差的简洁求法
作者：庄刘
来源：《科技创新导报》2011年第12期
摘 要:在仅已知随机变量的分布函数求解数学期望与方差时,通常利用分布函数求出分布列
或概率密度
,再根据定义求出数学期望与方差,过程较为复杂。为了简化计算,本文针对非负整值
离散型随机变量与
连续型随机变量,从理论上推导出了基于分布函数直接求解数学期望与二阶
原点矩的计算公式,并可间接
用于方差的求解。进一步通过实例验证了此方法在一定场合下的
有效性与简洁性。
关键词:数学期望 方差 二阶原点矩 分布函数
中图分类号:O211
文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0146-02
数学期望与方差是随机变量的两个重要数字特征,用定义求解数学期望与方差是最常用、
最基本的方法,
但定义中仅给出了用分布列与概率密度的求解方法[1～2]。有时在实际中往往已
知随机变量的分布函
数,虽然可以将分布函数转化为分布列或概率密度,但过程稍显复杂[3]。下
面主要讨论不同情况下,
如何利用分布函数直接求解数学期望与二阶原点矩的方法,同时可间接
用于方差的求解。
1 非负整值随机变量的情形
非负整值随机变量是指只取非负整数值的离散型随机
变量。利用分布函数求非负整值随机
变量的期望与二阶原点矩,有如下结论。
定理1:设是非负整值离散型随机变量的分布函数,若与的数学期望均存在,则
(1)
(2)
证明:设,为的分布列,由于与均存在,则级数与均绝对收敛,故
(X≥i).
++
(X≥k)
根据方差的求解公式,很容易得到如下结论:
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推论:设是非负整值离散型随机变量的分布函数,若的方差存在,则 (3)
例1:设离散型随机变量的分布函数如下,求的数学期望与方差。
解:由定理1,可得:
=1+0.8+0.5=2.3
=1+3×0.8+5×0.5=5.9
从而=0.61
或者根据推论,=0.61.
例2:设,求的数学期望与方差。
解:由于服从参数为的几何分布,故的分布列为:
其中表示在伯努利试验中事件首
次出现时的试验次数,表示每次试验中事件发生的概率。
对于几何分布的数学期望和方差的求解,利用分
布律求解级数的和较为复杂[1]。而事件表示前
次事件均没有发生,故,利用定理1,有,
故
则==
2
连续型随机变量的情形
对于连续型随机变量,若其分布函数已知,可根据如下定理直接求解期望与二阶原点矩。
定理2:设是连续型随机变量的分布函数,若与的数学期望均存在,则:
(4)
(5)
证明:设为的概率密度,由于与均存在,则广义积分与均绝对收敛,故
而
故
同理