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第二章 随机变量及其数字特征
第二章 随机变量及其数字特征
一、教学要求
1. 理解随机变量的概念，掌握 离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列
和概率密度函数的概念和性质；
2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；
3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；
4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项 分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正
态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征 的计算和相关概率的求解；
5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。
二、重点与难点
本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的 分布、数
学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。



一、 随机变量

§
2.1 随机变量及其分布
1．引入随机变量的必要性
1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现
的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。
2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如：
掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。
注：这些例子中，试验的 结 果能用一个数字X来表示，这个数X是随着试验的结果的不同
而变化的，也即它是样本点的一个函数，这 种量以后称为随机变量。
2．引例
先看一个具体的例子:
例1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数．
我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为


1，2，3




1，3，4
< br>



2，3，4



3， 4，5



1，2，4

1，2，5



1，3，5

1，4，5






2，3，5

2，4，5




我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1，2，3．因此， X 是一个变量．
但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变
量．



31

第二章 随机变量及其数字特征
X 的取值情况可由下表给出：

黑球数X 样本点 黑球数X

样本点
3 1

1，4，5


，2，3




1


1
2 2

2，3，4


，2，4



2 2

1，2，5



2，3，5



2 1

2，4，5


，3，4




1


1
2 1

3，4，5


，3，5



由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此
变量 X 是样本空间

上的函数：

XX







我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

< br>：X



2



X2
表示取出2个黑球这一事件；

X2

表示至少取出2个黑球这一事件，等等．
3．定义
1）描述性定义：定义在样本空间

上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y, Z等表示；
随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。
2）严格定义：设
(, ,P)
为一概率空间，
XX(

),


是 定义在

上的实值函数，
若对任一实数
x
，
{
< br>:X(

)x}

，则称
X
为随机变量。
4.随机变量的例子
例2 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令：
Y：该时间间隔内通过的汽车数．
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．

Y100

表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

50Y100

表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件
例3 观察某生物的寿命（单位：小时），令：
Z：该生物的寿命．
则 Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实
数．
< br>Z1500

表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件．
二、分布函数及其性质
1.分布函数的概念
定义 设
(,,P)
为一概率空间，X为定义在其上的随机变量,对任意实数x,称

F(x)P(Xx)


32

第二章 随机变量及其数字特征
为随机变量X的分布函数,且称X服从
F(x)
,记为X~
F(x)
.有时 也可用
F
X
(x)
表明是X的分
布函数.
2.例子
例4 向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数
F(x)
,并 求P(X>
解 事件“
Xx
”表示所抛之点落在半径为
x(0xr)< br>的圆内，故由几何概率知
2
r
).
3

x
2
x
2r2r25
F(x)P(Xx)
2
()
2
.
从而
P(X> )=1-P(X)=1-()
2
.


rr
3339
3.分布函数的性质
定理：任一分布函数
F(x)
都有如下三条基本性质:
（1）单调性: < br>F(x)
是定义在整个实数轴
(,)
上的单调非减函数，即对任意的< br>x
1
x
2
，
有
F(x
1
)F( x
2
)
；
（2）规范性:
F()
=
limF(x)0
；
x
F()
=
limF(x)1
。
x< br>（3）右连续性:
F(x)
是x的右连续函数，即对任意的
x
0
，有

lim

F(x)F(x
0
)
，
xx
0
即
F(x
0
0)F(x
0
)
。
证明 略。
注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。
（2）有了分布函数的定义，可以计算：
P(aXb)F(b)F(a)
，
P(Xa)F(a)F(a)
，
P(Xb)1F(b)
等。
三、离散随机变量及其分布列
1．离散型随机变量的概念
若某个随机变量的所有 可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散
型随机变量。
讨论随机变量的 目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必
须且只须知道X的所有可能取值以及 X取每一个可能值的概率。
2．分布列 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是
x
1
,x
2
,x
n
，则称X取
x
i的概率

33

第二章 随机变量及其数字特征

p
i
p(x
i
)P (Xx
i
),i1,2,
为X的概率分布列或简称为分布列，记为
X~< br>
p
i

。
分布列也可用下列形式表示：
n,


x
1


p(x
1)
x
2
p(x
2
)
x
1

p
1

x
n
p(x
n
)
x
2

p
2



或



X

P


3.分布列的基本性质
(1)非负 性：
p(x
i
)0,i1,2,
(2)正则性：
;


p(x)1.

i
i1

注 1）离散随 机变量的分布函数为：
F(x)
x
i
x

p(x)。
i
2）设离散型随机变量X的分布函数为
F

x

，
x
k
为其间断点，k =1, 2, …, 则X
的分布律为
p
k
P

Xx
k

F

x
k

F

xk
0

,k1,2,
4.例子
例5 设离散随机变量X的分布列为

23

1

，
0.250.50.25

试求
P(X0.5),P(1.5X2. 5)
，并写出X的分布函数。
解 略。
例6从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：
X：取出的5个数字中的最大值．试求 X 的分布列．
解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．并且
C
k
4
1
P

Xk


5
C
10

k5，6，， 10


具体写出，即可得 X 的分布列：

X 5 6 7

1515
P


252252252


8
35
252

9
70
252

10
126
252



34

第二章 随机变量及其数字特征
例7设随机变量 X 的分布列为

1

P

X n

c


4

n

n 1，2，


,试求常数c．
解：由分布列的性质，得
1

1


1

P

Xn



c

c
4
，所以c3．
1
4

n1n1

1
4

n
四、连续随机变量及其密度函数
1.连续型随机变量的概念
定义 设随机变量
Ｘ
的分布函数为
F(x)
，如果存在实数轴上的一个非负可积函数
p(x)
，使
得对任意
ｘ
，有

F(x)

x

p(t)dt
，
则称X为连续随机变量，称
p(x)
为X的概率密度函数，简称为密度函数。
2.密度函数的基本性质
（１） 非负性：
p(x)0
；
（２） 正则性：



p(x)dx1
；
反过来，若已知一个函数
p(x)
满足上述性质(1)和(2),则
p( x)
一定是某连续型随机变量
X的概率密度函数．
另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质：
（1）
a,bR,(a b),P(aXb)F(b)F(a)
更一般的，对一般的区间
B
，有

b
a
p(x)dx
。
P(XB)

p(x)dx.

B
（2）连续型随机变量X的分布函数
F(x)
是连续的,但反之不真；
（3）连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意实数
c
，
P(Xc)0
；
事实上，
h0,0P(Xc) P(chXc)
令
h0,


c
ch
p(x)dx
.

c
ch
p(x)dx0,即得P(X=c)=0。

注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,概率为零的事件未必是不可能事件；
概率为1的 事件也不一定是必然事件。
(4) 若
P(x)
在
x
0
处 连续，则有
F

(x)
xx
0
p(x
0
)


35

第二章 随机变量及其数字特征
3．例子

Kx
2

例8设
X~p(x)
Kx

0

解 (1)由性质
0x25
2x3
，求:(1)常数
K
；(2)
X
的分布函 数；(3)
P(1X).

2
其它
2
2
302



p(x)dx1,得

Kxdx< br>
Kxdx1
。解之得
K
6
.

31< br>
6

31
x
2

6
X~p(x) 

31
x

0

0x2
2x3
。
其它
(2)X的分布函数为
x0

0
x 0

0

x
2
6

2
x
3
0x2

31
0x2


31

0
tdt

F(x)

3
2
4

F(x)
< br>2x
6
2
6

31
x
31
2x 3


31
tdt

31
tdt2x3< br>2


0
x3

1
1x3
< br>
5
5535
2
42
3
83

2< br>（3）
P(1X)F()F(1)()1

p(x)dx 
223123131124


1


。


§
2.2 随机变量的数字特征
概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律，但是：
(1)在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；
(2)在实际问题中,有时关心的问题仅 是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全
面的变化规律,如测量误差的平均误差,评定射击手的稳 定性的离散度等；
(3)对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。
数字特征通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集
中地反映随 机变量某些方面的重要特征的一些数值。

一、随机变量的数学期望
1．引例
某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：
掷得点数
获得（元）
1点
1
2，3点
2
4，5，6点
4
求：一次游戏平均得多少钱？
解：假设做了n次游戏，
n
1
—得1 元次数，n
2
—得2元次数，n
3
—得4元次数，

则n< br>1
n
2
n
3
n,获得：1n
1
2 n
2
4n
3
。每次平均得：
1n
1
2 n
2
4n
3
n
nn
1
1
2
2
4
3
.
当n很大时，
nnnn

36

第二章 随机变量及其数字特征
12317
1p
1
2p
2
4p
3
124 .

6666
2.离散型随机变量的数学期望
1）定义
设离散随机变量X的分布列为

pi
p(x
i
)P(Xx
i
),i1,2,
如果
n,


|x|p(x)
，
ii
i1

则称
E(X)

xp(x)

ii
i1

为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数
不收敛，则称X的数学 期望不存在。
注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与 X 取值顺序无关。
2）例子

|x|p(x)
ii
i1

ξ= k)=(1-p)p,(k=1,2,),
求
E

.
例9 设
服从几何分布，
P(
解：
E
k-1

k (1p)
k1

k1
pp

k(1p)
k1
.

k1

1


k


x

k1
由于

kx


x



,
故

2
k1< br>
k1


1x

(1x)

'
'

k(1p)
k1

k1

11
,E

2
pp
k
2
k
1
例10
设X取
x
k
(1)
(k=1,2,…)对应的概率为
p
x
k

k
，证明E(X)不存在。

k
2

1
1
证明
p
x
k
k
0
且

p
x
k

< br>k
1
。但级数
2
k1k1
2

2
k
11
x
k
p
x
k



k


发散
2
k1
k
k1
k


k1

所以E(X)不存在，但级数

2
k
1(1)
k
x
k
p
x
k


(1)
k


ln2
(交错级数 满足Leibniz条件)(收敛)

k2k
k1k1k1
k
要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。

37

第二章 随机变量及其数字特征
2． 连续型随机变量的数学期望
1） 定义
设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果




|x|p(x)dx
，
则称
E(X)



xp(x)dx

为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若
则称X的数学期望不存在。
2）例子
例11 设随机变量X服从
p(x)
Cauchy分布。
解



|x|p(x)dx
不收敛，
1

(1x
2
)

(-∞
试讨论E(X)。此分布称为



xf(x)dx




x
x1
2
dx2dxl n(1x)|
0
,

22

0

(1x)

(1x)

即



xf(x)dx
不绝对收敛，因此数学期望E(X)不存在。
设X服从区间
(a,b)
上的均匀分布，求
E(X)
。
例12设随机变量X的密度函数为：
0x1

x,


(x)

2x,1x2

0,其它


求数学期望EX。
解：
012
EX


x

(x)dx

x0dx

xxd x

x(2x)dx

x0dx
012
< br>177
3
236


例13 设
X
为仅取非负整数的离散型随机变量，若其数学期望存在，证明：

E(X)


P(Xk).

k1
证明：由于
E(X)

kP(Xk).
而
k1

38

第二章 随机变量及其数字特征

P(Xk)

P(X
k1k1jk

j)

P(X1)P(X2)P(X3)

P(X2) P(X3)

P(X3)



kP(Xk )E(X).

k1

例14 设连续型随机变量
X
的分布函数为
F(x),
且数学期望存在，证明
E(X)

[1F(x)]dx

F(x)dx.

0
0
证明：
E(X)



xdF(x)

xdF(x)

xdF(x)

x dF(x)

xd(1F(x))

00
00

xF(x)|


由均值存在得


0

F(x)dx x(1F(x))|

0


(1F(x))dx.

0




|x|dF(x),
于是有 < br>A
0AF(A)

|x|dF(x)0(当A)
< br>0B(1F(B))

|x|dF(x)0(当B).
B


以此代入
EX
的计算式即得
E(X)


0
[1F(x)]dx

F(x)dx.


0
二、随机变量函数的分布及数学期望
1.随机变量函数的分布
1）离散型随机变量函数的分布列
设X一个随机变量，分布列为

X~P(Xx
k
)p
k
, k＝1, 2, …
则当Y＝g(X)的所有取值为
y
j
(j＝1, 2, …)时，随机变量Y有如下分布列：
P(Yy
j
)q
j
, j＝1, 2, …
其中
q
j
是所有满足
g(x
i
)y
j
的
x
i
对应的X的概率
P(Xx
i< br>)p
i
的和，即
P(Yy
j
)
g(x
i
)y
j

P(Xx
i
)

2
例15 设离散型随机变量X有如下分布列，试求随机变量
Y(X3)1
的分布列。
X 1

P 0.5
3
0.1
5
0.15
7
0.25

39

第二章 随机变量及其数字特征
解
Y
的所有可能取值为1，5，17
P(Y1)P((X3)
2
11)P(X3)0.1
， < br>P(Y5)P((X3)
2
15)P(X1)P(X5)0.5 0.150.65
，
P(Y17)P((X3)
2
117) P(X7)0.25
。
故
Y
的分布列为
Y
P
1
0.1
5
0.65
17
0.25
2）连续型随机变量函数的分布
(1)一般方法
设连续型随机变量
X
的概率密度函数为
p
X
(x)
，(-Y
=
g
(
X
)为随机变量
X
的
函数，则
Y
的分布函数为
F
Y
(y)P(Yy)P(g(X)y) 
从而
Y
的概率密度函数
P
Y
(y)
为
g(x)y

p(x)dx
。
p
Y
(y)
dF
Y
(y)
.

dy
例16 设随机变量
X~p
X
(x)



2x,0x1,
求Y=3X+5的概率密度。

0,其它
解 先求Y=3X+5的分布函数
F
Y
(y)
。
y5
FY
(y)P(Yy)P(3X5y)P(X)

3
p< br>X
(x)dx


3
y5
y5,
< br>0,

1



(y5)
2
,5 y8,


9
y8.


1,
Y的概率密度函数为 
2
(y5),5y8,

d

9
p< br>Y
(y)F
Y
(y)


dy

0,其它.



40

第二章 随机变量及其数字特征
例17 设XU(-1,1),求
YX
2
的分布函数与概率密度。
解

1

p
X

x



2


0
1x1
其它
yg(x)x
2
F
Y

y

P(Yy)P(X
2< br>y)
x
2
y

p
X

x
dx

当y<0时，
F
Y
(y)0
；当y≥1时
F
Y
(y)1
；
当0≤y<1时
F
Y
(y)
1

2
dx
y
y
y，

1

p
Y
(y)F
Y
'(y )

2y

0

(2）公式法
0y1
其它
。
一般地, 若
X~p
X
(x),yg(x)
是严格单调可导函数，则
Yg(X)~p
Y
(y)p
X
[h(y)]|h
(y)|

其中h(y)为y＝g(x)的反函数。
注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求
Y
的密度函数；
2、注意定义域的选择。
例18 设X
～
U(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(
a
≠0)
解 Y=ax+b关于x严格单调，反函数为
h(y)
故
p
Y
(y) p
X
[h(y)]|h

(y)|p
X
(
yb
，
a
yb1
)
，而
aa

1
10x1


，所以
p< br>Y
(y)

a
p
X
(x)

其 它

0

0

补充定理：
若g(x)在不相叠的 区间
I
1
,I
2
,
0
yb
1
a
。
其它
上逐段严格单调，其反函数分别为
h
1
(y) ,h
2
(y),
均为
连续函数，那么Y=g(X)是连续型随机变量，其概率 密度为
'
p
Y
(y)p
X
(h
1
(y ))h
1
'
(y)p
X
(h
2
(y))h
2
(y)

例19若
X~N(0,1)
，计算
YX
的密度函数。
2

41

第二章 随机变量及其数字特征
解：
yg(x)x
分段单调，在
(,0)
中反函数
xh
1
(y)y,
而在
[0,)
中反函数
为
x h
2
(y)
2
y.
故
Y
的密度函数为
11
1y

1
p
Y
(y)

(y )||

(y)||y
2
e
2
,y0.

2y2y2

p
Y
(y)0,y0.
即
Y~< br>
(1)
。
2.随机变量函数的数学期望
设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X 的某个函数g(X)
的期望. 那么应该如何计算呢？
定理 设
Yg(X)
( g为连续函数 )
⑴ 设X为离散型随机变量，其分布律为
2
P{Xx
k
}p
k
,(k1,2,3,)

若级数

g(x)p
k
k1

k
绝对收 敛,

则g(X) 的数学期望为
E(Y)E(g(X))


g(x)p
k
k1

k
。
⑵ 设
X
为连续型随机变量，其概率密度为
p(x)
,若



g(x)p(x)dx
绝对收敛，则g(X) 的
数学期望为
E(Y)E(g(X))
注：该公式的重要性在于:当我们求E[g(X )]时,不必知道g ( X )的分布，而只需知道 X

的
分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。
例20 设随机变量
X~B(n,p)
，
Ye
2X



g(x)p(x)dx

，求E(Y).
kknk
解
X~B(n,p)
，分布列为
P(Xk)C
n
pq,k0,1,2,n

E(Y)E(e
2X
)

eCpq
2kk
n
k
k0
n
nkk


C
n
(pe
2
)
k
q
nk
(pe
2
q)
n
.< br>
k0
n
其中p+q=1


xe
x
例21设随机变量
X
的概率密度为
p(x)



0
解：
E(
2
x0
其它
，求 E ( 1 X )。

1

1

22
1

)

p(x)dx
< br>xe
x
dx

e
x
dx.

00
Xxx2
三、数学期望的性质

42

第二章 随机变量及其数字特征
性质1.若C是常数，则E(C)=C.
性质2.对任意的常数a，E(aX)=aE(X)．
性质3.对任意的两个函数
g
1
(x)
，
g
2
(x)
，有

E(g
1
(X)g
2
(X))E(g
1
(X) )E(g
2
(X))
。
四、随机变量的方差与标准差
1.方差与标准差的定义
1）引例
甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为1 0mm，公差为0.2mm，即直径在9.8mm到
10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。现 从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进
行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm)
甲 9.8 9.9 10.0 10.0 10.1 10.2
乙 9.0 9.2 9.4 10.6 10.8 11.0
易知，甲乙两组产品的直径的均值都为10.0mm，但两组 的质量显然差异很大，甲组全
为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两 组产品关于均值
的离散程度不同。甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。
为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X的绝对
离 差，记作E|X-EX|，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值得均值不易计算，常用
随机变量 与均值差的平方的均值来描述离散程度。
2）定义 若随机变量
E{[XE(X)]}的数学期望存在，则称
E{[XEX]}
为随机变
量X的方差，记为
D (X)或Var(X)。

22


(x
i
E (X))
2
p(x
i
),在离散场合；


D(X )Var(X)E(XEX)
2


i1

< br>
(xE(X))
2
p(x)dx,在连续场合。


称方差的正平方根
D(X)
为X的标准差，记为

(X)< br>或

X
。
注：在实际计算中，通常使用如下公式
D(X) E

XE(X)


2

2
EX
2
2XE(X)

E(X)

2
2


E(X
2
)2E(X)E(X)

E(X)
E(X
2
)

E(X)

.
3 ）例子
例22 已知随机变量X的分布列如下，求D(X)。
X

-2


116
-1
216
0
316
1
216


.

816

2
解 数学期望E(X)=78，
E(X
2
)(2)
2

1 23285
(1)
2
0
2
1
2
2
2

，

43

第二章 随机变量及其数字特征
D(X)E(X
2
)(EX)
2

57
2
1 6049111
。
()
286464
例23 设随机变量
X~p(x)

解
E(X)
2

1x1x0
，求D(X)。
< br>1x0x1

0
1
x(1x)dx

x (1x)dx0
，
0
1
E(X)

x(1x)d x

x
2
(1x)dx
10
0
2
1
1
，
6
D(X)E(X
2
)(EX)
2< br>
2.方差的基本性质
性质1
D(c)0
,其中c为常数;
1
。
6
性质2
D(aXb)aD(X),a,b
是常数。
性质3（方差最小性）X为随机变量，方差存在，则对任意不等于EX的常数C,都有
2D(X)E(XEX)
2
E(XC)
2
.

证明 由数学期望的性质，有
E(XC)
2
E[(XEX)(EX C)]
2
E[(XEX)
2
2(EXC)(XEX)(EX C)
2
]
E(XEX)E(EXC)2(EXC)E(XEX)
DXE(EXC)
2
DX(EXC)
2
,
由于
CEX
，所以
(EXC)0,
故
DXE(XC).

五、随机变量的矩和切比雪夫不等式
1．原点矩与中心矩
k
k
1 ）若
E(X)
存在，则称
A
k
E(X)
为随机变量X的k 阶原点矩，简称k阶矩(k=1,2,…)，
22

22
而
E|X|
称为X的k阶绝对原点矩；
k
}
2）若
E{[X-E(X)]}
存在，则称
B
k
=E{[X-E(X )]
为随机变量X的k阶中心矩
(k=1,2,…)，而
E{|X-E(X)|}称为X的k阶绝对中心矩。
注：一阶原点矩就是数学期望；X的二阶中心矩就是X的方差。 例24
设随机变量X~N0，

解：令
Y
k
k
k

2


，试求E

X

．
n
XEX
DX

X

，
则Y~N

0，1

．
所以，

44

第二章 随机变量及其数字特征

E

X
n



n
E
Y
n



n


y< br>n
p
Y

y

dy

n

2



ye
n

y
2< br>2
dy
。

(1)当n为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以E< br>
X
n

0．
(2)当n为偶数时，由于被积函数是偶函数 ，所以

EX
n

2

n

2


ye
0
n

y
2
2
dy

111
y
2
令：t,则
2

2

22
y2t,dytdt2t
2
dt

2
EX
n
2
n
2

n
2

2
n

n1
1
22
t

t0
edt

n
2
n
n
2

 2

n

n1
1
t
2

t
0


n12

n

n1

t1x
edt2()

,其中(t)xedx



2


2

0
利用函 数的性质：

r1

r

r

， 得
2
2

n
n1

n1

2
2

n
n1n3

n3

n
E

X







222


2

2


2

n
2
nn
n


n1n3

22
1

1

2


n 1

!!






n

n1

!!
n
2

2

2
2
n
n
2

2.矩不等式
定 理1（马尔可夫不等式）设X的k阶矩存在，即
E|X|,
则对任意的

0
，有
k
P(|X|

)
E|X|
k
k
.

证明：仅对连续型随机变量的情形证之。
设X是连续型随机变量，其密度函数为p(x),则
P(|X|

)< br>
{|X|

}
p(x)dx

|X|
k
{|X|

}

k
p(x)dx
1

k

k


|x|p(x)dx
1

k
E|X|
k
.

定理2（切比雪夫不等式） 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意的常数

0
，
有

P(|XE(X)|

)
或
Var(X)

2
，

45

第二章 随机变量及其数字特征

P(|XE(X)|

) 1
Var(X)

2
。
证明 令
YXEX
，利用马尔可夫不等式即得。
推论 若随机变量X的方差存在，则< br>Var(X)0
的充要条件是X几乎处处为某个常数，即
P(Xa)1
。
证明 充分性：
P(Xa)1
，也就是
X~

1


，从而


a

EXa 1a,EX
2
a
2
1a
2
,
故
DXEX
2
(EX)
2
0.

必要性： < br>
11
P(XEX)P(|XEX|0)P({|XEX|})

P(|XEX|),

nn
n1
n1

由切比雪夫不等式，有
1DX
P(|XEX|)0,

2
n

1



n

故
P(XEX)0,
从 而
P(XEX)1.


§
2.3 常用概率分布
本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布正态分
布、均匀分布、指数 分布、

分布、

-分布和对数正态分布。主要介绍二项分布、泊松
分布、正态分布、均匀分布和指数分布。
一、离散型随机变量
1. 退化分布
若随机变量X以概率1取某个常数a，即
X~


1

< br>，则称X服从a处的退化分布。

2．0－1分布．
若随机变量X的分布列为：
P(X=k)=
p(1p)
k1k
2

a

， k=0，1，(0则称X服从以p为参数的0-1分布(或两点分布) ，记为X~B(1,p)。
若某个随机 试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正
面等等，它们的样本空间为< br>{

1
,

2
}
,我们总能定义一个服 从0-1分布的随机变量

46

第二章 随机变量及其数字特征

1当

1
发生时，

X


0当

2
发生时。
即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的 问题参数p的值不同而已。
易知
EXp,DXp(1p)
。
3．超几何分布
若随机变量X的概率分布为
knk
C
M
C
NM
(k=0, 1, …, min(n, M)).
P{Xk}
n
C
N

则称X服从参数为M,N,n的超几何分布。
记作 X
～
H(n,M,N).
由
(1x)(1x)
n
MN M
(1x)
N
知
knkn
C
M
C
N
C
M
P(Xk)


N
1.


nn
C
N
C
N
k0k0
n
设有N个产品，其中M个不合格品。若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格
品数是一个随机 变量，由古典概率计算公式有X服从参数为M
、
N和n的超几何分布。
EX
nMnM(NM)(Nn)
,DX.

2
N
N(N1)
4．二项分布
i）定义
若随机变量X的分布列为
kknk

P(Xk)C
n
pq,k0,1,...,n,

其中p+q=1，则称X服从以n，p为参数的二项分布，记为
X~B(n,p)
。
可以证明：
kknk
P(Xk)C
n
pq0,k0,1 ,2,,n,
n

P(Xk)

C
k0k0
nn
k
n
pq
knk
(pq)1.

k knk
C
n
pq
正好是二项式
(pq)
n
展开 式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时
P(Xk)p
k
q
1 k
(k=0,1)即为0-1分布。
ii）二项分布的概率背景
进行n重B ernoulli试验，设在每次试验中
P

A

p，PA1 pq,
令X：在这n次
试验中事件A发生的次数．则
X~B

n， p

.

iii）二项分布的分布形态

47


第二章 随机变量及其数字特征
若
X~B

n，p

，
则
P

Xk
< br>P

Xk1

1

n1

pk
kq

q1p


由此可知，二项分布的分布
P

Xk

先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着
k 的增大而减少．这个使得
P

X k

达到最大值的
k
0
称为该二项分布的最可能次数。可
以 证明：

如果

n1

p不是整数，则k
0< br>



n1

p


；
如果

n1

p是整数，则k
0


n1

p或

n1

p1.

iv) 二项分布是超几何分布的极限分布
设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N), 则当
N
时，X近似的服从二项分布B(n,p),即
下面的近似等式成立: knk
C
M
C
N
kknk
M
Cpq.
（*）
n
n
C
N
其中
p
MNM,q1p.

NN
(Mk1)(NM)[NM(nk)1]

knk
C
M
C
N
k!(nk)!
证 明：
n
M

N(N1)(Nn1)
C
N

n!
(Mk1)(NM)[NM(nk)1]
k
M
C
n

N(N1)(Nn1)

M
Mk1NM NMnk1
)()
NNNNN
1n1
(1)(1)
NN

k1nk1
p(p)q(q)
k
NN
C
n
,
1n1
(1)(1)
NN
MNM
,q1p.
当
N
时，得 其中
p
NN
(knk
C
M
C
N
kknk
M
limC
n
pq.

n
N
C
N
M
k< br>C
n

N
所以，当N充分大时，近似等式（*）成立。
v)例子
例25 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击

48

第二章 随机变量及其数字特征
最可能命中几次？其相应的概率是多少？
解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令：X表示300次射击命 中目
标的次数。则由题意
X~B

300，0.44

．< br>由于
它不是整数因此，最可能射击的命中次数为

3001
< br>0.44132.44，
k
0

[132.44]
132
.
其相应的概率为
132
P

X132
C
300
0.44
132
0.56
1680.04636.

例26 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率为 0.6，且设顾问与顾问之间
是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并 按多数顾问的意
见作出决策，试求作出正确决策的概率。
解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，…，7。
（视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出正确意见）,X~B(7,0.6)。
因此X的分布列为
P(Xk)C
7
k
0.6
k
0.4
7k
,k0,1,2,...,7
，所求概率为
P(X4) P(X4)P(X5)P(x6)P(X7)

C
7
k< br>(0.6)
k
(0.4)
7k
0.7102.
k47
VI)二项分布的数学期望与方差
E(X)

kp(Xk)

kCpq
k
n
k
k0k0
nn
n k


k
k0
n
n!
p
k
q
nk
k!(nk)!


k
k1
n< br>n!n!
p
k
q
nk
np

kp
k1
q
nk
(k1)!(nk)!(k1)![(n1)( k1)]!
k1
nn1
n


np
< br>C
k1
k1
n1
p
k1
q
(n 1)(k1)
tk1
k1tn1t
np

C< br>n
np(pq)
n1
np

1
pq< br>t0
D(X)E(X
2
)(EX)
2
E
< br>X(X1)X

(EX)
2
E

X(X1 )

E(X)(EX)
2
n(n1)p
2
np (np)
2

npnp
2
npq
其中

49

第二章 随机变量及其数字特征
nn
E< br>
X(X1)



k(k1)Cpq
kn
k
k0
nk


k(k1)
k0< br>n!
p
k
q
nk
k!(nk)!
n(n1) p
n(n1)p
n(n1)p
2
(n2)!
p
k 2
q
(n2)(k2)

k2
(k2)!

(n2)(k2)

!
(n2)!
p
t
 q
n2t

t0
t!

(n2)t
< br>!
n2
n
2

2

C
t0n2
t
n2
p
t
q
n2t
n(n 1)p
2
(pq)
n2
n(n1)p
2
5．泊松 分布
1）定义 如果随机变量X的分布列为

P(Xk)

k
k!
e


,k0 ,1,...
，
其中参数

0
，则称这个分布为泊松分布，记为
X~P(

)
。
易知：
P(Xk)

k
k!
e


0,k0,1,2,
< br>;


P(Xk)

k!
e
k0k 0

k


e



k!e

e

1.


k0


k
2）泊松分布举例 单位时间内的电话呼叫次数；候车室候车的人数；1平方米上的砂眼
数等。
3）二项分布的极限分布
n
泊松(Poisson)定理 设

>0，n是正整数，若
limnp
n


0,
，则有
n
limCp (1p
n
)
k
n
k
n
nk


k
k!
e


,k0,1,2,.

即当随机变量X~B(n, p)，(n＝0,1,2,…)， n很大，p很小且np适中
( 0.1np10时较好)
时，
记

=np，则
P(Xk) Cp(1p)
k
n
knk


k
k!
e


,k0,1,2,...,n

对称的，若n很大而q=1-p很小且nq适中时，有
P(Xk)Cpq
kn
knk
C
nk
n
q
nk
p
n(nk)
(nq)
nk
nq
e,k0,1,2,...,n< br>
(nk)!
例27 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概

50

第二章 随机变量及其数字特征
率（用Poisson分布近似计算）．
解：设 B={ 600次射击至少命中3次目标 }
进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.
X：600次射击命中目标的次数
则
X~B

600，0.012

．

用Poisson分布近似计算，取

6000.0127.2.
则
P

B

P

X3

1P

X3

1P

X0

P

X1

P

X2


1e7.2
7.2e
7.2
7.2
2
7.2
e 0.9745.
2
例28 一批二极管的次品率为0.01,问一盒中至少装多少只这样的二极 管才能使得至少有100
个正品的概率在95%以上?
解：设每箱应装
n100 s
件二极管，s是一个小整数，从而
np(100s)0.011,
由
题条件知
X~B(100s,0.01)
,据题意应有
0.95P(Xs)
2
1
1
1
e0.9810,

e
1
0.9197.


k0
k!
k0
k!3
1
1
e,
查表知

k!
k0
s
故s取3符合题意，也就是说每箱应至少装103只二极管才能以95％以上的概率正品有100个。

4）泊松分布的数学期望与方差
E(X)

kP (Xk)

k
k0k0


k
k !
e
t


e




k1


k
(k1)!



e



k1


k1
(k1)!


e



t0

t!


e


e



D(X)E(X
2
)(EX)
2
E(X(X1))EX (EX)
2
E(X(X1))




< br>





其中

222

E(X(X1))

k(k1)k0

k
k!
e


e






2
k2


k 2
(k2)!

e




2

t0


t
t!
e



2
e



2
.< br>6. 几何分布
1）定义
设随机变量X的可能取值是1,2,3,…,且
P (Xk)q
k1
p,k1,2,


51

第二章 随机变量及其数字特征
其中0X
服从参数
p
为的几何分布。记作
X
2 ）几何分布背景
随机试验的可能结果只有2种，
A
与
A
试验进行到
A
发生为止的概率
P
(
X=k
)，即
k
次 试验，
前
k
-1次失败，第
k
次成功。
3）几何分布的期望与方差
由例9知
G(p).

E(X)
1
，
p
D(X)E(X(X1))E(X)(EX)
2

E
X(X1)



k(k1)q
k1


k1
ppq

k(k1)q
k2
k2


2

q2

pq(

q
k
)

pq

pq

3
1q
(1q)
k2

2pq112(1p)111 p

2

2

322
p
p
p
p(1q)pp
D(X)
例29 进行独立重复试验，每次成功的概率为
p
，令
X
表示直到出现第
m< br>次成功为止所进行
的试验次数，求X的分布列。
解 m=1时,
P(Xk)(1p)
k1
p,k1,2,...

m>1时，X的全部取值为：m,m+1,m+2,…
1m1
P(Xk)C< br>k
m


(1p)
km
pkm,m1,m 2,...

1
p
二、连续型随机变量
1．均匀分布
１）定义
若随机变量
Ｘ
的密度函数为

1
,axb;


p(x)

ba


0,其他。

则 称
Ｘ
服从区间
(a,b)
上的均匀分布，记为
X~U(a,b)。
均匀分布
U(a,b)
的分布函数为

52

第二章 随机变量及其数字特征
0,xa;

xa

F(x)

,axb;


ba
1,xb.


2）均匀分布的数学期望与方差
ab(ba)
2
,Var(X).
若
X~U(a,b)
，则
E(X)
212
2．指数分布
1）定义
若随机变量
Ｘ
的密度函数为：



e


x
,x0;

p(x)


0,x0.

则称
Ｘ
服 从指数分布，记作
X~Exp(

)
。其中，参数

0< br>。
指数分布的分布函数为：

1e


x
,x0;

F(x)


0,x0.

生活中，指数分布应用很广 ．像电子元件的使用寿命、电话的通话时间、排队时所需的
等待时间都可用指数分布描述．因此，指数分 布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛
的应用．
２）指数分布的数学期望与方差 若
X~Exp(

)
，则
E(X)
1
,Var(X)
1

2
。
这里

为失效率，失效率愈高，平均寿命就愈小。
3）指数分布的无记忆性
定理：如果
X~Exp(

)
，则对任意的s>0,t>0,有

P(Xst|Xs)P(Xt)
。
例30 某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数
X
t
服从参数为

t的泊松分布，求T的概率密度。
解
F(t)P(Tt)

当t≤0时，F(t)=0;
当t> 0时，F(t)=P(T≤t)=1-P(T>t)=1-P(在t时刻之前无汽车过桥)=1-P(
X
t
=0)=
1e
于是


t



e


t
p(t)F'(t)


0

t0
.
t0
53

第二章 随机变量及其数字特征
3.正态分布
1)定义
若随机变量X的密度函数为

(x

)
2

1

p(x)exp



,
2
2

2


则称X服从正态分布，称X为正态变量，记为
X~N (

,

)
。其中参数


< br>，
2

0
。
正态分布的分布函数为：
1

F(x)
2


(x 

)
2



dx
。
2

exp

2


x
其中，< br>
称为位置参数，

称为尺度参数。
正态分布密度函数p(x)的性质
(1) 单峰对称 密度曲线关于直线x=

对称，即
p( +x)=p( -x)，x∈(-∞,+∞)
(2)x=

时，p(x)取得最大值p()=
1
2

；
(3)x=

±σ处有拐点；
(4)

的大小直接影响概率的分布，

越大，曲线越平坦，

越小，曲线越陡峭。
(5)曲线p(x)以x轴为渐近线。

2)标准正态分布
定义 称
0,

1
的正态分布
N(0,1)
为标准正态分 布。
N(0,1)
的密度函数和分布函数分别为：

u
2
1

(u)exp



,u 
，
2


2

1
(u)
2


t
2



dt,u
。


exp


2

u
例31 设
U~N(0,1)
，利用附表2，求下列事件的概率：（1）
P(U1.52);
（2）
P(U1.52);
（3）
P(U1.52);
（4）
P(0.75U1.52);
（5）
P(|U|1.52).

解 略。
3）一般正态分布的标准化
定理 若
X~N(

,

)
，则
U
证明 略。
2
X


~N(0,1)
。

54

第二章 随机变量及其数字特征
例32 若
X~N(108,3)
,求：(1)
P(102X117);
(2)常数
a
，使得
P(Xa)0.95.

解 略。
4）正态分布的数学期望与方差
若
X~N(

,

)
，则
2
2
E(X)

令
x



xp(x )dx




x
1
1
2
te
e

e
t
2
2

( x

)
2
2

2
dx



t

(

t

)

2




dt




1
2

te

t
22
dt


1
2




t
2
2

dt0



.
22

D(X)E

(XEX)(x

)f(x)dx




(x

)
2



1
2

22
e

(x

)
2
2

2
dx
e< br>2

t
2
2
令
x


 

t


t


1
2




dt
tde

t
2
2


2

t
2

2
1
2

e

t
2
2
dt


2



t
2
t
2





2
22


te

edt

(02

)

2
.




2


2< br>

5）正态分布的
3

原则
设
X~N(

,

)
，则
2

0.6826,k1;


P(|X
|k

)(k)(k)

0.9545,k 2;


0.9973,k3.

由此可见，正态变量的99. 73%的值落在
(

3

,

3
< br>)
内，这个性质被称为正态分布的
3

原则。
4.其它常见的连续型分布
（1）

分布
如果一个随机变量
X
具有密度函数
r1

x



(r)
xe,x0,
p(x)


x0,


0,
r

55

第二章 随机变量及其数字特征

这里
r0,

0
为参数，
(r)
布，记作
X~ (r,

)
。

0
则称
X
服从参数为
r,

的

分
x
r1
e
x
dx
为

函数，
注：(i)当
r1
时，
(1,

)
就是参数为

的指数分布
E(
< br>)
。
(ii)

函数具有如下性质：
1
(1)1,()

;

2
(

1)

(

).当

为自然数n时，有 (n+1)=n(n)=n!.
（2）


分布
如果随机变量
X
的密度函数为
nx
1

1< br>22

p(x)

2
n2
(n2)
xe ,x0,


x0,

0,
2
这里
n
为参数，则称
X
服从参数为
n
的


分布 ，并记
X
2

2
(n).

2
注：
n
个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从

(n)
。（3）对数正态分布
如果随机变量
X
的密度函数为

1(lnx

)
2
exp{},x0;

2
p(x)

2

x
2

0,x0.

则称
X
服从参数为

和
的对数正态分布。
X
注：设随机变量
X~N(

,

)
，则
Ye
服从对数正态分布。
2
2
作业：




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